1、定积分物理应用例例 1.1.设半圆形线材的方程为设半圆形线材的方程为22xRy )(RxR ，线，线 材上点的材上点的),(yxM处的处的),(Rkkyk 且且为常数为常数线密度为线密度为，试用定积分元素法求该线材的质量。试用定积分元素法求该线材的质量。解：取积分变量为解：取积分变量为 x，积分区间为，积分区间为,RR，,dxxx 是是 ,RR 上的任一小区间，上的任一小区间，以对应小切线段的长度以对应小切线段的长度dS代替代替 小弧段的长度小弧段的长度S，得到质量的微元得到质量的微元 oxyR Rxdxx dSSdxydSdM21 dxxRRyk22)(,)(22dxRxRkR 故故 RRd
2、xRxRkRM 22)(.22arcsin22RkRRRxkRRR 一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(例例2.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wdxxdg9故所求功为50Wxxdg9g922xg5.112(
3、KJ)设水的密度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,第一次打击所作的功第一次打击所作的功2 1 0 1kkxdxW ，第第二二次次打打击击所所作作的的功功)1(2 2 1 2 hkkxdxWh，解解：设设铁铁钉钉击击入入深深度度x 为为时时，木木板板对对铁铁钉钉的的阻阻力力F 为为，则则kxF（为为 k常常数数）。由由21WW ，得得 2)1(22khk ，2 h。2 h是是两两次次打打击击一一共共击击入入的的深深度度，因因此此第第二二次次击击入入的的深深度度为为（12）厘厘米米。例例 3 3用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对
4、铁钉的阻力 与与铁铁钉钉击击入入木木板板的的深深度度成成正正比比，在在击击第第一一次次时时，将将铁铁钉钉 击击入入木木板板 1 1 厘厘米米。如如果果铁铁锤锤每每次次打打击击铁铁钉钉所所作作的的功功相相等等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少厘米？问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少厘米？其其中中 为为液液体体的的比比重重（单单位位为为牛牛顿顿/立立方方米米）。一水平放置在液体中的薄片，若其面积一水平放置在液体中的薄片，若其面积A 为为，距离液，距离液 体表面的深度体表面的深度h 为为，则该薄片一侧所受到的，则该薄片一侧所受到的P 压力压力等于等于 以以 A 为底，为底，h 为高的液体柱的重量，即为
5、高的液体柱的重量，即 hAP 积分区间为积分区间为6,0，取积分取积分x 变量为变量为，AB 直直线线的的方方程程为为63xy ，xdxx 解：如图建立坐标系，解：如图建立坐标系，)2,6(B)3,0(Axoy6与与它它相相应应的的小小薄薄片片的的面面积积近近似似于于宽宽dx 为为，在在6,0上上任任取取一一小小区区间间,dxxx，长长为为36)63(22xxy 的的小小矩矩形形面面积积。例例 4 4.设设有有一一竖竖直直的的闸闸门门，形形状状是是等等腰腰梯梯形形，上上底底为为 6 6 米，下底为米，下底为 4 4 米，高为米，高为 6 6 米，当水面齐闸门顶时，米，当水面齐闸门顶时，求求闸闸
6、门门所所受受的的水水压压力力。dxxdA)63(2 ，xh，dxxxhdAdP)63(2 该小矩形上受到的压力，近似于把它放在平行于液体该小矩形上受到的压力，近似于把它放在平行于液体 表表面面且且距距液液体体表表面面深深度度x 为为的的位位置置上上一一侧侧所所受受到到的的压压力力。3108.9 ，.)36(2dxxx 60326 0 293)36(xxdxxxP ).(1023.8108.984)10824(53N xdxx)2,6(B)3,0(Axoy6方方程程为为222)(RyRx 。dxx x解解：如如图图建建立立坐坐标标系系，则则底底面面圆圆周周的的 例例 5 5一一个个横横放放着着的
7、的圆圆柱柱形形的的桶桶，桶桶里里装装满满了了水水，设设桶桶的的 底半径底半径R为为，计算桶的底面所受的压力。，计算桶的底面所受的压力。取取积积分分x 变变量量为为，积积分分区区间间为为2,0R，OR2yx.)(222dxRxRx RdxRxRxP2022)(2 RRdttRtR22)(2 RRdttRR222.414432022RRRdttRRR dxyxdP 2tRx 令令的的方方程程为为222Ryx 。另解：如图建立坐标系，则底面圆周另解：如图建立坐标系，则底面圆周 RRdxxRRxP 222)(RRdxxRR222.414433022RRRdxxRRR dxx xR Royx三、三、引力
8、问题引力问题质量分别为质量分别为21,mm的质点的质点,相距相距 r,1m2mr二者间的引力二者间的引力:大小大小:221rmmkF 方向方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力,则需用积分解决.例例5.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamk
9、Fy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为 y2l2laoxxxdx说明说明:amk22)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd则有loxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxm
10、kF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,四、脉管中稳定流动的血流量四、脉管中稳定流动的血流量 有半径为有半径为R,R,长为长为L L的一段血管，左端为相对动脉的一段血管，左端为相对动脉端，血压为端，血压为P P1 1,右端为相对静脉端，血压为右端为相对静脉端，血压为P P2 2,将血管将血管看成一根圆柱形的管子，管中的血流平行于血管的中看成一根圆柱形的管子，管中的血流平行于血管的中心轴，距中心轴心轴，距中心轴r r处的流速为处的流速为)(4)(2221rRLpprv 求单位时间内通过血管横截面的血
11、流量。求单位时间内通过血管横截面的血流量。orrr+dr解 设r,r+dr是0,R的代表性小区间对应着圆截面上一个圆环面，其面积近似为2rdr。在改圆截面处的血流速度近似看作不变的，因而在单位时间内通过该圆截面的血流量为dQ=2rv(r)dr，因此421202210)(8)(42)(2RPPLrdrrRLPPdrrrvQRR 3 34 46 6 函数的平均值函数的平均值 nyyyn,21个个数数的的算算术术平平均均值值为为.11 niiyny 如如何何求求连连续续函函数数,)(baxf在在上上的的平平均均值值呢呢？将将等分等分 ,nba。当。当很大时很大时 n，小区间，小区间,1ii xx 的
12、长的长 度度 nabxi ),2,1,(ni 很小很小，由于由于,)(baCxf，故在小区间故在小区间,1ii xx 上函数值变化很小，可把上函数值变化很小，可把 )(在在xf 该区间上的取值看作常数该区间上的取值看作常数)(ixf，于是，于是,)(baxf在在上上 的平均值的近似值为的平均值的近似值为 一、函数的平均值一、函数的平均值iniinxxfabxfxfxfny 121)(1)()()(1iniinxxfaby 1)(1lim即即 badxxfaby)(1。badxxfab)(1愈大时愈大时当当 n，近似值的精确度愈高，所以，近似值的精确度愈高，所以 解解：设设R 电电阻阻为为，周期
13、上功率的平均值（简称平均功率）。周期上功率的平均值（简称平均功率）。功率功率 tRIiUPm 22sin，功功率率在在长长度度为为一一个个周周期期的的区区间间 0 0，2 上上的的平平均均值值为为 RtRIRiUm sin则则电电路路中中的的电电压压为为 例例.求求纯纯电电阻阻电电路路中中交交流流电电流流tItim sin)(在在 一一个个 上上式式说说明明：纯纯电电阻阻电电路路中中正正弦弦交交流流电电的的平平均均功功率率等等于于电电流流、电电压压的的峰峰值值乘乘积积的的一一半半。20 222 sin1tdtRIPm 20 2)2cos1(4 dttRIm 20 2 2sin214 ttRIm
14、.222mmmUIRI 二、均方根二、均方根 TRdttiTRI 0 22)(1，TdttiTI02)(1，正正弦弦交交流流电电tItim sin)(的的有有效效值值 mmTIIdttiTI707.02)(102 有有效效。如果一个直流如果一个直流 I电流电流消耗在消耗在上上电阻电阻 R的功率，正好是的功率，正好是 正弦交流电正弦交流电在在)(ti一个一个 T周期周期内消耗在内消耗在上上电阻电阻 R的平均的平均 功率，则称功率，则称的的是是)(tiI有效值，记为有效值，记为有效有效I。类类似似地地可可定定义义交交流流电电压压)()(tRitu 的的有有效效值值有有效效U，mmTUUdttuTU707.02)(102 有有效效。交交流流电电流流、电电压压的的有有效效值值就就是是它它们们在在一一个个周周期期上上的的均均方方根根。日日常常供供照照明明用用的的交交流流电电压压ttu 100sin311)(，其其有有效效值值 )(2202311VU 有有效效。在数学上称在数学上称 badxxfab)(12为函数为函数,)(baxf在在 上的均方根。上的均方根。作作 业业 习习 题题 九九（P199P199）16 16；17 17；19 19；20 20；2121；2323。
