1、 2019 天津市高考压轴卷天津市高考压轴卷 数学文科数学文科 一、选择题（共一、选择题（共 8 题，每题题，每题 5 分，共分，共 40 分）分） 1.Z M表示集合M中整数元素的个数， 设集合18Axx ，5217Bxx， 则Z A B（ ） A3 B4 C5 D6 2i为虚数单位，若复数1i 1 im是纯虚数，则实数m （ ） A1 B0 C1 D0 或 1 3.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入 n 的值为 6，则输出 S 的值为 A. 7 3 B. 9 4 C. 7 6 D. 9 8 4若x、y满足约束条件 4 20 0 xy xy y ，目标函数zaxy取得最大值时的最优解仅为
2、1,3，则a的取值范 围为（ ） A1,1 B0,1 C,11, D1,0 5.已知向量2a，1b，22aab，则a与b的夹角为（ ） A30 B60 C90 D150 6.已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积 为（ ） A 2 3 B33 C 93 2 D2 3 7.已知 1 cos 25 ，则cos2（ ） A 7 25 B 7 25 C 23 25 D 23 25 8.已知数列 n a是 1 为首项，2 为公差的等差数列， n b是 1 为首项，2 为公比的等比数列，设 n nb Ca， 12nn Tccc， n * N，则当2
3、019 n T 时，n的最大值是（ ） A9 B10 C11 D12 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9.已知两点 )2, 2(),2 , 0(NM以线段MN为直径的圆的方程为_. 10.已知函数cos 2 2 2 yx 的图象关于直线 6 x 对称，则等于_ 11.已知长方体的长、宽、高分别为 2，1，2，则该长方体外接球的表面积为_ 12.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 3 2 5 4 5 xt yt （t为参数） ，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的极坐标方程为sina直线l截圆C的
4、弦长等于圆C的半径长的3倍，求a的 值 13.已知F为双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左焦点，直线l经过点F， 若点,0A a，0,Bb关于直线l对称，则双曲线C的离心率为_ 14.函数 ln2e4e x aa x f xxx ，其中e为自然对数的底数，若存在实数 0 x使 0 3f x成立，则实 数a的值为 三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别是, ,a b c，且BAcb2, 1, 3 ()求a的值； ()求) 6 2cos( A的值.
5、16(本小题满分 13 分) 某工厂连续 6 天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销， 得到一组数据1 2, ,6 ii x yi 如下表所示 日期 4 月 1 日 4 月 2 日 4 月 3 日 4 月 4 日 4 月 5 日 4 月 6 日 试销价x元 9 11 10 12 13 14 产品销量y件 40 32 29 35 44 m （1）试根据 4 月 2 日、3 日、4 日的三组数据，求y关于x的线性回归方程 ybxa，并预测 4 月 6 日的产 品销售量m； （2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件B的概率 参考公式： ybxa， 其中 11 2 2
6、2 11 ( ) nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx， 17.（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，2ABBCCDDA，1PA，120BAD，E为BC 的中点 （1）求证：AE 平面PAD； （2）若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离 18.（本小题满分 13 分） 已知抛物线C的方程 2 20ypx p，焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离 大 1 （1）试求出抛物线C的方程； （2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧） ，满足OMON（O为坐标原点） ，过
7、点F 作直线交C于A，B两点，若ABMN，线段MN上是否存在定点E，使得4 EMEN AB 恒成立？若存在， 请求出E的坐标，若不存在，请说明理由 19.(本小题满分 14 分) 数列 n a是等比数列，公比大于0，前n项和 n SnN ， n b是等差数列， 已知 1 1 2 a ， 32 11 4 aa ， 3 46 1 a bb ， 4 57 1 2 a bb . （）求数列 n a， n b的通项公式 n a， n b； （）设 n S的前n项和为 n TnN ， （i）求 n T； （ii）证明： 2 1 1 21 311 n i ii iii bb bbT . 20.（本小题满分
8、14 分） 已知函数 2 2 e,0 x x f xx mm m R， （1）求函数 f x的单调区间和 f x的极值； （2）对于任意的1,1a ，1,1b ，都有 ef af b，求实数m的取值范围 1【答案】C 【解析】1,8A ， 5 17 , 22 B ， 5 ,8 2 AB ，5Z AB 故选 C 2【答案】C 【解析】 1i 1 i11immm是纯虚数， 10 10 m m ，即1m ，故选 C 3【答案】A 【解析】由题意，模拟执行程序，可得： ， 满足条件， 满足条件， 满足条件， 不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 故选：A 4【答案】A 【解析】结合不等式组，绘制可行
9、域，得到： 目标函数转化为yaxz ，当0a 时，则1a，此时a的范围为1,0， 当0a 时，则1a ，此时a的范围为0,1，综上所述，a的范围为1,1，故选 A 5【答案】B 【解析】 2 22422aabaa ba b，1a b 设a与b的夹角为，则 1 cos 2 a b a b ， 又0180，60，即a与b的夹角为60 6【答案】B 【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D截去三棱锥 1 DACD和三棱锥 111 BA B C后的剩余部分 其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形， 所以其表面积为 2 2 13 61
10、2233 24 ，故选 B 所以其表面积为 2 2 13 612233 24 ，故选 B 7【答案】C 【解析】由 1 cos 25 ，得 1 sin 5 ，又由 2 123 cos212sin12 2525 故选 C 8.【答案】A 【解析】 n a是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，21 n an， n b是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 1 2n n b ， 1 12 12124 2nn nnbbb Tcccaaaaaaa 11 2 1 122 124 12212 1242 nn n 1 12 222 12 n n nn ， 2019 n T ， 1 222019 n n ，
11、解得9n 则当2019 n T 时，n的最大值是 9，故选 A 9【答案】 【解析】由题得圆心的坐标为（1,0） ，|MN|= 所以圆的半径为所以圆的方程为. 故答案为： 10【答案】 3 【解析】函数cos 2 2 2 yx 的图象关于直线 6 x 对称，2 6 k ， 因为 22 ，求得 3 ，故答案为 3 11【答案】 【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表 面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为， 设长方体的外接球的半径为 ，则，即， 所以球的表面积为. 12【答案】32a 或 32 11 【解析】 圆C
12、的极坐标方程转化成直角坐标方程为： 2 2 2 24 aa xy ， 直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的3倍， 3 8 12 522 a a d ，整理得2 3165aa，利用平方法 解得32a 或 32 11 13【答案】31 【解析】因为F为双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左焦点，所以,0Fc， 又点,0A a，0,Bb关于直线l对称， 0 0 AB bb k aa ， 所以可得直线l的方程为 a yxc b ， 又A，B中点在直线l上，所以 22 ba a c b ，整理得 22 2baac， 又 222 bca，所以 22 220caca， 故 2 220ee，
13、解得13e ，因为1e ，所以13e 故答案为13e 14【答案】ln2 1 【解析】由 ln2e4e x aa x f xxx ，可令 ln2g xxx， 11 1 22 x gx xx ，故 ln2g xxx在2, 1 上是减函数，1, 上是增函数， 故当1x 时， g x有最小值11g ， 而e4e4 x aa x ， （当且仅当e4e x aa x ，即ln2xa时成立） ， 故 3f x （当且仅当等号同时成立时，等式成立） ， 故ln21xa ，即ln21a 15() 解:由BA2，知BBBAcossin22sinsin， 由正、余弦定理得 ac bca ba 2 2 222 .
14、因为1, 3cb，所以12 2 a,则32a. () 解:由余弦定理得 3 1 6 1219 2 cos 222 bc acb A. x k.Com 由于 A0，所以 3 22 9 1 1cos1sin 2 AA 故 4 27 sin2cos2 99 AA ， 18 3724 6 sin2sin 6 cos2cos) 6 2cos( AAA 16【答案】 （1）41； （2） 2 3 【解析】 （1）由题设可得 11 1012 11 3 x ， 322935 32 3 y ， 则 3 1 3222 2 1 00131 3 3 011 ii i i i xxyy b xx 所以3211 3 1a
15、ybx ， 则回归直线方程为31yx，故3 14141m （2）从 6 天中随机取 2 天的所有可能结果为： 12 ,A A， 13 ,A A， 14 ,A A， 15 ,A A， 16 ,A A， 23 ,A A， 24 ,A A， 25 ,A A， 26 ,A A， 34 ,A A， 35 ,A A， 36 ,A A， 45 ,A A， 46 ,A A， 56 ,A A共 15 种， 其中相邻两天的结果为 12 ,A A， 23 ,A A， 34 ,A A， 45 ,A A， 56 ,A A共 5 种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件B的概率 52 1 153 P B 17【答案
16、】 （1）详见解析； （2） 13 13 【解析】 （1）如图，连接AC 由条件知四边形ABCD为菱形，且120BAD， 60BAC，ABC为正三角形 E为BC的中点，AEBC 又ADBC，AEAD 又PA底面ABCD，AE 底面ABCD，PAAE PAADA，AE 平面PAD （2）设AC交EF于点G，连接PG，DE，则G为EF的中点 易知AEAF，则RtRtPAEPAF，PEPF，PGEF 连接BD， 2ABBCCDDA，1PA，32 3BDBC， 33 42 AGAC， 1 3 2 EFBD， 22 13 2 PGAGPA， 139 24 PEF SEF PG 11113 sin120
17、24424 DEFCDEBCD SSSBCCD 设点D到平面PEF的距离为h，又PA底面ABCD， 由 P DEFD PEF VV ，得 13139 1 3434 h ，解得 13 13 h 故点D到平面PEF的距离为 13 13 18【答案】 （1） 2 4yx； （2）存在，E的坐标为4,0 【解析】 （1）因为P到点F的距离比它到y轴的距离大 1，由题意和抛物线定义1 2 p ， 所以抛物线C的方程为 2 4yx （2）由题意0 MN k， 设 2 1 1 , 4 y My ， 2 2 221 , 4 y Nyyy ，由OMON，得 12 16y y ，直线 12 4 :MN k yy
18、， 2 1 1 12 4 4 y yyx yy ，整理可得 12 4 4yx yy ， 直线:AB若斜率存在，设斜率为k，1yk x，与C联立得 2 440kyyk， 12 22 11 14 1AByy kk ， 若点E存在，设点E坐标为 00 ,xy， 0120 22 11 11EMENyyyy kk 2 120120 2 1 1y yyyyy k 20 0 2 41 116 y y kk ， 4 EMEN AB 时， 20 0 4 1616 y y k ， 解得 0 0y 或 0 4 y k （不是定点，舍去） 则点E为4,0经检验，此点满足 2 4yx，所以在线段MN上， 若斜率不存在，
19、则4AB ，4 416EMEN ， 此时点4,0E满足题意， 综合上述，定点E为4,0 19【答案】 （） 1 2 n n a ，1 n bn（） （i） 1 1 2 n n Tn 【解析】 （）解：设数列 n a的公比为q（0q ） 1 2 11 1 2 11 4 a a qa q ， 2 11 20 qq ，=-1q（舍）或=2q ， 1 2 n n a 设数列 n b的公差为d 1 1 11 82(4 ) 11 16316 bd bd 1 1 44 31616 bd bd 1 0 1 b d ，1 n bn. （）解： 11 2 2 1 2 (1) 1 1 12 n n n S 2 11
20、111 (1 11)()(1)1 22222 n nnn Tnn 1 1 1132 1 12 () (2) ()(2) (1)(1) 2 i iii i ii iii Tbbi bbiiii 1 11 2(1) 2 ii ii 113 2231 1 12 ()111111 ()()() 1 22 22 23 22(1) 2 n iii nn i ii Tbb bbnn 1 111 2(1) 22 n n 20【答案】 （1）见解析； （2） 22 , 22 【解析】 （1） 2 2 e1 x fxx m ， 2 2 exfx m ，其中 fx 是 fx 的导函数 显然， 0fx，因此 fx单调
21、递增， 而 00 f ，所以 fx在,0上为负数，在0,上为正数， 因此 f x在,0上单调递减，在0,上单调递增， 当0x 时， f x取得极小值为 01f，无极大值 f x的极小值为 1，无极大值单增区间为0,，单减区间为,0 （2）依题意，只需 maxmin ef xf x， 由（1）知， f x在1,0上递减，在0,1上递增， f x在1,1上的最小值为 01f， 最大值为 1f和1f 中的较大者， 而 22 1111 11e11e20 ee ff mm ， 因此 11ff， f x在1,1上的最大值为 2 1 e1 m ， 所以 2 1 e1 1e m ，解得 2 2 m 或 2 2 m 实数m的取值范围是 22 , 22
