1、有限元分析有限元分析内容内容 3 弹性力学基础知识弹性力学基础知识()3.1 基本假定基本假定 3.2 基本概念基本概念 3.3 基本方程基本方程要求要求 理解：理解：弹性力学弹性力学基本假定基本假定的含义的含义 了解：了解：弹性力学弹性力学基本概念基本概念的提炼和用途的提炼和用途 掌握：掌握：2D 弹性力学的弹性力学的基本方程基本方程课后作业课后作业 阅读弹性力学基本概念、方程文献阅读弹性力学基本概念、方程文献内容回顾内容回顾内容回顾内容回顾 仅为杆、梁、柱、轴等杆状变形构件 任意形状变形体内容回顾内容回顾 要作出一些关于构件变形状态或应力分布的假设，例如拉压、扭转、弯曲平面假设，数学推演简
2、单,但解是近似的内容回顾内容回顾弹性力学研究方法更严密，但也更复杂弹性力学研究方法更严密，但也更复杂 x xq qy yx图 1-1ax xq qy yx0 0图 1-1b考虑如下简支梁，由材料力学，当梁跨度考虑如下简支梁，由材料力学，当梁跨度 l 与高度与高度 h 之比大之比大于于5（即为细长梁）时，平面假设近似成立，并有（即为细长梁）时，平面假设近似成立，并有yIMz但，当跨高比小于但，当跨高比小于5时，上述公式不成立，时，上述公式不成立，什么原理？什么原理？如何分析？如何分析？弹性力学基本假设弹性力学基本假设 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，
3、数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。工程材料的特点工程材料的特点 金属材料金属材料晶体材料，是由许多原子，离子晶体材料，是由许多原子，离子按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间经常会有缺陷存在。经常会有缺陷存在。高分子材料高分子材料非晶体材料，由许多分子的集非晶体材料，由许多分子的集合组成的分子化合物。合组成的分子化合物。工程材料工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成
4、了固等构成了固体材料微观结构的复杂性。体材料微观结构的复杂性。连续性连续性(Continuity)线弹性线弹性(Linear elastic)均匀性均匀性(Homogeneity)4、各向同性各向同性(Isotropy)5、小变形假定、小变形假定(Small deformation)连续性连续性(Continuity)整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任何空隙好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变,才可能是连续的,才可以用连续函数来表示;宏观假设线弹性线弹性(Linear elastic)物体的变形与外力作用的关系是线性的，除去外力，物体可回复原
5、状，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全线弹性材料好处：应力应变之间的函数简化为线性函数，且材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变均匀性均匀性(Homogeneity)物体是均匀的,整个物体由同一材料组成好处：各部分物理性质相同，不因位置改变而改变。可以截取任意部分为研究对象。对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。各向同性各向同性(Isotropy)物体的弹性性质在所有各个方向都相同好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。小变形假定小变形假定(Small deformation):物体的位移和形变是微小的.即物体的位移
6、远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1好处：变形与结构原尺寸相比属高阶小量，可略去因变形引起的结构尺寸变化 弹性力学中的力(body forces):分布在物体体积内的力分布在物体体积内的力.设体积设体积V包含包含P点点,V中的中的体力为体力为F,则则0limvFfV 体力分量:体力 f 在 x,y 和 z 轴上的投影,分别记为 fx,fy,fz 弹性力学的力(surface forces):分布在物体表面的力分布在物体表面的力.设表面积设表面积S包含包含P点点,S中中的表面力为的表面力为F,则则0limSFfS 表面力分量:表面力 在 x,y 和 z 轴上的投影,分别记为f,xyzf
7、ff 弹性力学的力内力、平均应力和应力内力、平均应力和应力.内力内力(internal forces):物体本身不同部物体本身不同部分之间相互分之间相互 作用的力作用的力应力应力(stress)：如果假设内力分布连续，命如果假设内力分布连续，命 A无无 限减小并趋向限减小并趋向 P点点,则则F/A 将趋向一将趋向一个极限个极限 p:平均应力平均应力(the average stress):设作用在设作用在包含包含P点某一个截面点某一个截面mn上的单元面积上的单元面积A 上的力为上的力为F，则，则F/A 称为称为A 上的平上的平均应力；均应力；0limAFpA 弹性力学的的力正应力正应力(nor
8、mal stress):应力在作应力在作用截面法线方向的分量：用截面法线方向的分量：切应力切应力(shear stress):设设应力在作应力在作用界面切线方向的分量：用界面切线方向的分量：弹性力学的力正平行六面体应力从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为dx,dy,dz.正平行六面体应力切应力符号切应力符号的含义的含义xyxxyxzyxyyzzxzyz 弹性力学的运动与变形形变、正应变、剪应变的概念形变、正应变、剪应变的概念正应变正应变(线应变线应变normal strain):各线段单位长度的伸缩：各线段单位长度的伸缩：以伸长为正；缩短为负以伸长为正；
9、缩短为负切应应变切应应变(角应变角应变shear strain):各线段之间的直角的改变：各线段之间的直角的改变：以弧度表示，直角变小为正；变大为负以弧度表示，直角变小为正；变大为负形变（形变（deformation）:形状的改变，它包含长度和角度的改变。形状的改变，它包含长度和角度的改变。正应变和剪应变的量纲都为一，即无量纲。正应变和剪应变的量纲都为一，即无量纲。位移（位移（displacement）:是指位置的移动是指位置的移动.它在 x,y and z 轴上的投影用 u,v 和w。正应变（线应变）xuxddxxdxdxxxuu+du切应变（角应变）弹性力学基本变量小结弹性力学的基本方程弹
10、性力学的基本方程弹性力学的基本方程之几何方程vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5设变形前为平面正方形设变形前为平面正方形ABCD，而变形后为而变形后为ABCD从以下几个方面描述变形：从以下几个方面描述变形：（1）x方向的相对伸长量方向的相对伸长量（2）y方向的相对伸长量方向的相对伸长量（3）夹角的变化）夹角的变化弹性力学的基本方程之几何方程vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5()xA BABABuudxuxdxux（1）x方向的相对
11、伸长量方向的相对伸长量弹性力学的基本方程之几何方程vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5（2）y方向的相对伸长量方向的相对伸长量()yA DADADvvdyvydyvy弹性力学的基本方程之几何方程vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0图 1-5（3）夹角的改变）夹角的改变()1B BtgA Bvvvdxvxxuudxdxxxvx uyxyuvyx弹性力学的基本方程之几何方程zuxwywzvzwzxyzz，同样方法来考察体素在同样方法来考察体素在X
12、OZ和和YOZ平面内的变形情况，可得平面内的变形情况，可得以上是考察了体素在以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，一个平面内的变形情况，yuxvxyxuxyvy联立得到联立得到几何方程几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：，表明应变分量与位移分量之间的关系：xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz，弹性力学的基本方程之平衡方程以平面问题为例，截取正方形以平面问题为例，截取正方形微元体微元体，考察其平衡条件：，考察其平衡条件：考察平衡条件：考察平衡条件：（1）沿）沿x方向主矢投影为零方向主矢投影为零（2）沿）沿y方向主矢投影为零方向主矢投影为零（3）关于任意点的主矩为
13、零）关于任意点的主矩为零由于形状的任意性，弹性力学要求变形体的任意一点均满足平衡条件。由于形状的任意性，弹性力学要求变形体的任意一点均满足平衡条件。0X 0X 0Y 0oM 弹性力学的基本方程之平衡方程二维问题平衡条件：二维问题平衡条件：平衡方程：平衡方程：3.3 弹性力学的基本方程之平衡方程三维问题微元体的平衡：三维问题微元体的平衡：平衡方程：平衡方程：,xyyxxzzxzyyz弹性力学的基本方程之物理方程广义Hooke定律zxyxyyzyxxzzyzxzxyzyxxE1xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzx 2 1EG弹性力学的基本变量、方程小结可解否？可解否？如何解？如何
14、解？弹性力学简史弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可以追溯到研究可以追溯到16781678年，胡克年，胡克（R.HookeR.Hooke）发现胡克定律。发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。探索物体的受力与变形之间的关系。近代弹性力学的研究是从19世纪开始的。柯西1828年提出应力、应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律。柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。柯西（柯西（A.L.Cauchy）而后，世界各国的一批学者相
15、继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。1856年，圣维南（A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；圣维南圣维南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论；1881年，赫兹建立了接触应力理论；赫兹赫兹（H.HertzH.Hertz）18981898年，年，基尔霍夫基尔霍夫建立了建立了平板理论平板理论;1824年生於德国，1887年逝世。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教授，他发现了电学中的“基尔霍夫定理”，同时也对弹性力学，特别是薄板理论的研究作出重要贡献。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchoff)1
16、930年，年，发展了应用发展了应用复变函数理论求解弹复变函数理论求解弹性力学问题性力学问题的方法等。的方法等。另一个重要理论成果是建立另一个重要理论成果是建立各种能量原理各种能量原理；提出一系列基于能量原理的提出一系列基于能量原理的近似计算方法近似计算方法。许多科学家许多科学家.像像拉格朗日拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐甫乐甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡做出了贡献。献。中国科学家中国科学家钱伟长钱伟长，钱学森钱学森，徐芝伦徐芝伦，胡海昌胡海昌,等在等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了弹性力学的发展，特别是在中国的推广应
17、用做出了重要贡献。重要贡献。钱伟长钱学森胡海昌徐芝伦杨桂通弹性力学促进数学和自然科学基本理论的建立和发展；广泛工程应用造船、建筑、航空和机械制造等。发展形成了一些专门的分学科；现代科学技术和工程技术仍然提出新的理论和工程问题。对于现代工程技术和科研工作者的培养对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。研究对象三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件数学方法实验方法二者结合的方法弹性力学的基本方程偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。解析法在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。近似解法对于弹性力学有重要意义。数值解法计算机处理的近似解法。现代科学技术，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用为基础。有限元方法为代表的计算力学。以有限元为基础的CAD,CAE等技术，使计算机不仅成为数值分析工具，而且成为设计分析工具。有限元方法以弹性力学为基础，有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。
