1、 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷 学学理科理科 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知 lg0Axx ， 12Bx x ，则AB（ ） A 11x xx 或 B 13xx C 3x x D 1x x 2下列命题中正确的是（ ） A若p q 为真命题，则p q 为真命题 B若0x ，则 sinxx恒成立 C命题“ 0 0,x， 00 ln1xx”的否定是“ 0 0,x， 00 ln1xx” D命题“若 2 2x ，则2x 或2x
2、 ”的逆否命题是“若2x 或2x ，则 2 2x ” 3设曲线C是双曲线，则“C的方程为 2 2 1 4 y x ”是“C的渐近线方程为2yx ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 e 4 x y x 的图象可能是（ ） A B C D 5已知函数 sinyAxb 的最大值为 3，最小值为1两条对称轴间最短距离为 2 ，直线 6 x 是其 图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ） A 4sin 2 6 yx B 2sin 21 6 yx C 2sin 3 yx D 2sin 21 3 yx 6设 0.1 log0.2a ，
3、1.1 log0.2b ， 0.2 1.2c ， 0.2 1.1d 则（ ） Aabd c Bcadb Cdcab Dcdab 7某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A 16 3 B 3 C 2 9 D 16 9 8已知向量 1,3a ，0, 2b，则a与b的夹角为（ ） A 6 B 3 C 5 6 D 2 3 9在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 3abcacbac ，则角B （ ） A 2 3 B 3 C 5 6 D 6 10执行如图所示程序框图，输出的S （ ） A25 B9 C17 D20 11已知过点 ,0A a 作曲线:exC yx的
4、切线有且仅有两 条，则实数a的取值范围是（ ） A , 40, U B0, C , 11, U D, 1 12已知函数 ln,0e ,e xx f x e x x ，若0abc且满足 f af bf c，则 af b bf c cf a的取值范围是（ ） A 1, Be, C 1 1 e1 e , D 1 e,2e e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知直线l、m与平面、，l，m，则下列命题中正确的是_（填写正确命题对应的 序号） 若lm，则；若lm，则； SS8 开始 否 TS？ 结束 是 S1，T=0,n=0 nn+2 输出 S TT
5、+2n 若l，则；若，则m， 14若x，y满足约束条件 220 10 0 xy xy y ，则 2zxy 的最小值为_ 15费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于120时，费马点与 三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角， 即该点所对的三角形三边的张角相等均为120 根据以上性质， 函数 2 2 1f xxy 22 22 12xyxy的最小值为_ 16已知ABC中，ABAC，点D是AC边的中点，线段BD x，ABC的面积2S ，则x的取值范围 是_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本
6、小题满分 12 分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，角A、B、C成等差数列， 13b （1）若3sin4sinCA，求c的值； （2）求ac的最大值 18 （本小题满分 12 分） 2018 年 2 月 9-25 日， 第 23 届冬奥会在韩国平昌举行 4 年后， 第 24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行 为 了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了 120 名学生，对是否收看平 昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下： 收看 没收看 男生 60 20 女生 20 20 （1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？
7、 （2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京 冬奥会志愿者宣传活动 （i）问男、女学生各选取了多少人？ （ii）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为 X，写出X的分布列，并求E X 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19 （本小题满分 12 分） 在四棱锥PABCD中，AD 平面PDC，PDDC， 底面ABCD
8、是梯形，ABDC，1ABADPD， 2CD （1）求证：平面PBC 平面PBD； （2）设Q为棱PC上一点，PQPC，试确定的值使得二面角Q BDP 为60 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 222 :90Cxymm， 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C交于A、B两点， 线段AB 的中点为M （1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （2）若l过点 , 3 m m ，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求l的斜率； 若不能，说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 ln 2 ax f xx x （1）求函数 f x的单调区间； （2
9、）设函数 ln1g xxxf x ，若 1 , 2 x 时， 0g x 恒成立，求实数a的取值范围 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （本题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 1 31 xt yt (t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线C的极坐标方程为 2 2cos 1cos （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; （2）已知与直线l平行的直线 l 过点 20M,，且与曲线C交于A，B两点，
10、试求MAMB 23 （本题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 211f xxx （1）解不等式 2f x ； （2）若不等式 1123mf xxx 有解，求实数m的取值范围 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷数学数学理科理科答案答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 【答案】D 【解析】 lg01Axxx x ， 1213Bx xxx ，则 1ABx x 故选 D 2 【答案】B 【 解 析 】 令 sin
11、f xxx ， 1cos0fxx 恒 成 立 ， sinf xxx 在 0,单 调 递 增 ， 00f xf，sinxx，B 为真命题或者排除 A、C、D故选 B 3 【答案】A 【解析】若C的方程为 2 2 1 4 y x ，则1a ，2b ，渐近线方程为 b yx a ， 即为2yx ，充分性成立，若渐近线方程为2yx ，则双曲线方程为 2 2 0 4 y x ， “C的方程为 2 2 1 4 y x ”是“C的渐近线方程为2yx ”的充分而不必要条件，故选 A 4 【答案】C 【解析】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 B， 当1x 时， e 1 4 y ，排除 A； 当x时， e 4
12、 x x ，排除 D故选 C 5 【答案】B 【解析】由 3 1 Ab Ab ， 2 1 A b ，又 22 T ，T ，2， 2sin 21yx，又2 62 k ，k Z， 6 k ，k Z， 7 2sin 212sin 21 66 yxx ，故选 B 6 【答案】D 【解析】01a，0b ，1c ，1d ，由 0.2 yx在R上为增函数，cd，故选 D 7 【答案】D 【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为 2 3 的扇形，高是 4 的圆 锥体容易算得底面面积 14 4 33 S ，所以其体积 1116 44 339 V ，应选答案 D 8 【答案】A 【
13、解析】设向量a与向量b的夹角为 0, ，则 3 cos 2 a b a b ， 6 故选 A 9 【答案】B 【解析】由 3abcacbac ，可得 222 acbac， 根据余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ，0,B， 3 B 故选 B 10 【答案】C 【解析】按照程序框图依次执行为1S ，0n ，0T ；9S ，2n ，044T ； 17S ，4n ，41620TS，退出循环，输出17S 故选 C 11 【答案】A 【解析】设切点为 0 00 ,exx x ，1 exyx ， 0 0 0 1 ex x x yx ， 则切线方程为： 00 000 e =1 e xx
14、yxxxx，切线过点,0A a代入得： 00 000 e =1 e xx xxax， 2 0 0 1 x a x ，即方程 2 00 0xaxa有两个解，则有 2 400aaa或 4a 故选 A 12 【答案】D 【解析】画出 f x的图象， 由0abc且 f af bf c 得：01a，1eb，ec，lnlnab， e lnb c ， 1ab ，lnecb ， 1 lnlneaf bbf ccf aabcbbb b ， 令 1 lneg bbb b ， 1eb ，则 2 111 1lng bbb bbb ， 2 1 1ln1lng bbb b ， 1eb，1ln0b，ln0b ， 0g b
15、， 则函数 g b在区间1,e上单调递增， 1egg bg ，即 11 elne2e e bb b ， af bbf ccf a 的取值范围是 1 e,2e e （以a为变量时，注意a的取值范围为 1 1 e a） 故选 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 【解析】如图所示，设c，lc，mc满足条件，但是与不平行，故不正确； 假设，l ，ll ，lm ，则满足条件，但是与不垂直，故不正确； 由面面垂直的判定定理，若l，则，故正确； 若，n，由面面垂直的性质定理知，mn时，m，故不正确 综上可知：只有正确故答案为 14 【答案】1
16、1 【解析】画出可行域如图所示， 可知目标函数过点4, 3A 时取得最小值， min 24311z 15.【答案】23 【解析】由两点间的距离公式得 222 222 112xyxyxy为点 , x y到点1,0、1,0、 0,2的距离之和，即求点, x y到点1,0、1,0、0,2的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为 这三个点构成的三角形的费马点，容易求得最小值为 223 33223 333 16 【答案】 3 + , 【解析】设BAC，BAc，则 2 1 sin2 2 c， 2 sin4c 在ABD中， 2 2 2cos 22 cc BDcc ， 222 5 cos 4 BDcc 由得
17、 2 4 sin c ，把代入得： 2 54cos sin BD ， 2 sin4cos5BD， 由辅助角公式得 22 4 sin5BD， 42 45BD ， 即 4 9BD ， 2 3BD ，则3BD （ 3 sin 5 ， 20 3 c 时取等号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 【答案】 （1）4； （2）2 13 【解析】 （1）由角A，B，C成等差数列，得2BAC，又ABC ，得 3 B 又由正弦定理，3sin4sinCA，得34ca，即 3 4 ac， 由余弦定理，得 222 2co
18、sbacacB， 即 2 2 331 132 442 c ccc ， 解得4c （2）由正弦定理得 2 13 sinsinsin3 acb ACB ， 2 13 sin 3 aA， 2 13 sin 3 cC， 2 132 13 sinsinsinsin 33 acACAAB 2 13 sinsin2 13sin 363 AAA ， 由 2 0 3 A ，知当 62 A ，即 3 A 时，max2 13ac 18 （本小题满分 12 分） 【答案】 （1）有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关； （2）见解析 【解析】 （1）因为 2 2 12060 2020 20 7.56.635 80
19、40 80 40 K ， 所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关 （2） （i）根据分层抽样方法得，男生 3 129 4 人，女生 1 123 4 人， 所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人 （ii）由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3 30 93 3 12 C C84 0 220C P X ， 21 93 3 12 C C108 1 220C P X ， 12 93 3 12 C C27 2 220C P X ， 03 93 3 12 C C1 3 220C P X ， X的分布列是： X 0 1 2 3 P 84 220 108 220 27 220 1 220 84108
20、2713 0123 2202202202204 E X 19 （本小题满分 12 分） 【答案】 （1）见解析； （2）36 【解析】 （1）证明AD 平面PDC，PD平面PDC，DC 平面PDC， ADPD，ADDC， 在梯形ABCD中，过点作B作BHCD于H， 在BCH中，145BHCHBCH ， 又在DAB中，145ADABADB ， 4590BDCDBCBCBD ， PDAD，PDDC，ADDCD，AD 平面ABCD，DC 平面ABCD， PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，PDBC， 由，BDPDD，BD平面PBD，PD平面PBD，BC 平面PBD， BC 平面PBC，平面PBC
21、 平面PBD； （2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图) 则 0,0,1P ， 0,2,0C ， 1,0,0A ， 1,1,0B ， 令 000 ,Q xy z ， 000 ,1PQxyz，0,2, 1PC ， PQPC， 000 ,10,2, 1x y z ， 0,2 ,1Q ， BC 平面PBD， 1,1,0 n 是平面PBD的一个法向量， 设平面QBD的法向量为 , ,x y zm ， 则 0 0 DB DQ m m ，即 0 210 xy yz ，即 2 1 xy zy ， 不妨令 1y ，得 2 1,1, 1 m ， 二面角Q BDP 为60
22、， 2 21 cos, 2 2 22 1 m n m n mn ，解得36， Q在棱PC上，0 1，故 36为所求 20.（本小题满分 12 分） 【答案】 （1）见解析； （2）四边形OAPB能为平行四边形，当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为 平行四边形 【解析】 （1）设直线0,0ykxb kb， 11 ,A x y ， 22 ,B x y ，, MM M xy ， 将y kxb 代入 222 9xym，得 2222 920kxkbxbm， 故 12 2 29 M xxkb x k ， 2 9 9 MM b ykxb k ，于是直线OM的斜率 9 M OM M y k xk ， 即
23、 9 OM kk ，所是命题得证 （2）四边形OAPB能为平行四边形 直线l过点 , 3 m m ，l不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是0k 且3k 由（1）得OM的方程为 9 yx k 设点P的横坐标为 P x 由 222 9 9 yx k xym ，得 22 2 2 981 P k m x k ，即 2 39 P km x k 将点 , 3 m m 的坐标代入直线l的方程得 3 3 mk b ， 因此 2 3 39 M mk k x k ，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分， 即 2 PM xx 于是 2 2 3 2 39 39 mk kkm k k 解得
24、1 47k ， 2 47k 0 i k ， 3 i k ，1i ，2， 当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形 21 （本小题满分 12 分） 【答案】 （1）当0a 时， f x的增区间为0,；当0a 时， f x的减区间为 0, 112a ，增区间 为 112 ,a ； （2） 1 2 , 【解析】 （1） f x的定义域为0,， 2 22 1122 22 axxa fx xxx ， 令 0fx ，则 2 220xxa，480a时， 即 1 2 a ，方程两根为 1 248 112 2 a xa ， 2 1+ 12xa ， 12 2xx ， 12 2x xa ， 当 1 2
25、a 时，0， 0fx 恒成立， f x的增区间为0,； 当 1 0 2 a时， 12 20x xa ， 1 0x ， 2 0x ， 0,x时， 0fx ， f x的增区间为0,； 当0a 时， 1 0x ， 2 0x ，当 2 0,xx 时， 0fx ， f x单调递减， 当 2 +xx, 时， 0fx ，单调递增； 综上，当0a 时， f x的增区间为0,； 当0a 时， f x的减区间为0, 112a ，增区间为112 ,a （2） 1 , 2 x 时， 0g x 恒成立，即lnln10 2 ax xxx x ， 2 2 lnln 2 x axxxxx， 令 2 2 1 lnln 22 x
26、 h xxxxxx x ， 2 lnln11h xxxxxx ， 21 lnh xxx ， 当 1 ,1 2 x 时， 0h x ， h x单调递减；当1+x, 时， 0h x ， h x单调递减； min 1 1 2 h xh， 1 2 a ，则实数a的取值范围时 1 2 , 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （本小题满分 10 分） 【答案】 （1）311yx， 2 2yx； （2） 16 3 【解析】 （1）把直线l的参数方程化为普通方程为311yx 由 2 2cos 1cos
27、 ，可得 22 1 cos2 cos， 曲线C的直角坐标方程为 2 2yx （2）直线l的倾斜角为 3 ，直线 l 的倾斜角也为 3 ， 又直线 l 过点 20M,， 直线 l 的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt ( t 为参数)， 将其代入曲线C的直角坐标方程可得 2 34160tt， 设点A，B对应的参数分别为 1 t ， 2 t 由一元二次方程的根与系数的关系知 1 2 16 3 t t ， 12 4 3 tt 16 3 MAMB 23 （本小题满分 10 分） 【答案】 （1） 2 4 3 xx ； （2）3m 或5m 【解析】 （1） 1 2, 2 1 211 = 3 ,1 2 2,1 xx f xxxxx xx ， 1 2 22 x x 或 1 1 2 32 x x 或 1 22 x x ，解得 1 4 2 x 或 12 23 x或无解， 综上，不等式 2f x 的解集是 2 4 3 xx （2） 1232111232123f xxxxxxxxx 21234xx ， 当 13 22 x时等号成立不等式 1123mf xxx 有解， min 1123mf xxx ， 14m ，14m 或14m ，即3m 或5m ， 实数m的取值范围是3m 或5m
