1、 10-4电场力的功电场力的功 电势电势 10.4.1电场力做功电场力做功电场有力的性质电场有力的性质场强，电场还可以推动电荷做功，场强，电场还可以推动电荷做功，有能的性质有能的性质电场能，电势电场能，电势做功与路径的关系：做功与路径的关系：做功与路径无关做功与路径无关:重重/引力的功引力的功 保守力保守力 重力势能重力势能做功与路径有关做功与路径有关:摩擦力的功摩擦力的功 非保守力非保守力 无势能无势能电场力？电场力？两两种方法讨论：种方法讨论：rdrr cl dc EbadlEql dEql dFdA cos00 drdl cos其中其中baEdrqA0EdrqdA0 则则qarbrdr
2、barrbao)rr(qqdrrqq11440020 1.点电荷电场点电荷电场一般电场一般电场(课本课本)只与电荷位置有关，只与电荷位置有关，与路径无关！与路径无关！2.匀强电场匀强电场一般电场一般电场电荷电荷q沿沿3条不同路径从条不同路径从A到到C过程中，电场力的功过程中，电场力的功EqABFABWAB0FBCcos90WoBCEqABFABW2-AC2-AC1-ACWEqABFABFACcosWEABCq123对对AC-3，可以将路径分为无限多段，每段都近似为直线，可以将路径分为无限多段，每段都近似为直线易知：易知：n-AC3-AC2-AC1-ACW.WWW静匀强电场对电荷的电场力所做的功
3、与路径无关，是保静匀强电场对电荷的电场力所做的功与路径无关，是保守力守力。将一般电场的空间进行无限划分，则每份都是匀。将一般电场的空间进行无限划分，则每份都是匀强电场。强电场。推广推广 banabl d)EEE(qA210 bababanl dEql dEql dEq02010 iibiain)rr(qqAAA1140021 (与路径无关与路径无关)结论结论 试验电荷在静电场中移动时，静电场力所做的功试验电荷在静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。所有静电场都是特定的点电荷电场的叠加，故静电场所有静电场都是特定的
4、点电荷电场的叠加，故静电场对电荷的电场力是对电荷的电场力是保守力保守力。acbadbl dEql dEq000 10.4.2 静电场的环路定理静电场的环路定理abcd即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。00 q 0l dEq0沿闭合路径沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功一周电场力所作的功 acbbdal dEql dEql dEqA000在静电场中，电场强度沿任意环路的环路积分恒为在静电场中，电场强度沿任意环路的环路积分恒为零。零。静电场的静电场的环路定理环路定理.（无旋场）（无旋场）10.4.3 电势能电势能 数学上，一个量的积
5、分与路径无关数学上，一个量的积分与路径无关=沿闭合路径积分沿闭合路径积分为零为零=存在与位置有关的函数存在与位置有关的函数电势能电势能类比类比：重：重/引力的功与路径无关引力的功与路径无关=重重/引力沿闭合路径的引力沿闭合路径的功为零功为零=存在与位置有关的重力存在与位置有关的重力/引力势能。引力势能。重重/引力做正功，则重力引力做正功，则重力/引力势能减小；反之，克服引力势能减小；反之，克服重重/引力做功，则重力引力做功，则重力/引力势能增大。即：重引力势能增大。即：重/引力势引力势能的增量能的增量=克服重克服重/引力做功的量。引力做功的量。Gp-WE或：重力的功或：重力的功=重力势能的减量
6、重力势能的减量下面考虑静电场的电势能和电场力的功下面考虑静电场的电势能和电场力的功aWbaWW 则则ab电场力的功电场力的功 baabldEqA0b点电势能点电势能bW试验电荷试验电荷处于处于0qa点电势能点电势能ab保守力的功保守力的功=相应势能的减量相应势能的减量电场力做正功电势能减少；电荷克服电场力做功电势电场力做正功电势能减少；电荷克服电场力做功电势能增加。能增加。电场力在一个过程的功，等于该电势能的减少量。电场力在一个过程的功，等于该电势能的减少量。W-baaaldEqAW0b则：零势能参考点取0bW电荷电荷q在某点的电势能等于从该点移动到参考点过程在某点的电势能等于从该点移动到参考
7、点过程中电场力做的功中电场力做的功电势能属于电荷及电场整个系统；电势能属于电荷及电场整个系统；电势能为负，表示电势能比参考点低电势能为负，表示电势能比参考点低.一般以接地或无限远处为零电势能参考点。一般以接地或无限远处为零电势能参考点。baWW baabldEqA0参考参考一般的：aaaldEqAqW)(10.4.4 电势电势 电势差电势差参考参考aaaldEqAW0000q/)q(/W参考参考aaaldEqAq1.电势电势 q=1,U=单位正电荷在单位正电荷在该点所具有的电势能该点所具有的电势能U=单位正电荷从该点到电单位正电荷从该点到电势零点时势零点时,电场力所作的功电场力所作的功qFE
8、类比：反映电场能量反映电场能量的性质的性质,与检验与检验电荷无关电荷无关aU000q/)q(/参考参考aaldEqA参考aldE1aaaaldEldEA参考参考参考或1-1-)1/(-U:a点的电势点的电势=单位负电荷单位负电荷从从a点到零电势参考点过程中克点到零电势参考点过程中克服电场力所作的功服电场力所作的功(或从参考点到或从参考点到a点过程电场力的功点过程电场力的功)。a点的电势点的电势=单位正电荷单位正电荷从从a点到零电势参考点过程中电点到零电势参考点过程中电场力所作的功场力所作的功(或从参考点到或从参考点到a点过程克服电场力的功点过程克服电场力的功)。2.电势差电势差 电场中任意两点
9、电场中任意两点 的电势之差的电势之差(电压电压)baabuuu参考参考abbaabl dEl dEuuu bal dE a、b两点的电势差等于将单位两点的电势差等于将单位正正电荷从电荷从a点移到点移到b时，时，电场力所做的功。电场力所做的功。或或：a、b两点的电势差等于将单位两点的电势差等于将单位负电荷从负电荷从a点移到点移到b时，克服电场力所做的功。时，克服电场力所做的功。任意电荷任意电荷q从从ab过程中过程中电场力的功：电场力的功：baldEqbaabWWA )(bauuq对正电荷，从电势高到电势低，电场力做正功，故对正电荷，从电势高到电势低，电场力做正功，故正电荷有从高电势到低电势运动的
10、趋势；负电荷正电荷有从高电势到低电势运动的趋势；负电荷?注意：注意：3、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。4、两点间的电势差与电势零点选择无关。、两点间的电势差与电势零点选择无关。5、电势零点的选择：有限带电体一般以接地或无限远、电势零点的选择：有限带电体一般以接地或无限远处或为零电势处或为零电势(默认默认),无限带电体无限带电体(如无限长直线如无限长直线)一般不一般不以无限处为零电势参考点以无限处为零电势参考点,这类问题一般只讨论电势差。这类问题一般只讨论电势差。1、电势是电场的基本属性，可以通过检验电荷测试，、电势是电场的基本属性，可以通过检验电
11、荷测试，但与检验电荷无关。但与检验电荷无关。2、功是标量，所以电势也是标量。、功是标量，所以电势也是标量。1 1、点电荷电场中的电势点电荷电场中的电势r qP 0r如图如图 P点的场强为点的场强为 0204rrqE PrPdrrqldEu204以无限远为零电势，由电势定义得以无限远为零电势，由电势定义得以以q为球心的同一球面上的点电势相等为球心的同一球面上的点电势相等球对称性球对称性最最小小ururuq 00最最大大ururuq 00 10.4.5 电势的计算电势的计算r的负的负1次次正电荷电场的电势为正，负电荷电场的电势为负。正电荷电场的电势为正，负电荷电场的电势为负。rq04根据电场叠加原
12、理场中任一点的根据电场叠加原理场中任一点的2、电势叠加原理、电势叠加原理若场源为若场源为q1、q2 qn的点电荷系的点电荷系场强场强电势电势nE.EEE 21 PPnl dEEEl dEu)(21 niinuu.uu121为各点电荷为各点电荷单独单独存在时在该点电势的存在时在该点电势的代数和代数和 PPnPl dE.l dEl dE21思考思考:为各带电体为各带电体单独单独存在时在该点电势的存在时在该点电势的代数和？代数和？由电势叠加原理，由电势叠加原理，P的电势为的电势为点电荷系的电势点电荷系的电势 iiirquu04 rdqduup04连续带电体的电势连续带电体的电势由电势叠加原理由电势叠
13、加原理dqP r1r 1q 2qnq 2rnr标量标量积分积分连续体的类型：连续体的类型：rd 线电荷线电荷体电荷体电荷 VrdV 面电荷面电荷 SrdS rdqUU1、根据已知的场强分布，按场强路径积分法计根据已知的场强分布，按场强路径积分法计算算(电场对称性高电场对称性高,E表达式简单时多用表达式简单时多用)2、由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算（由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算（点点电荷少情况用电荷少情况用，因对称性较低，因对称性较低,E的关系复杂）的关系复杂）参考PPldEu3、电势计算的两种基本方法、电势计算的两种基本方法：rdqduu0p4积分路径可随意选择积分路径可随意
14、选择,一般选高对称的路径一般选高对称的路径例例1、求求电偶极子电偶极子电场中任一点电场中任一点P的电势的电势lOq q XYr1r2r),(yxP 210122010214)(44rrrrqrqrquuuP 由叠加原理由叠加原理lr cos12lrr 221rrr 20cos4rlqu 222yxr 22cosyxx 其中其中23220)(41yxpxu2)在中垂线，在中垂线，x=00uVs 点电荷电势：点电荷电势：-1次衰减次衰减rqu04讨论：讨论：1）在连线上时，）在连线上时，y=0202322041)(41xpyxpxu3)用电场积分用电场积分法更复杂？法更复杂？XYZO Rdlr P
15、x例例2、求求均匀带电圆环均匀带电圆环轴线上轴线上的电势分布。已知：的电势分布。已知：R,q解解:方法一：方法一：rdqdu04 rdl04 RPrRrdlduu 20004242204xRq 方法二：方法二：由前面电场强度的分布由前面电场强度的分布23220)(4RxqxE ppxxRxqxdxEdxu23220)(4两法复杂度两法复杂度差不多！差不多！l d例例3、求求均匀带电球面均匀带电球面电场中电势的分布电场中电势的分布,已知已知R，q解解:方法一方法一 电势叠加法电势叠加法任一圆环任一圆环 RdRdSsin2 dRdSdqsin22 ldRldqdu sin2414200 ldq08
16、sin drRldlsin22 rRqdldu08 cos2222RrrRl RrRrrqrRqdlu0048 Rr Rr rRrRRqrRqdlu0048 ORPr 方法二方法二 场强积分法场强积分法Rr Rr 由高斯定理求出场强分布由高斯定理求出场强分布Rr Rr E204rq 0 PldEu由定义由定义 RrRl dEl dEu Rdrrq2040 Rq04 rdrrqu204 rq04 该法明显更简洁！该法明显更简洁！对称性越高，该法越简洁！对称性越高，该法越简洁！求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c ，电场力所作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场
17、力所作的功电场力所作的功 6、电场做功的间接计算方法、电场做功的间接计算方法电势法电势法q q RRR0dabc)434(000RqRquuAcoocRq060 oOuuA作业：作业：10.11，10.12，10.15，10.17，例例4：均匀带电球面半径为均匀带电球面半径为 R，电量为，电量为 q，求：球壳内、，求：球壳内、外的电势分布。外的电势分布。球对称球对称解：解：球壳内、外的场强球壳内、外的场强作高斯球面作高斯球面4、几种具有高对称的场的电势问题、几种具有高对称的场的电势问题0qdSS SE E0qdSESoRqr高斯面高斯面E Err因因E简单，用场强积分法更方便简单，用场强积分法
18、更方便2041rqE,Rr 0qI区：球面内区：球面内01E,RrII区：球面外区：球面外qq20241rqEIIoRqr高斯面高斯面E ErrIlEdr U22drEr2drrqr2041rq04II区：球壳外电势区：球壳外电势选无穷远为电势选无穷远为电势 0 点，点，RroRqr高斯面高斯面E ErIIIrE Er rl l/dd在球外等效在球外等效于将所有电荷保持对称性集中到球心时于将所有电荷保持对称性集中到球心时的点电荷所激发电场情况的点电荷所激发电场情况lElEddRRr U211drER20E Er rl l/dddrrqR2041Rq04I区：球壳内电势区：球壳内电势选无穷远为电
19、势选无穷远为电势0点，点，RroRqr高斯面高斯面E ErIIIr因内部电场为零，球内电势相等，都等于球面的电势；因内部电场为零，球内电势相等，都等于球面的电势；即即r=R时的情况。时的情况。均匀带电球面在球内所有空腔均匀带电球面在球内所有空腔的电势，的电势，等效于等效于所有电所有电荷集中到球心时，等效点电荷电场在球面的电势。荷集中到球心时，等效点电荷电场在球面的电势。oRqIIIRoEr204RqoRqIIIRoVrRq04-2次衰次衰减减-1次衰次衰减减rq04U外电场电场电势电势R4U0q内204Erq外例例5：均匀带电球体情况，半径为均匀带电球体情况，半径为 R，电量为，电量为 q，求
20、：，求：球壳内、外的电势分布。球壳内、外的电势分布。球对称球对称解：解：1）在球外，等效于将电荷）在球外，等效于将电荷集中到球心：集中到球心：oRqE Errrq04U外2）在球面）在球面r03ER4U0q面3）在球内）在球内RrdrEUU-Upp面面Rrrdr0p3UU面pRrrdr0p3UU面)r-(R6R4U2200pq)r-3R(R8U2230pqoRqIIIRoUrRq04-1次衰次衰减减Rq083垂直反转的抛物线垂直反转的抛物线)r-(36U220pR图为带正电；图为带正电；负电垂直翻转负电垂直翻转例：例：无限长带电直线线电荷密度为无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。，求电势
21、分布。柱对称柱对称解：解：无限长带电直线的场强：无限长带电直线的场强：rE02lE dPPU选无穷远为电势选无穷远为电势 0 点点EdrPdrrr02orPrdrrrP02U)ln(ln20r非定值无意义对无限带电体电势对无限带电体电势 0 点不宜选无穷远点，也不选在导点不宜选无穷远点，也不选在导体上。体上。这种问题一般是选某有限远点为参考点，求所求点与该这种问题一般是选某有限远点为参考点，求所求点与该参考点的电势差。如以参考点的电势差。如以 Q 点为电势点为电势 0 点点QPPEdrQUorPr参RPQ0ln2rRQ02RrdrrQ分子分母不要颠倒！分子分母不要颠倒！可以先定电势高低再定分子
22、可以先定电势高低再定分子/母母rRuln20外对对空心长圆柱面空心长圆柱面(半径为半径为R)，在内部，在内部E=0,U内内=U面面对对实心长圆柱体实心长圆柱体，外部同上。，外部同上。内部和空心柱面差别在于：内部和空心柱面差别在于：Rrrdr0p2UU面内部的电势走势和球体类似，仅内部的电势走势和球体类似，仅-r2的系数有差别。的系数有差别。在外部，等效于电荷集中到轴在外部，等效于电荷集中到轴,以柱面处为参考：以柱面处为参考：图为带正电；图为带正电；负电垂直翻转负电垂直翻转oRqIIIR0rUr0U20R4rRuln20外空心空心实心实心参考点不会影响参考点不会影响电势分布的形状电势分布的形状特
23、征，只会使得特征，只会使得曲线产生平移曲线产生平移(或或相当于移轴相当于移轴),移动移动的距离为参考点的距离为参考点与界面间的电势与界面间的电势差。差。纵坐标不是电势，纵坐标不是电势，而是电势差而是电势差0UeablabE02U对无限大平面对无限大平面外外，厚平面外，厚平面外(及外表面及外表面)，电场为匀，电场为匀强电场，任意两点的电势差为：强电场，任意两点的电势差为：在无限大厚平面在无限大厚平面内内：Dxxdx0UU面内实心球、柱、板三种情况内部的电势变化规律相似实心球、柱、板三种情况内部的电势变化规律相似,只是系数有差别只是系数有差别;但外部差别大。但外部差别大。Le是是ab在在E方方向的
24、投影向的投影匀强电场，电势线性变化！匀强电场，电势线性变化！三种对称性在电场和电势方面的对比。三种对称性在电场和电势方面的对比。图为带正电；图为带正电；负电垂直翻转负电垂直翻转oDqIIID0 xUx0U20R2)-(20Dxu外实心实心参考点不会影响参考点不会影响电势分布的形状，电势分布的形状，只会使得曲线产只会使得曲线产生平移生平移(或相当于或相当于移轴移轴),移动的距离移动的距离为参考点与界面为参考点与界面间的电势差间的电势差纵坐标不是电势，纵坐标不是电势，而是电势差而是电势差0U对称性对称性球对称球对称柱对称柱对称面对称面对称模型模型外部外部(等效等效)电荷电荷对称的对称的向向内内集中
25、到对称中心集中到对称中心(点，线，面点，线，面)所激发所激发参考点在参考点在外部时外部时界面界面(同外同外部等效部等效)内部内部:1)空心空心2）实心）实心逐渐增大，规逐渐增大，规律类似，系数不同律类似，系数不同相对面的相对面的电势值：电势值：)3(6220rRup面rqu04外rRu参外ln20r)-(R20参外uR40qu 面Rln20参面RuR)-(R20参面u面内uu面内uu面内uu)3(4220rRup面)3(2220 xDup面求等量异号的同心带电球面的空间电势分布及两求等量异号的同心带电球面的空间电势分布及两面的电势差。面的电势差。已知已知+q、-q、RA、RB ARBRq q
26、5、系列同心球面问题、系列同心球面问题*ARr BRr 204rq BARrR E0球外及外球面电势：球外及外球面电势：BBuuuppB)11(44B020RrRrqdrrqrBl dEuu0外AB间点间点的电势：的电势：ARBRq q A面电势：面电势：BAABuuu BARRBABARRqdrrql dE)11(44020 A面内部空间的电势：面内部空间的电势：0AuuuA内内把把A面半径代入更快面半径代入更快)R(r 0UB)Rr(R )11(4UBA0BRrq)R(r )11(4UA0BARRq )11(4U0ABBARRq讨论：在讨论：在球面间球面间)11(44020BBRrRrRr
27、qdrrql dEuuB外面BRqrq14-1400视为视为2个部分的电势叠加个部分的电势叠加电势叠加原理电势叠加原理(法法2)更简单更简单对应内球面对应内球面电场的电场的U对应外球面对应外球面电场的电场的U当点在当点在球面及之内球面及之内时，该时，该 在内球面及之内在内球面及之内 04-0rqqu)11(40)(BARRqu面内利用电势叠加原理利用电势叠加原理例：求右图例：求右图P点的电场点的电场和电势：和电势：1R2R1q2q3q3Rrp2014Erqp3012023034R4R4Urqqqp知道了某点电势，也很容易求知道了某点电势，也很容易求2点间的电势差点间的电势差：如求：如求1-2，
28、和，和2-3球面的电势差：球面的电势差：球面组合和平面球面组合和平面组合是考查重点组合是考查重点同心系列球面中同心系列球面中,某点某点电场电场仅由其高斯面内部仅由其高斯面内部的电荷来贡献；但所有电荷对电势都有贡献的电荷来贡献；但所有电荷对电势都有贡献 1R2R1q2q3q3Rr1012023031R4R4R4Uqqq面求求1-2球面的电势差：球面的电势差：20123032R4R4Uqqq面)R1-R1(4U210112q1-2间电势差间电势差与外部带电体与外部带电体q3无关无关外面带电球面外面带电球面不影响内部的电场，因而不影响之内不影响内部的电场，因而不影响之内2点间的电势差点间的电势差(虽
29、会影响电势虽会影响电势,但不影响电势差但不影响电势差)1-2间电势差间电势差也与球面也与球面2无关无关球面体系中球面体系中2点间电势差，点间电势差，只需考虑半径在球心到只需考虑半径在球心到2两两点中最外侧点的距离之内的电荷。点中最外侧点的距离之内的电荷。301233R4Uqqq面求求2-3球面的电势差：球面的电势差：20123032R4R4Uqqq面)R1-R1(4)R1-R1(4U3202320123qq电势差的叠加原理电势差的叠加原理分别考虑只有某个球面分别考虑只有某个球面带电时的情况，然后叠加即可。带电时的情况，然后叠加即可。1R2R1q2q3q3Rr只有只有1时引起的电势差时引起的电势
30、差只有只有2时引起的电势差时引起的电势差只有只有3引起引起2-3的电势差为的电势差为01012023031R4R4R4Uqqq面求求1-3球面的电势差：球面的电势差：)R1-R1(4)R1-R1(4U3101320213qqq2引起引起2-3的电势差的电势差(也是也是1-3的电势差的电势差)q1引起引起1-3的的电势差电势差301233R4Uqqq面 1R2R1q2q3q3Rrq3引起引起1-3的电势差为零！的电势差为零！要求能熟悉写出某点电场、电势和要求能熟悉写出某点电场、电势和2点的电势差点的电势差思考思考:求一系列同心均匀带电球面中，第求一系列同心均匀带电球面中，第n个面个面，与第，与第n+m个面的电势差。第个面的电势差。第i个面带电为个面带电为qi。第第n+m及之外的球面去掉及之外的球面去掉合并第合并第n及之内球面的电荷到第及之内球面的电荷到第n个面个面分别写出内部合并球面，到第分别写出内部合并球面，到第n+m-1球面球面引起这两个面对电势差，再进行叠加引起这两个面对电势差，再进行叠加第第n+1到第到第n+m-1个球面能合并吗？个球面能合并吗？
