1、2.3.1平面向量的基本定理1、知道平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.问题情境问题情境如何求此时竖直和水平方向速度？v探究一：给定一个向量是否可以用探究一：给定一个向量是否可以用“一个一个”已已知非零向量表示？知非零向量表示？v探究二：平面内给定一个向量是否一定可以探究二：平面内给定一个向量是否一定可以用用“两个已知不共线向量两个已知不共线向量”表示？表示？探究三探究三：引导学生以特殊情况为例来考虑 12 ,e a e 观察如图三个不共线向量、它们之间会有怎样
2、的关系呢？a1e2e将三个向量的起点移到同一点：a1e2eBNOAMC1e2eaONOMa 显然：显然：1211221122,.OMeONeaee 根据向量共线的充要条件 存在唯一的一对实数使得：故ONOMa 显然：显然：BNOAMC1e2ea121 122 eeee 确定一对不共线向量，后，是否平面内任意一个向量都可以用来表示呢？1212(1)0.aee 当 与 或 共线时，可令 或为 即可使结论成立1e2ea1e2eaBNMB2e Oa1e2e1e OAMBNCACA(2)a改变 的位置如下图两种情况时，怎样构造平行四边形？a1e2eNMA2e OABBC1e (3)a继续旋转 的位置，如
3、下图，又该如何构成平行四边形？a1e2e2211eea分解平移共同起点1e2ea1e1e2eaa2eOABOBOAa11eOA22eOB给定平面内两个向量 、，平面内任一向量都可以用这两向量方向表示 1 1e e 2 2e e12121 122,.eeaaee 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意一个向量有且只有一对实数使有有叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所，其中其中 21ee向量的一组向量的一组基底基底.平面向量基本定理：平面向量基本定理：12 1 ee 问：在刚才我们总结的定理中，基底，是不是唯一的呢？12121 122,.eeaaee 如果是同一平面内两个不共线
4、的向量，那么对这一平面内任意一个向量有且只有一对实数使平面向量基本定理：平面向量基本定理：12 2 eea 问：给定基底，之后，任意一个向量 的表示是不是唯一的呢？平面向量基本定理：平面向量基本定理：12121 122,.eeaaee 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任意一个向量有且只有一对实数使例题讲解例题讲解 例例1 已知向量已知向量 、，求作向量，求作向量 .1e 2e 122.53ee 1e 2e 12.5e 23e OABC解解:作图顺序如下：作图顺序如下：例例2 如图，如图，、不共线，不共线，用用 、,表示表示 .OA OB APtAB )(RtOA OB OP
5、OABP解：解：APtAB OPOAAP ABtOA()OA t AO OB OAtOAtOB OBtOAt)1(例例3 3 ABCD ABCD中，中，E E、F F分别是分别是DCDC和和ABAB的中点，的中点，试判断试判断AE,CFAE,CF是否平行？是否平行？FBADCE解：2e1e12,ABe ADe 取基底取基底则有则有AEADDE 2112eeFCFBBC 1212eeAE/AEFC 共线，又无公共点共线，又无公共点,AE FC /AEFC 2.如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对应
6、的向量中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDBANMCDB解：2e1e12,ABe ADe 取基底,则有11;2DCeBCBAADDC 12112eee 1212ee MNMDDAAN 1211142eee 1214ee平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.即本节学习了：（1）平面向量基本定理：（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使其它向量都能够统一用这组基底来表达.这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.1 12 2.aeeOABab OBAab当当 ，0 OABba当当 ，180 OABab 当当 ，90 ba 记作记作a 与与b 同向；同向；a 与与b 反向；反向；a 与与b 垂直垂直.向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量a 和和b，作，作 ，则，则 叫做向量叫做向量a 和和b 的的夹角夹角aOA bOB AOB)1800(已知已知
