1、正弦定理正弦定理121212练一练1下列有关正弦定理的叙述:正弦定理只适用于锐角三角形;在ABC中,必有asin A=bsin B;在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值;在ABC中,sin Asin Bsin C=abc.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:正弦定理适用于任意三角形,故不正确;由正弦定理知,asin B=bsin A一定成立,asin A=bsin B不一定成立,故不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故正确;由比例性质和正弦定理可推知正确.故选B.答案:B1212122.解三角形(1)一般地,把三角形的三个角
2、A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1212探究一探究二探究三探究四探究一已知两角和一边解三角形探究一已知两角和一边解三角形已知三角形的两角和一边解三角形,这是解三角形中最简单的题型,一般可按以下步骤求解:(1)由三角形的内角和定理求出第三个角;(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.探究一探究二探究三探究四典型例题1在ABC中,已知A=60,B=45,c=2,解三角形.思路分析:由三角形的内角和为180可求C,根据正弦定理可求a,b.解:在ABC中,C=180-(A+B)=180-(60+45)=75.sin 75=s
3、in(45+30)=sin 45cos 30+cos 45sin 30探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究二已知两边和其中一边的对角解三角形探究二已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:探究一探究二探究三探究四具体解题时,作出已知角A,边AC,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数.探究一探究二探究三探究四典型例题2在ABC中,已知下列条件,解三角形:(1)a=10,b=20,A=80;(2)b=10,
4、c=5 ,C=60;(3)a=,b=,B=45.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四方法总结已知三角形两边和其中一边的对角,求另一边的对角的方法:(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究三判断三角形的形状探究三判断三角形的形状1.三角形的分类(1)按角分:锐角三角形、直角三角形、钝角
5、三角形;(2)按边分:不等腰三角形、腰与底边不相等的等腰三角形、等边三角形.2.判断三角形的形状时,一般是从条件出发,利用正弦定理等进行转化、化简、运算,得出边与边的关系或角与角的关系,然后作出正确判断.探究一探究二探究三探究四典型例题3在ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.思路分析:首先利用正弦定理将角的关系式sin2A=sin2B+sin2C转化为边的关系式,进而判断三角形的形状.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四解法二:同解法一,求得A=-(B+C),sin A=2sin Bcos C,sin(B+C)=
6、2sin Bcos C.sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0.B-C=0,即B=C.ABC是等腰直角三角形.探究一探究二探究三探究四方法总结1.已知三角形中的边角关系式,确定三角形的形状主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.2.确定三角形形状的思想方法:先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系,再由三角变形或代数变形分解因式,判定形状.把关系式中的边化为角时,有时要进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式,然后给予判定(在正弦定理的变形中,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C是化边为角的主要工具),此时要注意应用A+B+
7、C=这个结论;把已知条件转化为边边关系时,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.探究一探究二探究三探究四变式训练3在ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且 ,则判断ABC的形状是()A.等边三角形B.有一内角是30的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是30的等腰三角形探究一探究二探究三探究四解析:由正弦定理,得由此可得B=C=45,A=90.故ABC为等腰直角三角形.答案:C探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四正解:由正弦定理,得ab,AB.又0B180,B=30.答案:301 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 66.在ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),判断ABC的形状.解:由题意得(sin A+sin C)(sin C-sin A)=sin2B,即-sin2A+sin2C=sin2B.由正弦定理,得-a2+c2=b2,即a2+b2=c2,所以ABC是直角三角形.
