1、3.3 垂径定理垂径定理一、知识回顾一、知识回顾如果以如果以O O为圆心，腰长为圆心，腰长OAOA为半径画圆，得到的图为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？形是否是轴对称图形呢？ABO如图在如图在OABOAB中，中，OA=OBOA=OB，若，若OMOMABAB，则则请同学们回顾一下等腰三角形有请同学们回顾一下等腰三角形有哪哪些性质？些性质？“三线合一三线合一”两底角相等两底角相等轴对称图形轴对称图形O OA AB BC CD DMM如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂垂足为足为M。（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？该图是轴对称图形吗
2、？如果是，其对称轴是什么？（2）你能在图中有哪些等量关系？说一说你的理由。）你能在图中有哪些等量关系？说一说你的理由。二、探究新知二、探究新知证明：连接证明：连接OA,OB,则则OA=OB.OA=OB，CDAB CDAB，AM=BM.AOC=BOC.AOD=BOD.AC=BC,AD=BD.O D C B AM注意证法的注意证法的多样性！多样性！O OA AB BC CD DMM可推得可推得 CDCD是直径是直径 CDABCDAB条件条件AM=BM,AM=BM,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.结论结论如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使使CDAB，垂垂
3、足为足为M。二、探究新知二、探究新知请你用文字语言请你用文字语言表述这一结论。表述这一结论。OABCDMCDCD是直径是直径,CDAB,CDABAM=BM,AM=BM,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分平分这条这条弦弦，并且，并且平分平分弦所弦所对的对的弧弧。符号语言：符号语言：垂径定理垂径定理强强调：调：条件中的条件中的“弦弦”可以是直径；可以是直径；结论中的结论中的“平分弧平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。指平分弦所对的劣弧、优弧。注意三注意三种语言种语言的转化！的转化！判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？O OC
4、CD DB BA A注意：定理中的两个条件：注意：定理中的两个条件：直径（半径）直径（半径）与垂直于弦与垂直于弦两者缺一不可！两者缺一不可！B BO OC CD DA AO OC CD DE E【例【例1 1】在在OO中，弦中，弦ABAB长为长为8 8厘米，厘米，O O到到ABAB的距的距离为离为3 3厘米，求厘米，求OO的半径。的半径。归纳小结：归纳小结：运用垂径定理时常常需要作弦心运用垂径定理时常常需要作弦心距或连半径构造直角三角形。距或连半径构造直角三角形。O O【即时练习即时练习】在在O O中，半径中，半径OCABOCAB交交ABAB于于D D，O O的半径为的半径为5cm5cm，OD
5、=3cmOD=3cm，弦，弦AB=_.AB=_.O OC CD D M MA AB BOO想一想：想一想：1 1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2 2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDCD是直径是直径 AM=BMAM=BM条件条件可推得可推得CDAB,CDAB,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.结论结论OCDBA垂径定理的逆定理：垂径定理的逆定理：OO如果这里少了如果这里少了“不是直径不是直径”，是否也能得出结论？为什么？是否也能得出结论？为什么？议一议：议一议：平分弦平分弦（
6、不是直径）（不是直径）的直的直径垂直于弦径垂直于弦,并且平分弦并且平分弦所对的弧所对的弧.E EO OD DC CF F【例例2】如图，一条公如图，一条公路的转弯处是一段圆弧路的转弯处是一段圆弧（即图中（即图中CD,CD,点点0 0是是CDCD所所在圆的圆心），其中在圆的圆心），其中CD=600mCD=600m，E E为为CDCD上的一上的一点，且点，且OEOECDCD，垂足为，垂足为F F，EF=90m.EF=90m.求这段弯路求这段弯路的半径。的半径。知识应用知识应用E EO OD DC CF F解：解：连接连接OCOC，设弯路的，设弯路的半径为半径为Rm,Rm,则则OF=(R-OF=(R
7、-90)m90)m。OECD在在R Rt tOCFOCF中中,OCOC=CF=CF+OF+OF即即 R R=300=300+(R-90)+(R-90).所以，这段弯路的半径为所以，这段弯路的半径为545m545m.1160030022CFCD解得：解得：R=545.R=545.注意运用代数方注意运用代数方法解决几何问题法解决几何问题三、课堂检测三、课堂检测 1.如图，如图，AB为为 O的直径，的直径，CD为为 O的一条弦，的一条弦，CDAB，垂足为，垂足为E，已知，已知CD=6，AE=1，则，则 O的半径为的半径为_1题题2.如图，以如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于点交小圆于点C、D，AC与与BD相等吗？相等吗？为什么？为什么？M1 1、垂径定理及其逆定理垂径定理及其逆定理.2、解决有关弦的问题，经常解决有关弦的问题，经常作弦心距，或作垂直于弦的直作弦心距，或作垂直于弦的直径或连接半径径或连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件等辅助线，为应用垂径定理创造条件.四、反思小结四、反思小结本节课你学到了哪些数学知识？掌握了哪些数学思想本节课你学到了哪些数学知识？掌握了哪些数学思想方法？方法？E E.C CD DA AB BO OM MN N.A AC CD DB BO O.A AB BO O
