1、2-1 投影法的基础知识2-2 物体的投影与视图第二章 投影基础2-3 物体上点、直线 和平面投影2-4 直线与平面、平面与平面的相对位置2-1 投影法的基础知识投影法的基础知识二二、投影法分类、投影法分类一、投影法一、投影法三、正投影的投影特性三、正投影的投影特性点、直线和平面是构成物体的基本几何元素，掌握了这些基点、直线和平面是构成物体的基本几何元素，掌握了这些基本本几何元素的正投影规律，是学好工程制图的基础。本章主要介绍投几何元素的正投影规律，是学好工程制图的基础。本章主要介绍投影法的基础知识及点、线和面的投影、绘图原理和方法。影法的基础知识及点、线和面的投影、绘图原理和方法。一、投影法
2、一、投影法 物体在太阳光或灯光的照射下，就会在地面上或墙壁上产生物体的影子，人们对这 类现象进行了长期的观察或研究，并加以科学抽象而产生、建立了投影法。投影法投影法是投射线通过物体向预设的面投射，并在该面上得到图形的方法，而得到图形的方法。如图2-1（见下页）所示，射线可以是光线或假想线（如视线），射线称为投影线。预设面称为投影面，物体在投影面上所得到的图形称为投影。四面体四面体2-1 投影法投影面投影面P投影投影投影线投影线投影中心投影面投影线空间点投影2-1 投影法(中心投影）SBAba二、投影法分类二、投影法分类1.1.中心投影法中心投影法（1 1）斜投影法）斜投影法 （2 2）正投影法
3、）正投影法2.2.平行投影法平行投影法 1.中心投影法 投影线均从一点出发的投影法称为中心投影法。如图2-2所示，通过投影中心S作出四边形ABCD在投影面P上的投影：从点S引投影线SA、SB、SC、SD使其与平面P相交分别得a、b、c、d,则四边形abcd称为四边形ABCD在P面上的投影。由图2-2可见，随着投影中心S、投影面P与四边形ABCD的相对位置的变化，所得投影abcd的形状、大小也会发生变化，因此中心投影法不能反映原物体的真实形状和大小，但是用中心投影法绘制的图立体感较强，所以适用于绘制建筑物的透视图。图2-2中心投影法abcdABCDS 2.平行投影法投影线相互平行的投影法称为平行
4、投影法，如图2-3所示。在确定的投影方向下，空间的一个点在某投影面上的平行投影也是唯一确定的。在平行投影法中，因为投影线互相平行，改变原物体对投影面的距离，则所得的投影大小和形状不变。PabcdABCD图2-3平行投影 根据投射方向与投影面的倾角不同平行投影法又分为平行投影法又分为斜投影斜投影法法和和正投影法正投影法。（1 1）斜投影）斜投影法：法：投影线倾斜于投影面的投影方法称为斜投影法，所得的投影为斜投影，如图2-4所示。图2-4斜投影法ABCDcabd图2-5正投影法ABCDabcd （2 2）正投影法：）正投影法：投影线垂直于投影面的投影方法称为正投影法，所得的投影为正投影，如图2-5
5、所示。在机械制图中主要是按正投影法绘制图形的。正投影法能满足工程技术界对图形与原物体形状保持一一对应的要求，同时图形清晰、准确和容易测量其几何元素之间的相对位置，所以在工程制图中广泛应用。本教案以下所说的“投影”，都属于正投影。其投影特性有：其投影特性有：三、正投影的投影特性三、正投影的投影特性1.1.积聚性积聚性2.2.实形性实形性3.3.类似性类似性4.4.平行性平行性5 5定比性定比性6 6从属性从属性2-2 物体的投影与视图物体的投影与视图一、物体在两投影面系的投影一、物体在两投影面系的投影二、物体在三投影面系的投影二、物体在三投影面系的投影三、物体的三视图三、物体的三视图VHXO图2
6、-7两投影面系的投影 一、物体在两投影面系的投影 两投影面系由两个互相垂直的投影面组成。如图2-7所示，正立放置的投影面称为正投影面，用字母“V”表示，得到的物体投影称为正投影；水平放置的投影面称为水平投影面，用字母“H”表示，得到的物体投影称为水平投影；两投影面的交线为投影轴OX。VHXO 一、物体在两投影面系的投影图2-7两投影面系的投影 两投影面系由两个互相垂直的投影面组成。如图2-7所示，正立放置的投影面称为正投影面，用字母“V”表示，得到的物体投影称为正投影；水平放置的投影面称为水平投影面，用字母“H”表示，得到的物体投影称为水平投影；两投影面的交线为投影轴OX。为了画图和看图方便，
7、需要将空间的两投影画在同一平面上，画在同一平面上的两投影称为两面投影图。如图2-8所示，展开的规则为：V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90。图2-8两投影系的展开VHXO 由于投影面的边界大小与投影无关，投影轴对投影图无影响，因此去掉边界、投影轴得到图2-9所示的图形。但要注意，正面投影和水平投影的上下位置关系不能改变。图2-9去除投影面边界和投影轴1.单面正投影图：是用平行投影法中的正投影法设置一个投影面，从物体的一个方向（垂直投影面）进行投射画出的图。二、物体在三投影面系的投影单一正投影不能完单一正投影不能完全确定物体的形状全确定物体的形状和大小和大小图2-10单面投影 2.两面投影：有些
8、形体用两面（相互垂直）投影也不能准确表达其形状特点，如图2-11所示。图2-11两面投影系3.三面投影：因此在两面投影系的基础上增加了第三个投影面（与前两投影面均垂直），即三投影面系。图2-12三投影面系 4.三投影面体系：在原两面投影系的右侧新设一个与正投影面（V面）和水平投影面（H面）都垂直的侧投影面，用字母“W”表示，就组成了一个三投影面系三投影面系，三面的交线分别为X、Y、Z轴，原点为O。图2-13三投影面系VHWV面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:侧立投影面三个三个平面相互垂直平面相互垂直为了便于画图和看图，须将三投影面画在同一平面上，也即展开三投影面系（见下页）XZYX X轴
9、，Y Y轴，Z Z轴叫投影轴O在两面投影系展开的基础上，仍保持V面不动，将W面绕OZ轴向右旋转90。此时Y轴被一分为二：随H面向下的Y轴用YH表示；随W面向右旋转的Y轴用YW表示。同样，由于投影面边界大小与投影无关，投影轴对投影图无影响，因此可去掉边界和投影轴。去掉边界和投影轴（如图2-14所示）后，得到三面投影图，即正面投影、水平投影和侧面投影。由于投影面展开形式的规定，正面投影、水平投影和侧面投影的位置是不能改变的。5.三投影面系的展开点击点击观看动画观看动画XYHYWZOV（正投影面正投影面）W（侧投影面）侧投影面）H（水平投影面）水平投影面）图2-14三投影面展开V V W WH H三
10、三面面合合一一并并除除去去边边界界XYHYWZO图2-14三投影面展开V V W WH H三三面面合合一一并并除除去去边边界界 三、物体的三视图 1.根据国家标准机械制图的规定，物体的图形按正投影绘制并采用第一分角投影法。即将物体置于第一分角中位于观察者和相应的投影面之间，然后进行投影。如右图：图2-15(a)物体的三面投影图VHWVHW图2-15(b)展开的三面投影体系 物体在正投影面上的投影称为主视图，水平投影面上的投影称为俯视图，侧投影面上投影称为左视图，如图2-15(b)所示。注意，视图的名称不应写出。2.三视图的展开图2-15(c)物体的三视图主视图主视图左左视图视图俯视图俯视图去除
11、边界和坐标轴 根据三视图的形成 规律可知：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方；同时，主视图反映了物体的长度和高度，俯视图反映了物体的长度和宽度，左视图反映了物体的高度和宽度。由此可归纳出三视图的投影规律为：主、俯视图长相等；主、左视图高相等；俯、左视图宽相等。下左右前后上上下后前左右宽高长宽3.三视图的投影规律（三等关系）长对正高平齐宽相等图2-16(a)三视图的投影规律下左右前后上上下后前左右宽高长宽4.三视图的方位对应关系 “长对正、高平齐、宽相等”是主、俯、左三视图之间的投影规律。它对物体的局部或整体都是适用的。相对于人来说，人所看到的主、俯视图的左、右边就反映了物体的左、右
12、方；看到的主、左视图的上、下边就反映了物体的上、下方；在俯、左视图中，远离主视图的一边是物体的前面；反之，是物体的后面。因此，上、下、左、右、前、后这六个方位是画图、看图时应该经常注意到的。图2-16(b)三视图的方位关系图2-17物体三视图的画法5.三视图的画法2-3 物体的点、直线和平面的投影一、点的投影一、点的投影二、直线的投影二、直线的投影三、平面的投影三、平面的投影一、点的投影 1.点的投影 已知点的一个投影是不能确定其空间位置的，如图2-18所示，因此要确定点的空间位置，必须增加其他投影面。图218点是构成立体最基本的几何元素。因此，学习点的投影是学习直线、平面以立体投影的基础。点
13、的投影特性：点的投影仍然是点，而且一个投影面上的投影是唯一的。如右图：点A在P面上的投影为唯一点a。AaaaaxayazVHWOXYZXaaaOaxayazZayYHYWHWxyz(a)(b)图2-19 点的三面投影的形成播放动画 2.点在三投影面系中的投影如下图所示，空间点A处于由V面、H面和W面所组成的三投影面体系中，点A在V面上投影为a，在H面上的投影为a，在W面上的投影为a。YHaYwa 3.点的三面投影规律及点的直角坐标（1)点的投影连线垂直于投影轴，即AaOX,aAaOZ（2）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。即：图2-20点的三面投影规律A
14、a=aaz=aay=x坐标；Aa=aaz=aax=y坐标；Aa=aax=aay=z坐标。4.点的投影图画法 例例2-12-1 已知空间点A（11、8、15），求作它的三面投影图。作图作图：图2-21已知点的坐标求其投影图作图演示a aaxa、a a a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线使线使a az=aax解法二解法二:用分规直接量用分规直接量取取a az=aaxa 图2-22已知点的两投影求第三投影 5.两点的相对位置空间两点上下、左右、前后的相对位置可根据它们在投影图中的各组同面投影来判断。也可以通过比较两点的坐标来判断它们的相对位置，即x坐标大的点在左方；y坐标大的点在
15、前方；z坐标大的点在上方。如图2-23所示的空间点A、B，由V面投影可判断出A在B的左方、上方，由H面投影可判断出A在B的左方、前方，由W面投影可判断出A在B的前方、上方，因此,由三面投影或两投影就可以判断点A在点B的左、前、上方。图2-23两点的相对位置O前前下左图2-24 利用相对坐标作图例2-3已知点A的投影，且知点B在A的左方10、下方15及前方12，试作出点B的投影。6.重影点及其可见性如果空间两点有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。如右图，点B在点A的正下方，则两点A、B是对H面的重影点。a a c b()a b重影
16、点要判别可见性，其方法是:比较两点不相同的那个坐标，其中坐标大的可见。例如两点A、B的x和Y坐标相同，Z坐标不等，因ZAZB，因此，a可见，b不可见（加括号即表示不可见）。cdc (d)cd图2-25 重影点及可见性二、直线的投影1.直线投影的概念2.直线的投影特性3.直线的分类及其投影特性4.直线上的点5.两直线的相对位置O图2-26 直线投影的确定 1.直线投影的概念两点确定一条直线，连接直线上两端点的各组同面投影，就得到直线的投影。如图3-10所示，分别连接直线AB上两端点的同面投影ab、ab、ab 即得直线AB的投影。直线的投影一般仍是直线。bab aab 2.直线的投影特性（1）直线
17、对一个投影面的投影特性ABab直线垂直于投影面投影重合为一点 积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm（2）直线投影的基本特性 一般情况下，一般情况下，直线的投影仍然为直线，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。特殊情况为一个点。图2-27 直线投影实例想一想AB的投影在?（3）直线投影实例3.直线的分类及其投影特性 一般位置直线一般位置直线 直线直线 投影面的平行线投影面的平行线 投影面的垂直线投影面的垂直线 正平线正平线 正垂线正垂线 投影面的平行线投影面的平行线 水平线水平线 投影面的垂直线投影面的垂直线
18、铅垂线铅垂线 侧平线侧平线 侧垂线侧垂线特殊位置直线特殊位置直线（1 1）直线的分类）直线的分类-根据直线与三个投影面相对位置的不同，可以将根据直线与三个投影面相对位置的不同，可以将 直线划分为三类直线划分为三类 OO（2）一般位置直线:与三个投影面都倾斜 如图所示，直线如图所示，直线AB为一般位置直线，它与三个投影面的倾角分别为为一般位置直线，它与三个投影面的倾角分别为，。其投影特性可归纳为三点：其投影特性可归纳为三点：1)1)一般位置直线的正面、水平面和侧面的投影对三个投影轴既不平行也不垂一般位置直线的正面、水平面和侧面的投影对三个投影轴既不平行也不垂直；直；2)2)一般位置直线的任何一个
19、投影均小于该直线的实长；一般位置直线的任何一个投影均小于该直线的实长；3)3)任何一个投影与投影轴的夹角，均不反映空间直线与任何投影面间的倾角。任何一个投影与投影轴的夹角，均不反映空间直线与任何投影面间的倾角。图2-28 一般位置直线（3 3）投影面平行线）投影面平行线是指直线平行于某一个投影面、而与另外是指直线平行于某一个投影面、而与另外两个投影面倾斜两个投影面倾斜 正平线正平线投影面的平行线投影面的平行线 水平线水平线 侧平线侧平线如下图如下图:正平线正平线是一条平行于正投影面的直线，它与水平投影面和侧投是一条平行于正投影面的直线，它与水平投影面和侧投影面倾斜影面倾斜,依此类推可知依此类推
20、可知水平线水平线和和侧平线。侧平线。动画演示图2-29 正平线 小结：1.直线在所平行的投影面上的投影表达实长；2.其他投影平行于相应的投影轴；3.表达实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对投影面的倾角。（4）投影面平行线的投影特性（5 5）投影面垂直线）投影面垂直线是指直线垂直于某一个投影面、而与另外两个是指直线垂直于某一个投影面、而与另外两个 投影面平行投影面平行 正垂线正垂线 投影面的垂直线投影面的垂直线 铅垂线铅垂线 侧垂线侧垂线如下图如下图:铅垂线铅垂线是一条垂直于水平投影面的直线，依此可推是一条垂直于水平投影面的直线，依此可推铅垂线铅垂线和和侧垂线侧垂线 动画演示图2-30 铅
21、垂线 小结：1.直线在所垂直的投影面上的投影成一点，有积聚性；2.其他投影表达实长，且垂直于相应的投影轴。（6）投影面垂直线的投影特性 4.直线上的点直线上的点的投影特性：（1）点在直线上，则点的各个投影必须在该直线的同面投影上；（2）直线段上的点分割直线成比例，投影后，仍保持比例不变，即符合定比分段特性。如图2-31直线上的点具有从属性和定比性是点在直线上的充分必要条件。点与直线的相对位置有两种情况：点在直线上或点不在直线上。图2-32 求直线上的定比分点 作图过程例2-4已知直线AB 的投影图，试将AB 直线分成2:3两段，求分点C 的投影。例2-4判断点K是否在直线AB上。a b k 因
22、因k k 不在不在a a b b 上，上，故点故点K K不在不在ABAB上。上。abka b k 图2-33 判断点是否在直线上 5.两直线的相对位置空间两直线的相对位置关系有以下三种情况情况平行、相交、交叉空间两直线的相对位置关系有以下三种情况情况平行、相交、交叉（异面），前两种为同面直线，后一种为异面直线。（异面），前两种为同面直线，后一种为异面直线。1.1.两直线平行两直线平行 平行两直线的同面投影均相互平行。平行两直线的同面投影均相互平行。2.2.两直线相交两直线相交 相交两直线的同面投影均相交，且其投影的交点必满足点的投相交两直线的同面投影均相交，且其投影的交点必满足点的投影规律。影
23、规律。3.3.两直线交叉两直线交叉 交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律，也不满足相交两交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律，也不满足相交两直线的规律。直线的规律。如图如图平行平行相交相交交叉交叉1）两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同面名投影必相互平行，反之亦然。O图2-34 两平行直线 b d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直线特殊位置直线，只有，只有两个同面投影互相平行，空间直两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行不平行例例2-5：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行
24、。求出侧面投影求出侧面投影图2-35 不平行直线 O2）两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点图2-36 两相交直线 2）两直线交叉O1(2)1(2)同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。图2-37 两交叉直线 1 1 1（2）2 2 A AB BC CD Dc ca ad db bac cd da ab bbcdabcdZ ZX XY YH HY YW W例题2-6 判断两直线重影点的可见性3(4)34121(2)bObcddcXaa
25、点、是H面的重影点点、是V面的重影点图2-38三、平面的投影1.平面的表示法2.各种位置平面的投影3.平面上的直线和点1.平面表示法在立体几何中，确定平面的方式有五种：不在一直线上的三点；直线及线外一点；相交两直线；平行两直线；任意的平面图形。在投影理论中，只需将上述诸方式简单地转换成投影方式，即可实现平面的投影表示。如下页图示：abca b c 不在同一直线上的三个点abca b c 直线及线外一点abca b c dd 两平行直线abca b c 两相交直线abca b c 平面图形图2-39用几何元素表示平面PVPWPHPXPYHPYWPZOXZYPH平面与投影面相交时的交线，叫平面的迹
26、线，如下图所示。平面P与V、H、W投影面的交线，分别叫正面迹线PV、水平迹线PH、侧面迹线PW。由于迹线是属于投影面的直线，因此迹线在该投影面上的投影与迹线本身重合，该迹线的另两个投影落在相应的投影轴上。图2-40用几何元素表示平面平面 P与三投影轴OX、OY、OZ的交点，用PX、PY、PZ表示。投影面的垂直面 平面 投影面的平行面 一般位置平面 正垂面 正平面 投影面的垂直面 铅垂面 投影面的平行面 水平面 侧垂面 侧垂面特殊位置平面2.各种位置平面的投影根据平面相对投影面的位置不同，可以分为三类：投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面。前两类又称为特殊位置平面，后一类称为倾斜平面，平面与
27、水平投影面的倾角、与正投影面的倾角和侧投影面的倾角分别用表示。1）投影面垂直面投影面垂直面可分为三种垂直于V面的平面叫正垂面；垂直于H面的平面叫铅垂面；垂直于W面的平面叫侧垂面。图3-25是铅垂面ABC的投影。由于ABC垂直于H面，倾斜于V、W面，因此其水平投影积聚成一条直线，面投影和面投影都是类似的三角形，面投影与OX轴、OY轴的夹角分别反映ABC与V面、W面的倾角、。垂直于一个投影面，与另两个投影面倾斜的平面图2-41 铅垂面的投影特性投影面垂直面的投影特性投影图及及及 具有积聚性，且为一斜线。具有积聚性，且为一斜线。具有积聚性，且为一斜线。为缩小的类似形为缩小的类似形的类似形为缩小名称实
28、例铅垂正垂侧垂面面面特性投影面垂直面的投影特性:一、平面在与其所垂直的投影面上的投影面积聚成倾斜与投影轴的直线,并反映该平面对其他两个投影面的倾角二、平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形2）投影面平行面平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平面 投影面平行面可分为三种平行于V面的平面叫正平面；平行于H面的平面叫水平面；平行于W面的平面叫侧平面。图2-42为正平面的投影。平面P平行于V面，垂直于H面和W面，因此其V面投影反映实形，H面投影和W面投影积聚成直线，且H面投影平行于OX轴，W面投影平行于OZ轴。图2-42 正平面的投影特性投影面平行面的投影特性投名称P特性OY影图实OX例水
29、平正平侧平面面面具有积聚性，且具有积聚性，且OY具有积聚性，且OZ具有积聚性，且OZ具有积聚性，且具有积聚性，且OX具有保真性具有保真性具有保真性投影面平行面的投影特性:一、平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形；二、平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴的直线。3）一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面 一般位置平面的投影如图2-43所示。由于ABC对H、V、W面都倾斜，因此它的三个投影都是三角形，为原平面图形的类似形，面积均比实形小。图2-43 一般位置平面的投影特性投影图演示abcbacabCABabbaccbac3.平面上的直线和点1）平面上的直线直线在平面上的条
30、件是：直线必通过平面上的两个点，如图2-44（a）；通过平面上的一点，且平行于平面上的任一直线，如图2-44（b）。图2-44 平面上取直线(a)(b)2）平面上的点一直线在平面上，则此直线上的任何点都在该平面上。由此可知，点在平面上的条件是：点在平面内的一条直线上。过平面上的一点可以作无数条直线，可根据需要选择其中的一条。例例 2-7如右图，两相交直线AB、BC 组成平面，K 点属于该平面，已知k，求k。分析：分析：因为K 属于AB、BC 组成的平面，所以k 与A、B、C三点中任意一点的连线都属于该平面。图2-45 平面上取点（b）结果图XOa b abc cd dkk 应该注意：特殊位置平
31、面上的点和直线，因为平面在所垂直的投影面上的投影为一直线，有积聚性，所以平面上的点和直线，在该投影面上的投影也位于有积聚性的同面投影上（见下图）a b c abcm mXO图2-46 铅垂面上取点例例 2-8在平面在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H H面的距离为面的距离为1010mmmm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！图2-47 平面上取直线3）平面上的投影面平行线在一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线。平面上投影面的平行线既符合平面上直线的投影关系，又符合投影面平行线的投影特性。例例 2-9如图如图2-482-48所示，在所示，在A
32、BCABC平面上任取一点平面上任取一点K K，使点使点K K在在A A点之点之下下1515mmmm、在在A A点之前点之前2020mmmm处处。XOn m k knme ef f图2-48 平面上取点a c b acb2-4 直线与平面、平面与平面的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置可分为平行、相交及垂直三种情况，在此仅研究直线与平面、平面与平面的平行及相交问题。一、平行问题一、平行问题二、相交问题二、相交问题一、平行问题1.直线与平面平行 由几何学可知，直线与平面平行的几何条件是：直线平行于平面内的任一直线。由图2-49可以得出直线与投影面垂直面平行时，直线的投影平行于平面有积聚性的同
33、面投影，或者直线和平面的同面投影都有积聚性。图2-49 直线与平面平行动画演示例例 2-10过点过点M M作一水平线平行于平面（作一水平线平行于平面（ABCDABCD），），如图如图2-502-50所示。所示。XOa b abc cd dm mn ne e图2-50 过点作水平线与平面平行例例 2-10已知直线已知直线AB的投影，过的投影，过E点作一铅垂面与直线点作一铅垂面与直线AB平行，平行，如图如图2-51所示所示。图2-51 过点作水平线与平面平行a b abe eXOff PH解：解：过点过点E E作直线作直线EFEF ABAB（e e f f aa b b、ef ef abab),)
34、,则过直线则过直线EFEF的任一的任一平面都平行于直线平面都平行于直线ABAB。本本题要求作一铅垂面。根据题要求作一铅垂面。根据铅垂面的投影特性，其铅垂面的投影特性，其水水平投影有积聚性，故所作平投影有积聚性，故所作铅垂面铅垂面P P的水平迹线的水平迹线P PH H应应与与efef重合。重合。PV2.平面与平面平行平面与平面平行的几何条件是：一平面上两条相交直线对应平行一平面上两条相交直线对应平行于另一平面上两条相交直线。于另一平面上两条相交直线。图2-52 两平面平行的条件及投影图d dg ge ef f如右如右图：图：若若ABABFGFG、ACDE,ACDE,则平面则平面P P平行于平面平
35、行于平面Q QO（a）条件（b）投影图例例 2-11判断两三角形所代表的平面是否平行，如图判断两三角形所代表的平面是否平行，如图2-53所示。所示。a b c d e f abcdefXOk m mkll nn 图2-53 判断两平面平行由下图可知：两个投影面垂直面相互平行时，它们积聚性的同面投影平行。两个投影面垂直面相互平行时，它们积聚性的同面投影平行。动画演示图2-54 判断两平面平行二、相交问题1.直线与平面相交直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点，所以，直线与平面相交的问题即为求共有点的问题。且是直线可见与不可见的分界点。1）一般位置直线与特殊位置平面相交如图2-54a所示，一般位
36、置直线DE与铅垂面ABC 相交，交点K的H面投影k在ABC的H面投影abc上，又必在直线DE的H面投影de上，因此，交点K的H面投影k就是abc与de的交点，由k作de上的k，如图2-54b所示。交点K也是直线DE在ABC 范围内可见与不可见的分界点。由图2-54c可以看出，直线DE在交点右上方的一段KE位于ABC平面之前，因此ek为可见，kd被平面遮住的一段为不可见。也可利用两交叉直线的重影点来判断，ed与ac有一重影点1和2，根据H面投影可知，DE上的点在前，A上的点在后，因此1k可见，另一部分被平面遮挡，不可见，应画虚线。图2-54 一般位置直线与投影面垂直面相交2）投影面垂直线与一般位
37、置平面相交由于投影面垂直线在所垂直的那个投影面上的投影积聚为一点，由于投影面垂直线在所垂直的那个投影面上的投影积聚为一点，投影面垂直线与一般位置平面相交，交点的一个投影重合在直线有投影面垂直线与一般位置平面相交，交点的一个投影重合在直线有积聚性的投影上，而另一个投影是平面上过交点所作任意辅助线与积聚性的投影上，而另一个投影是平面上过交点所作任意辅助线与直线两者的同面投影的交点。直线两者的同面投影的交点。例例 2-12求铅垂线求铅垂线DE与平面与平面 ABC的交点的交点K，如图如图2-55(a)、(b)所示。所示。ABCDEbacd(e)KXOa b c abcd e 此即为此即为K点的点的水平
38、投影水平投影kkff k 判断可见性判断可见性1()1(2)2图2-55 投影面的垂直线与一般位置平面的交点(a)(b)2.平面与平面相交两平面在空间不平行则相交，即使两平面的交线不落在所给定的平面的界限之内，它们也是相交的，因为，广义上认为平面是无厚薄、无限大的。两平面相交，其交线为一条直线，它是两平面的共有线。所以求两平面的交线，就是求两平面的共有线，也就是求任意两个共有点的连线。这里仅介绍特殊位置平面与一般位置平面相交。由于特殊位置平面在某一投影面上的投影具有积聚性，即可利用积聚性的投影来确定交线的一个投影，交线的另一个投影可以按平面上取点、取线的方法作出。例例 2-13已知一铅垂面与一
39、般位置平面相交（如下图所示的已知一铅垂面与一般位置平面相交（如下图所示的 ABC和和 DEF），），求作两平面的交线。求作两平面的交线。XOb f c d a e klk l 判断可见性判断可见性1(2 )12aa cdef图2-56 特殊位置平面与一般位置平面的交线 平面平面ABC为为一般位置平面，一般位置平面，DEF平面为铅垂平面为铅垂面，其水平投影积面，其水平投影积聚为一直线，则两聚为一直线，则两平面的交线平面的交线KL的水的水平投影平投影kl可可直接求直接求出，再求出交线出，再求出交线kl的正面投影的正面投影k l 图2-6a积聚性 当空间直线或平面图形垂直投影面时，其投影积聚成点或直
40、线，如图2-6a所示。ABHa(b)pP图2-6b 实形性 当线段或平面当线段或平面图形图形平行于投影面平行于投影面时，其投影时，其投影反映实反映实长或实形长或实形，如图，如图2-2-6 6b b所示。所示。ABabHPp图2-6c 类似性 当直线或平当直线或平面图形面图形与投影面与投影面倾斜倾斜时，直线的时，直线的投影仍然是直线，投影仍然是直线，平面图形的投影平面图形的投影是原图形的是原图形的类似类似形形（类似形的对（类似形的对应线段保持定比、应线段保持定比、边数、平行关系、边数、平行关系、凸凹、直曲不凸凹、直曲不变）。变）。在正投影在正投影下，下，投影小于实投影小于实长或实形长或实形，如图
41、，如图2-6-6c所示。所示。Pp图2-6d 平行性 两相互平两相互平行的直线，其行的直线，其同面投影仍然同面投影仍然平行，如图平行，如图2-2-6 6d d所示所示 BADCcbad图2-6e 定比性 直线上两线段长度之比，与其投影长之比相等，如图2-6e右图所示，EG:GF=eg:gfBADCebad两平行线段的长度之比，与其投影的长之比相等。如图2-6e左图所示，AB:CD=AB:CD=abab:cdcdEFefGg图2-6f从属性 直线上的点，或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的投影上，如图2-6f所示。BDCAEFe12abdcf（a）直观图 图2-31直线上的点的投影（a）投影图 如下图所示：点K在直线上，则k在ab上，k在a b 上，k“在a”b“上；K 分AB 为AK:KB，则ak:kb=ak:kb=ak:kb相互垂直的三投影面体系
