1、 福建省 2019 届高三备考关键问题指导系列数学（文） 适应性练习（三） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集，集合， ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】全集 U1，3，5，7，集合 A1，3，B5，3， AB1,3,5， 7， 故选：B 2.欧拉公式（ 为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的， 是英国科学期刊物理世界评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数的虚部为
2、( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】复数ii 的虚部为 故选：C 3.为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采 购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查， 制定了中国仓储指数 如图所示的折线图是 2016 年 1 月至 2017 年 12 月的中国仓储指数走势情况 根据该折线图，下列结论正确的是 A. 2016 年各月的仓储指数最大值是在 3 月份 B. 2017 年 1 月至 12 月的仓储指数的中位数为 54% C. 2017 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2016 年同期波动性更大 D. 2017 年 11 月的仓
3、储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好 【答案】D 【解析】2016 年各月的仓储指数最大值是在 11 月份；2017 年 1 月至 12 月的仓储指数的中位数为 52%；2017 年 1 月至 4 月的仓储指数比 2016 年同期波动性小；2017 年 11 月的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业 务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好，所以选 D. 4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一 个小
4、三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图. 现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S， 则图（3）中阴影部分的面积为：9S， 又图（3）中大三角形的面积为 16S， 由几何概型中的面积型可得： 此点取自阴影部分的概率为， 故选：A. 5.若 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】tan（-）3，tan2， 可得3， ， 解得 tan 故选：D 6.函数 在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，由，
5、 可得函数的零点为，可排除选项； 当时， 对应点在 轴下方，可排除选项 ，故选 B. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方 向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入 手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化 趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 7. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等 于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】由三视图可知，这是一个三棱柱，
6、内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为 ，根据三 角形面积公式有. 8.已知函数的图象与直线 的三个相邻交点的横坐标分别为 2,4,8，则的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象 与直线 yb（0bA）的三个相邻交点的横坐标分别是 2，4，8 所以函数的周期为：6，所以 ， 并且函数的 x3 时取得最大值，所以函数的单调增区间为：6k，3+6k（kZ） 故选:A 9.已知偶函数的图象经过点，且当 时，不等式恒成立，则使得 成立的 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，当时，不
7、等式恒成立，所以函数在时是减函数， 又由偶函数的图象经过点，所以函数在时是增函数， 当时，由，得，即 当时，由，得，即， 所以， 的取值范围是 10.在下列命题中：存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等；存在一条直线与正方体的 12 条棱 所成的角都相等；存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等.其中真命题的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】存在一个平面 AB1D1与正方体的 12 条棱所成的角都相等，故正确； 存在一条直线 AC1与正方体的 12 条棱所成的角都相等，故正确； 存在一条直线 AC1与正方体的 6 个面所成的角都相等，故
8、正确 故选：D 11.如图，与 轴的正半轴交点为 ，点 ， 在 上，且，点 在第一象限， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题得：，得 OB=OC=1 又 ,由三角函数定义 得: , 12.已知 是双曲线上一点，是左焦点， 是右支上一点， 与的内切圆切于点 ， 则的最小值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【 解 析 】与的 内 切 圆 切 于 点， , 由 双 曲 线 定 义 = ,当且仅当 A,B,共线时取等 故选：B 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分.第第 (13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，
9、每个试题考生都必须作答.第第 (22) 、(23) 题为题为 选考题，考生根据要求作答选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.已知向量，.若向量的夹角为 ,则实数 的值为_. 【答案】 【解析】| |，| |2 ，3m， 向量 ， 的夹角为 ， 3m 2 ， 解得 m 故答案为 14.若满足约束条件 则的最小值为_. 【答案】 【解析】作出实数 x，y 满足条件的可行域如图： 化为 y=x+z,即当 y=x 平移到过 A 时，直线截距最大，即 z 最大， 由，解得 A（2，6） ， 故答案为 4. 15.椭圆的右焦点
10、为 ， 左顶点为 ， 线段的中点为 ， 圆 过点 ， 且与 交于 ， 是等腰直角三角形，则圆 的标准方程是_ 【答案】 【解析】如图设 A（a，0） ，可得 a1，c1，b2a21， 线段 AF 的中点为 B（，0） ， 圆 F 的圆心为 F（1，0） ，半径 r|BF|， 设 D（m，n） ， （m0，n0） ，E（m，n） ， 由BDE 为等腰直角三角形，可得 kBD1， 即1，即 nm， 由 D 在圆 F： （x1）2+y2（）2上， 可得（m1）2+（m）2（）2， 化简可得（m1） （2m1+a）0， 解得 m1 或 m（舍去） ， 则 n ， 将 D（1，）代入椭圆方程，可得 1，
11、 化简可得 a2 或 （舍去） ， 则圆 F 的标准方程为（x1）2+y2， 故答案为： （x1）2+y2 16.习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精 神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚 A 测得山顶 B 的仰角为，他沿着倾斜 角为的斜坡向上走了 40 米后到达 C，在 C 处测得山顶 B 的仰角为，则山高约为_米.（结果 精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：. 【答案】 【解析】过 C 做 CMBD 于 M,CNAD 于 N,设 BM=h, 则 CM= ,解得 h=20(),BD=h+20 三三、解答题：解答
12、应写出文字说明、证明过程或演算步骤、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列满足， ，设，. （1）判断数列是否为等比数列，说明理由并求的通项公式； （2）求数列的前 项和. 解： （1）bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.由条件可得 ，即 bn+1=2bn， 又 b1=1，所以 ，所以，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列. 所以，即，所以. （2）由（1）可，所以， 所以， 所以数列的前 项和. 18.如图，四棱锥的底面是边长为 2 的菱形， .已知 . （）证明： （）若 为的中点，求三菱锥的体积. （）证明：连接交于 点 又是菱形 而 面 （）解：
13、由（）面 则 19.近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车行业得到迅猛发展，某汽车交易市场对 2017 年成交的二 手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图 1. （1）记“在 2017 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件 ，试估计 的概率； （2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中 （单位：年）表示二手车的使用时间， （单 位：万元）表示相应的二手车的平均交易价格. 由散点图看出， 可采用作为二手车平均交易价格 关于其使用年限 的回归方程， 相关数据如下表 （表 中） ； 根据回归方程类型及表中数据，建立 关于
14、的回归方程； 该汽车交易市场对使用 年以内(含 年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间 年以上(不含 年) 的二手车收取成交价格的佣金.在图 1 对使用时间的分组中， 以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以 2017 年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金. 附注:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 参考数据： 解： （1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在的 频率为，在的频率为 所以 （2）由得，即 关于 的线性回归方程为 因为 所以 关于 的线性回归方程为， 即 关于 的回归方程为 根据中的回归方
15、程和图 1，对成交的二手车可预测： 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为： 万元 20.已知是直线上的动点，点 的坐标是 ，过的直线 与 垂直，并且 与线段的垂直平分线 相交于点 . （1）求点 的轨迹 的方程; （2）设曲线 上的动点 关于 轴的对称点为，点 的坐标为,直线与曲线 的另一个交点为 ( 与 不重合)，是否存在一个定点 ，使得三点共线?若存在，求出
16、点 的坐标;若不存在，请说明理由. 解： （1）依题意，即曲线 为抛物线，其焦点为，准线方程为 ：，所以曲线 的 方程为 （2）设，则， 直线的斜率为，直线的方程为 由方程组得 设，则，所以， 又，所以的方程为 令，得即直线与 轴交于定点 因此存在定点，使得 ， 三点共线 21.设函数. （1）讨论的单调区间； （2）若，求证：. （1）解：依题意定义域为， 令，则， 当时，当时，在单调递减，当时，在单 调递增； 当时，当时，在单调递增，当时，在单 调递减； 综上，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明：当时，设， ； 当时，设 则，当时，单调递减， 当时，
17、单调递增， 所以； 设，则， 所以单调递增，所以，所以即单调递增， 故； 因为，所以 即，所以， 即. 解法二： （1）同解法一； （2）设，则， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 又因为，即， 所以恰有一个零点； 即，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 设，因为， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以，即. 解法三： （1）同解法一； （2）同解法二得， 设，因为，所以 设则 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增，则， 所以，即. 请考生在第（请考生在第（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答）两题中任选
18、一题作答.注意注意：只能做所选定的题目：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目如果多做，则按所做第一个题目 计分，作答时请用计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 （1）求直线 l 和 的普通方程； （2）直线 l 与 有两个公共点 A、B，定点 P，求的值 解： （1）直线 l 的普通方程为：， 因为圆 的极坐标方程为， 所以 所以圆 的普通方程； （2）直线 l：的参数方程为： （t 为参数） ， 代入圆 的普通方程消去 x、y 整理得： ， 则， . 23.设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于 x 的不等式有解，求 的取值范围 解： （1）当时，即， 即或或， 所以或， 所以原不等式的解集为； （2） ， 因为不等式有解， 所以，即， 所以 的取值范围是
