1、2022-2023学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）第二次月考数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）Ax|5x30，Bx|2x11，则AB（）A35，1B0，1C0，35D35，+)2（5分）已知a=（，1），b=（2，3），且ab，则（）A-32B-23C32D233（5分）已知等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，a11，a2+a36，则S5（）A29B30C31D324（5分）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平某公司用9万元进购一台新设备用于生产
2、电机，第一年需运营费用3万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为12万元，设该设备使用了n（nN*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A6B5C4D35（5分）在ABC中，点D是线段BC上任意一点，且满足AD=3AP，若存在实数m和n，使得BP=mAB+nAC，则m+n（）A23B13C-23D-136（5分）平面直角坐标系中，角的终边经过点P（3，4），则cos2(2+)=（）A110B15C45D9107（5分）已知实数asin23，b=43sin34，c=43cos34，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCa
3、bcDacb8（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x+1）当-12x0时，f（x）=-x则下列结论错误的是（）Af（2022）0B函数f（x）的值域为-22，22C函数f（x）的图像关于直线x=-112对称D方程f（x）x+a0最少有两个解二、多项选择题（共4小题，每小题5分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）下列说法中正确的有（）A“a0”是“1a+a2”的充要条件B“x6”是“x25x60”的必要不充分条件C命题“存在xR，x+20”的否定是：“存在xR，x+20”D设a，b都是非零向量，则a
4、=2b是a|a|=b|b|成立的充分不必要条件（多选）10（5分）已知函数f（x）|2sinxcosx|，则下列结论正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）在区间-4，0上单调递减C函数f（x）的图像不是中心对称图形D函数f（x）图像的对称轴方程仅有x=k2，kZ（多选）11（5分）若数列an的前n项和为Sn，满足a11，an+1（1）n+1an+2，则下列结论正确的有（）AS2120BS199S201Ca2n1（1）n+1，nN*Da2n2+（1）n1，nN*（多选）12（5分）已知函数f（x）exax，g（x）x2lnx，e是自然对数的底数，则下列正确的（）A若函数f（x）仅
5、有一个零点，则a1B若g（x1）g（x2），（x1x2），x1+x22eeC若f（x）0对任意x（0，+）恒成立，则aeD若f（x）g（x）恒成立，则整数a的最大值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡相应的位置上）13（5分）已知函数f（x）=x+1x-1，定义域为（2，+），则f（x）的值域为 14（5分）已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn是数列an的前n项和，S1111，b5b73，则log3a6b62= 15（5分）如图所示，点P是正三角形ABC外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为3，则OPOA+2OPOB+4OPOC的取值范围是 16（5分）已知A
6、BC满足sin（2C+B）sinBsinC，D是ABC的边BC上一点，且BC=3BD，AD2，则AC+2AB的最大值为 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设函数f（x）=ab，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2xm）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）当x-6，时，函数f（x）恰有三个零点，求m的取值范围18（12分）已知数列an满足a11，an+1ann（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=1an+1-a1，求数列bn的前n项和Sn19（12分）在2S=3ABAC；2cos2B+C2=1+cos2A；c=
7、3asinCccosA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答在锐角ABC中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且_（1）求角A的大小；（2）若a=3，求ABC周长的范围20（12分）疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理校园内某区域由矩形OABC与扇形OCD组成，OA2m，AB23m，COD=3消毒装备的喷射角EOF=3，阴影部分为可消毒范围，要求点E在弧CD上，点F在线段AB上，设FOC，可消毒范围的面积为S（1）求消毒面积S关于的关系式，并求出tan的范围；（2）当消毒面积S最大时，求tan的值21（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足2Sn3an2n+1（
8、1）求证：数列an+2n是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）记bn（2n1）（an+2n），求数列bn的前n项和为Mn；（3）记an=3n-2ncn2cn+1，数列cn的前n项和为Tn求证：Tn3222（12分）已知函数f（x）xexln（x+1）+ax（1）求函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当a0时，函数g（x）f（x）m有两个零点，求实数m的取值范围；（3）求证：对任意的x1，x2（0，+），都有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）2022-2023学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共8小题，每小题5分在每小题给出
9、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）Ax|5x30，Bx|2x11，则AB（）A35，1B0，1C0，35D35，+)【解答】解：Ax|5x30x|x35，Bx|2x11x|x1，则ABx|35x1故选：A2（5分）已知a=（，1），b=（2，3），且ab，则（）A-32B-23C32D23【解答】解：a=（，1），b=（2，3），且ab，312，解得=-23故选：B3（5分）已知等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，a11，a2+a36，则S5（）A29B30C31D32【解答】解：因为a11，a2+a36，所以a1q+a1q26，即q+q26，解得q3或q2，因为q1，所以
10、q2，所以S5=a1(1-q5)1-q=1(1-25)1-2=31故选：C4（5分）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平某公司用9万元进购一台新设备用于生产电机，第一年需运营费用3万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为12万元，设该设备使用了n（nN*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A6B5C4D3【解答】解：第一年需运营费用3万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，则使用了n年后总运营费用为3n+n(n-1)22=n2+2n，故年平
11、均盈利额为1n12n-(n2+12n)-9=10-(n+9n)10-2n9n=10-6=4，当且仅当n=9n，即n3时，等号成立，故n3故选：D5（5分）在ABC中，点D是线段BC上任意一点，且满足AD=3AP，若存在实数m和n，使得BP=mAB+nAC，则m+n（）A23B13C-23D-13【解答】解：因为AD=3AP，所以BP=BA+AP=BA+13AD=BA+13（BD-BA）=23BA+13BC=23BA+13（AC-AB）=13AC-(23+13)AB若存在实数m和n，使得BP=mAB+nAC，则m+n=13-23-13=-23故选：C6（5分）平面直角坐标系中，角的终边经过点P（
12、3，4），则cos2(2+)=（）A110B15C45D910【解答】解：因为平面直角坐标系中，角的终边经过点P（3，4），所以cos=-3(-3)2+42=-35，则cos2(2+)=cos2（2）=12（1+cos）=12（1-35）=15故选：B7（5分）已知实数asin23，b=43sin34，c=43cos34，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCabcDacb【解答】解：023344，asin23，b=43sin34，c=43cos34，ysinx在（0，4）上单调递增，ycosx在（0，4）上单调递减，cos34cos4=sin4sin34，c=43cos3443sin
13、34=b，cba，故选：A8（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x+1）当-12x0时，f（x）=-x则下列结论错误的是（）Af（2022）0B函数f（x）的值域为-22，22C函数f（x）的图像关于直线x=-112对称D方程f（x）x+a0最少有两个解【解答】解：f（x+2）f（x+1），f（x）f（x+1），则f（x+1）f（x+2），f（x）f（x+2），即函数f（x）的周期为2，f（2022）f（0）0，选项A正确；又f（x）为奇函数，则f（x）f（x+1），即f（x）f（x+1），则f（x）关于直线x=12对称，又周期为2，则x=12-26=-112也为f（x）
14、的对称轴，选项C正确；当-12x0时，f（x）=-x，此时f（x）-22，0)，当0x12时，f(x)=-f(-x)=x，此时f(x)(0，22，又f（x）关于直线x=12对称，则当12x1时，f(x)(0，22，当1x32时，f（x）-22，0)，则f（x）的值域为-22，22，选项B正确；由前面对f（x）的分析以及直线yxa的性质可知，方程f（x）x+a0最少有一个解，选项D错误故选：D二、多项选择题（共4小题，每小题5分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9（5分）下列说法中正确的有（）A“a0”是“1a+a2”的充要条件
15、B“x6”是“x25x60”的必要不充分条件C命题“存在xR，x+20”的否定是：“存在xR，x+20”D设a，b都是非零向量，则a=2b是a|a|=b|b|成立的充分不必要条件【解答】解：对A，由a0，可得1a+a21aa=2，当且仅当1a=a，即a1取等号，反过来由1a+a2，可得a0，“a0”是“1a+a2”的充要条件，A正确；对B，x25x60x1或x6，“x6”是“x25x60”的充分不必要条件，B错误；对C，“存在xR，x+20”的否定是：“xR，x+20”，C错误；对D，a，b都是非零向量，由a=2b，可得a与b同向共线，a|a|=b|b|，反过来由a|a|=b|b|，可得a与b
16、同向共线，但不能得到a=2b，a=2b是a|a|=b|b|成立的充分不必要条件，D正确故选：AD（多选）10（5分）已知函数f（x）|2sinxcosx|，则下列结论正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）在区间-4，0上单调递减C函数f（x）的图像不是中心对称图形D函数f（x）图像的对称轴方程仅有x=k2，kZ【解答】解：对于函数f（x）|2sinxcosx|sin2x|，它的最小正周期为1222=2，故A错误；在区间-4，0上，2x-2，0，函数f（x）|sin2x|2sin2x单调递减，故B正确；由于函数f（x）|sin2x|的图像不是中心对称图形，故C正确；函数f（x）|
17、sin2x|是偶函数，它的图象关于y轴对称，对称轴方程为x=k4，kZ，故D错误，故选：BC（多选）11（5分）若数列an的前n项和为Sn，满足a11，an+1（1）n+1an+2，则下列结论正确的有（）AS2120BS199S201Ca2n1（1）n+1，nN*Da2n2+（1）n1，nN*【解答】解：对于选项A，当n为偶数时，有an+an+12，则S21a1+（a2+a3）+.+（a20+a21）1+21021，即选项A错误；对于选项B，当n为偶数时，有an+an+12，则S201S199a200+a2012，即S199S201，即选项B错误；对于选项C，由an+1（1）n+1an+2，当
18、n为奇数时，an+1an+2，则an+2an+1+2，由可得an+2an，即数列a2n1是以1为首项，1为公比的等比数列，即a2n-1=1(-1)n-1=（1）n+1，即选项C正确；对于选项D，当n为偶数时，有an+an+12，则an+2an+1+2，由+可得an+2an+4，即an+22（an2），又a23，即数列a2n2是以321为首项，1为公比的等比数列，则a2n-2=(-1)n-1，即a2n=2+(-1)n-1，即选项D正确，故选：CD（多选）12（5分）已知函数f（x）exax，g（x）x2lnx，e是自然对数的底数，则下列正确的（）A若函数f（x）仅有一个零点，则a1B若g（x1）
19、g（x2），（x1x2），x1+x22eeC若f（x）0对任意x（0，+）恒成立，则aeD若f（x）g（x）恒成立，则整数a的最大值为2【解答】解：对于A，取a1，此时f（x）ex+x在R上单调递增，f（1）1+1e0，f（0）10，故f（x）在（1，0）上有且只有一个零点，且在R上只有一个零点，故A错误；对于B，令g（x）x（2lnx+1）0，（x0），得x=1e，易知当x(0，1e)时，g（x）0，g（x）单调递减；当x(1e，+)时，g（x）0，g（x）单调递增，由limx0x2lnx=limx0lnx1x2=limx01x-2x3=limx0(-x22)=0，又g（1）0，结合g（x）
20、的单调性可见，当x10时，x21，此时x1+x212ee，与选项结论矛盾，故B错误；对于C，f（x）0对任意x（0，+）恒成立，即aexx对任意的x0恒成立，令h（x）=exx，h(x)=ex(x-1)x2，当x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减；当x（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递增，故h（x）maxh（1）e，故ae恒成立，即C正确；对于D，exaxx2lnx，x0，即aexx-xlnx，x0恒成立，令m（x）=exx-xlnx，则m（x）=(x-1)exx2-1-lnx，而m（x）=(x2-2x+2)ex-x2x3(x2-2x+2)(x+1)-x2x3=x3-2x2+2x
21、3（x0），利用导数易求分子的最小值大于0，故m（x）在（0，+）单调递增，而m（1）10，m(2)=e24-1-ln20，故存在x0（1，2），使得m(x0)=(x0-1)ex0x02-lnx010，显然x0是m（x）的极小值点，也是最小值点，所以m（x）minm（x0）=ex0x0-x0lnx0，由得x0lnx0=(x0-1)ex0x0-x0，故m(x0)=(2-x0)ex0x0+x0(2-x0)(x0+1)x0+x0=1+2x02，结合m（x0）m（2）=e22-2ln23，故2m（x0）3，故a的最大整数值为2，故D正确故选：CD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填
22、在答题卡相应的位置上）13（5分）已知函数f（x）=x+1x-1，定义域为（2，+），则f（x）的值域为 （1，3）【解答】解：函数f（x）=x+1x-1=x-1+2x-1=1+2x-1，因为函数的定义域为（2，+），所以x11，02x-12，11+2x-13，所以f（x）的值域为（1，3）故答案为：（1，3）14（5分）已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn是数列an的前n项和，S1111，b5b73，则log3a6b62=1【解答】解：an是等差数列，Sn是数列an的前n项和，且S1111，(a1+a11)112=11a6=11，即a61；bn是等比数列，且b5b73，b62=3，则lo
23、g3a6b62=log313=-1故答案为：115（5分）如图所示，点P是正三角形ABC外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为3，则OPOA+2OPOB+4OPOC的取值范围是 37，37【解答】解：设圆O的半径为r，由正弦定理知，2r=3sin60=23，所以r=3，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（-32，-32），B（32，-32），C（0，3），所以OA=（-32，-32），OB=（32，-32），OC=（0，3），设点 P（3cos，3sin），0，2，则OP=（3cos，3sin），所以OPOA+2OPOB+4OPOC=（-32）（3cos）
24、+（-32）（3sin）+2323cos+（-32）3sin+433sin=152sin+332cos=(152)2+(332)2sin（+）37sin（+）37，37，所以OPOA+2OPOB+4OPOC的取值范围是37，37故答案为：37，3716（5分）已知ABC满足sin（2C+B）sinBsinC，D是ABC的边BC上一点，且BC=3BD，AD2，则AC+2AB的最大值为 43【解答】解：sin（2C+B）sinBsinC，sin（C+C+B）sin（A+C）sinC，sinCcos（C+B）+cosCsin（C+B）sinAcosC+cosA+sinCsinC，sinCcosA+c
25、osCsinAsinAcosC+cosAsinCsinC，2cosAsinCsinC，sinC0，cosA=12，0A，A=3，由已知可得AC-AB=3（AD-AB），3AD=2AB+AC，9AD24AB2+4ABAC+AC24|AB|2+4|AB|AC|cosBAC+|AC|2（2|AB|+|AC|）22|AB|AC|（2|AB|+|AC|）2（2|AB|+|AC|2）2=34（2|AB|+|AC|）2，3634（2|AB|2+|AC|）2，当且仅当2|AB|AC|时取等号，AC+2AB43，故AC+2AB的最大值为43故答案为：43四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证
26、明过程或演算步骤）17（10分）设函数f（x）=ab，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2xm）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）当x-6，时，函数f（x）恰有三个零点，求m的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）=ab，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2xm），f（x）2cos2x+3sin2xm1+cos2x+3sin2xm2sin（2x+6）m+1，令2x+62k-2，2k+2，kZ解得xk-3，k+6，kZ，所以函数f（x）的单调递增区间为k-3，k+6，kZ（2）函数f（x）恰有三个零点，即f（x）0有3个不同的实根，即当x-6，时
27、，2x+6-6，136，2sin(2x+6)=m-1有三个不等实根，则m11，1，m0，2，即m的取值范围是0，218（12分）已知数列an满足a11，an+1ann（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=1an+1-a1，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）数列an满足a11，an+1ann，故anan1（n1），an1an2（n2），.，a2a11；故ana11+2+.+（n1），所以an=n(n-1)2+1，（首项符合通项）故an=n(n-1)2+1（2）由（1）得：bn=1an+1-a1=1n(n+1)2+1-1=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，故Sn=2(1-12+12
28、-13+.+1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+119（12分）在2S=3ABAC；2cos2B+C2=1+cos2A；c=3asinCccosA；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答在锐角ABC中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且_（1）求角A的大小；（2）若a=3，求ABC周长的范围【解答】解：（1）选条件：由2S=3ABAC；可得212bcsinA=3bccosA，tanA=3，0A2，A=3；选条件：由2cos2B+C2=1+cos2A，可得cos（B+C）cos2A，cos（A）2cos2A1，2cos2A+cosA10，（2cosA1）（cosA+1
29、）；cosA=12或cosA1（舍去），0A2，A=3；选条件：由c=3asinCccosA，可得sinC=3sinAsinCsinCcosA，sinC0，1=3sinAcosA2sin（A-6），sin（A-6）=12，0A2，-6A-656，A-6=6，A=3；（2）a=3，由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2，b2sinB，c2sinC，a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin（23-B）23sin（B+6）+3，在锐角ABC中，0B2，023-B2，解得6B2，所以3B+623，32sin（B+6）1，所以a+b+c23sin（B+6）+3（3+
30、3，33ABC周长的范围为（3+3，3320（12分）疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理校园内某区域由矩形OABC与扇形OCD组成，OA2m，AB23m，COD=3消毒装备的喷射角EOF=3，阴影部分为可消毒范围，要求点E在弧CD上，点F在线段AB上，设FOC，可消毒范围的面积为S（1）求消毒面积S关于的关系式，并求出tan的范围；（2）当消毒面积S最大时，求tan的值【解答】解：（1）校园内某区域由矩形OABC与扇形OCD组成，OA2m，AB23m，COD=3消毒装备的喷射角EOF=3，阴影部分为可消毒范围，要求点E在弧CD上，点F在线段AB上，设FOC，可消毒范围的面积为S，S
31、1=12(3-)(23)2=26，OF=2tan，S243-1222tan=43-2tan消毒面积S关于的关系式为：SS1+S22+43-6-2tan，tan的范围是33，3；（2）设y6+2tan，tan33，3，y6-2sin2=6sin2-2sin2=2(3sin+1)(3sin-1)sin2，sin12，33，y0，sin33，32，y0，sin=33，即tan=22时，y取最小值，此时S取最大值，当消毒面积S最大时，tan=2221（12分）已知数列an的前n项和为Sn，满足2Sn3an2n+1（1）求证：数列an+2n是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）记bn（2n1）（an
32、+2n），求数列bn的前n项和为Mn；（3）记an=3n-2ncn2cn+1，数列cn的前n项和为Tn求证：Tn32【解答】解：（1）证明：数列an的前n项和为Sn，满足2Sn3an2n+1，当n1时，整理得a11，当n2时，2Sn-1=3an-1-2n-1+1，得：an=3an-1+2n-1，整理得：an+2n=3(an-1+2n-1)，故数列an+2n是以3为首项，3为公比的等比数列；所以an=3n-2n（2）由（1）得：bn（2n1）（an+2n）（2n1）3n；所以Mn=131+332+.+(2n-1)3n，3Mn=132+333+.+(2n-1)3n+1，得：2Mn2（3+32+.+
33、3n）（2n1）3n+1323(1-3n)1-3-（2n1）3n+13，化为Mn3+（n1）3n+1；（3）证明：由于an=3n-2n，所以3n-2ncn2cn+1=3n-2n，整理得cn=2n23n-2n=12(32)n-1，则c1=12，当n2时，2（32）n1（32）n+1，所以cn（23）n+1，n2，则Tn=12+827+1681+.+（23）n+1=12+8271-(23)n-11-2312+8273=25183222（12分）已知函数f（x）xexln（x+1）+ax（1）求函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当a0时，函数g（x）f（x）m有两个零点，求实数m的取
34、值范围；（3）求证：对任意的x1，x2（0，+），都有f（x1+x2）f（x1）+f（x2）【解答】解：（1）f（0）0，f（x）exln（x+1）+xexln（x+1）+exxx+1+a，故f（0）a，则函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为yax（2）当a0时，g（x）xexln（x+1）m，则g（x）ex（x+1）ln（x+1）+x(x+1)2，令h（x）ln（x+1）+x(x+1)2，则h（x）=x2+x+2(x+1)30对x1恒成立，则有h（x）在（1，+）上单调递增，又由h（0）0可知，x（1，0）0（0，+） g（x） 0+g（x）单调递减极小值单调递增又由于当x1时，g（
35、x）+，且当x+时，g（x）+，故函数g（x）有两个零点，只需m的取值范围为（0，+）（3）证明：首先设F（x）=f(x)x=exln（x+1）+a，则有F（x）exln（x+1）+exx+1=exln（x+1）+1x+1，令h（x）ln（x+1）+1x+1，则有h（x）=x(x+1)20（x0），即h（x）在（0，+）上单调递增，则有当x（0，+）时，h（x）h（0）10，即F（x）0，所以F（x）在（0，+）上单调递增，对任意的x1，x2（0，+），由x1+x2x10，知F（x1+x2）F（x1），即x1f（x1+x2）（x1+x2）f（x1），同理x2f（x1+x2）（x1+x2）f（x2），由可得f（x1+x2）f（x1）+f（x2）第18页（共18页）
