1、 - 1 - 压轴题(二) 12设实数 m0，若对任意的 xe，不等式 x2ln xme m x 0 恒成立，则 m 的 最大值是( ) A1 e Be 3 C2e De 答案 D 解析 不等式 x2ln xme m x 0x2ln xme m x xln xm xe m x eln xln xm xe m x ， 设 f(x)xex(x0)，则 f(x)(x1)ex0，所以 f(x)在(0，)上是增函数，因为m x0， ln x0，所以m xln x，即 mxln x 对任意的 xe 恒成立，此时只需 m(xln x)min， 设 g(x)xln x(xe)，g(x)ln x10(xe)，所
2、以 g(x)在e，)上为增函数， 所以 g(x)ming(e)e，所以 me，即 m 的最大值为 e.故选 D. 16祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出 了一条原理： “幂势既同， 则积不容异”， 这里的“幂”指水平截面的面积， “势” 指高，这句话的意思是两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相 等，则这两个几何体体积相等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设 某双曲线型冷却塔是曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与直线 x0，y0 和 yb 所围成的 平面图形绕 y 轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式 的方法，求出
3、此冷却塔的体积为_ 答案 4 3a 2b 解析 如题图， A 点在双曲线上， B 点在渐近线上， 则图中圆环的面积为 x2A - 2 - x2B a2y2A b2 a2 ayA b 2a2，从而根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出 一个以渐近线为母线的圆锥后的几何体的体积等于底面半径为 a、 高为 b 的圆柱的 体积，所以此冷却塔的体积为 a2b1 3a 2b4 3a 2b. 20(2019 河南开封三模)已知函数 f(x)exa，g(x)a(x1)(常数 aR) (1)当 g(x)与 f(x)的图象相切时，求 a 的值； (2)设 (x)f(x)g(x2)，讨论 (x)在(0，)上零点的个
4、数 解 (1)设切点为 A(x0，ex0 a)，因为 f(x)ex，所以过 A 点的切线方程为 y ex0 aex0 (xx0)，即 yex0 xx0ex0 ex0 a， 由题意可得 ex0 a， ex0 x0ex0 aa， 解得 ae. (2)由题意可得 (x)exax2，设函数 h(x)1ax2e x，(x)在(0，)上零点 的个数与 h(x)在(0，)上零点的个数相同，当 a0 时，h(x)0，h(x)没有零点； 当 a0 时，h(x)ax(x2)e x，x(0,2)时，h(x)0， h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增故 h(2)14a e2是 h(x)在(0， )上的
5、最小值. 若 h(2)0，即 a0) 由 ykx， x2 4 y2 21， 得 x 2 12k2. 设 u 2 12k2，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0) 于是直线 QG 的斜率为k 2，方程为 y k 2(xu) 由 yk 2xu， x2 4 y2 21， 得(2k2)x22uk2xk2u280.(*) 设 G(xG，yG)，则u 和 xG是方程(*)的解， 故 xGu3k 22 2k2 ，由此，得 yG uk3 2k2. 从而直线 PG 的斜率为 uk3 2k2uk u3k22 2k2 u 1 k. 所以 PQPG，即PQG 是直角三角形 由，得|PQ|2u 1k2，|PG|2uk k 21 2k2 ， 所以PQG 的面积 - 4 - S1 2|PQ| |PG| 8k1k2 12k22k2 8 1 kk 12 1 kk 2. 设 tk1 k， 则由 k0，得 t2，当且仅当 k1 时取等号 因为 S 8t 12t2在2，)上单调递减， 所以当 t2，即 k1 时，S 取得最大值，最大值为16 9 . 因此，PQG 面积的最大值为16 9 .
