1、2一、温故知新一、温故知新(一一)圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点平面内，到定点F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离比为常数比为常数e的点的轨迹的点的轨迹,当当e1时，是时，是双曲线双曲线.当当0e0)(2)开口向左开口向左 y2=-2px(p0)(3)开口向上开口向上 x2=2py(p0)(4)开口向下开口向下 x2=-2py(p0)范围范围1、yox)0,2(pF由抛物线由抛物线y2=2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质）的
2、几何性质?对称性对称性2、yox)0,2(pF(,)x y关于关于x轴轴对称对称(,)xy即点即点(x,-y)也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2=2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2=2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上,即满足即满足y2=2px，顶点顶点3、yox)0,2(pF 定义：抛物线与它定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的轴的交点叫做抛物线的的顶点顶点。y2=2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2=2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.离心率离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦抛物线
3、上的点与焦点的距离和它到准线的点的距离和它到准线的距离之比，叫做距离之比，叫做抛物线抛物线的的离心率离心率。由定义知，由定义知，抛物线抛物线y2=2px (p0)的离心率为的离心率为e=1.xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的，称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通、通径的两个径的两个端点端点可较准确可较准确画出反映抛物线基本特画出反映抛物线基本特征的草图征的草图.pp,2 pp,2|AB|=2p通径通径5、2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物连接抛物线任意一点与焦点
4、的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径公式：焦半径焦半径6、xyOFP方程图形准线焦点对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0,(2pF)0,(2pF),0(2pF),0(2pF2px2px2yp2py x轴轴x轴轴y轴轴y轴轴ox xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl归纳归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴、抛物线只有一条对称轴,没有对
5、称中心没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；准线；(4)、抛物线的离心率、抛物线的离心率e是确定的为是确定的为,、抛物线的通径为、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张越大，抛物线的张口越大口越大.因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M M（，），（，），2 2解解:所以设方程为：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点又因为点M M在抛物线上在抛物线上：所以：所以：2(2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为：24yx例例：已知抛
6、物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点原点，并且经过点M M（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程.2 2三、典例精析三、典例精析探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计
7、原理。设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。的理论依据。例例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解解:所在平面内建立直所在平面内建立直角坐标系角坐标系,使反射镜使反射镜的顶点与原
8、点重合的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得由条件可得A(40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之:p=445故所求抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为焦点为(,0)84524l例例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离时，拱顶离水面水面2米，水面宽米，水面宽4米米.水下降水下降1米后，水面宽多少？米后，水面宽多少？xoy若在水面上有一宽为若在水面上有一宽为2米米,高高为为1.6米米的船只，能否安
9、全通过拱桥？的船只，能否安全通过拱桥？思考题思考题2BA（2,2）x2=2y6x B（1，y）y=0.5B到水面的距离为到水面的距离为1.5米米不能安全通过不能安全通过y=3代入得代入得26水面宽例题例题3（1）已知点）已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P =。22(0)ypx p（2）抛物线）抛物线 的弦的弦AB垂直垂直x轴，若轴，若|AB|=，则焦点到则焦点到AB的距离为的距离为 。24yx4 342（3）已知直线）已知直线x-y=2与抛物线与抛物线 交于交于A、B两两 点，那么线段点，那么线段AB的中点坐标是的中点坐标是 。24yx(4,2)四
10、、课堂练习四、课堂练习5.点点A的坐标为的坐标为(3，1)，若，若P是抛物线是抛物线 上的一动上的一动点，点，F是抛物线的焦点，则是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为的最小值为()(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 24yx4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上.(2)焦点在轴焦点在轴x上且截直线上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为所得的弦长为15.6、已知、已知Q(4,0)，P为抛物线为抛物线 上任一点，上任一点，则则|PQ|的最小值为的最小值为()A.B.C.D.21yx32102192322
11、168yxxy 或22124yxyx 或BC 五、归纳总结五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口越大越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：6、光学性质
12、：、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束变成了平行光束.2.4.22.4.2抛物线抛物线的简单几的简单几何性质何性质(2)(2)复习：复习：1 1、抛物线、抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴12、通径：、通径：通
13、过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔3、焦半径：、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx 下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦半径公式。焦半径公式。通过焦点的直线，与抛物通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线相交于两点，连
14、接这两点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。xOyFA补、焦点弦：补、焦点弦：焦点弦公式：焦点弦公式：),(11yx 下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦点弦公式。焦点弦公式。B),(22yx12pxx方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于关于x轴对
15、称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）法一法一:直接求两点坐标直接求两点坐标,计算弦长计算弦长(运算量一般较大运算量一般较大););法法二二:设设而而不不求求,运运用用韦韦达达定定理理,计计算算弦弦长长(运运算算量量一一般般);法法三三:设而不求设而不求,数形结合数形结合,活用定义活用定义,运用韦达定理运用韦达定理,计计算弦长算弦长.例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。l24yx例例2、已知过抛物
16、线、已知过抛物线 的焦点的焦点F的的直线交抛物线于直线交抛物线于 两点。两点。（1）是否为定值？是否为定值？呢？呢？（2）是否为定值？是否为定值？22(0)ypx p1122(,)(,)A x yB xy、12xx12yy11|FAFBxOyFA),(11yxB),(22yx这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.关于过焦点弦还有一条性质关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考请大家思考:例例 3 3:(:(课本第课本第 7070 页例页例 5)5)过抛物线焦点过抛物线焦点 F F 的直线交抛物线于的直线交抛物线于AB、两点两点,通过点通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点和抛物线顶点的直
17、线交抛物线的准线于点,D求证求证:直线直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.xyOABDFl例例3、过抛物线焦点、过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过点两点，通过点A和抛物线顶点的和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点直线交抛物线的准线于点D，求证：直线，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。平行于抛物线的对称轴。,22pxyx物线的方程为建立直角坐标系。设抛轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称,2),2(0020 xypyOAypyA的方程为则直线的坐标为点2px抛物线的准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0,2(200ppypxyy
18、AFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB/xyOFABD变式题（变式题（2001年高考题）年高考题）设抛物线设抛物线 的焦点为的焦点为F，经过点，经过点F的的直线交抛物线于直线交抛物线于A，B两点，点两点，点C在抛物线的准线上，在抛物线的准线上，且且BC|x 轴，证明：直线轴，证明：直线AC经过原点经过原点O。22(0)ypx pxOABDFly 由此可得由此可得|y1|=|y2|,，即线段，即线段AB关于关于x轴对称。轴对称。因为因为x轴垂直于轴垂直于AB，且，且 ，30AOX例例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个、正三角形的一个顶点位
19、于坐标原点，另外两个顶点在抛物线顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。上，求这个三角形的边长。22(0)ypx p解：如图，设正三角形解：如图，设正三角形OAB的顶点的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则又又|OA|=|OB|，所以，所以x12+y12=x22+y22即即 x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxo2112,ypx2222ypxAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.所以所以113tan303yx 211,2yxp112 3,|2
20、4 3.yp AByp(x1,y1)(x2,y2)例例5.5.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中中点纵坐标的最小值。点纵坐标的最小值。.xoyFABMCND解：),(),(),(2211yxMAByxByxA中中点点设设,2BCADMN,412yypMNBFBCAFAD,)41(2yBFAF2,ABBFAFABF中43,2)41(2yy即即)41(2yBCAD1.1.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点F F作一直线交抛物线于作一直线交抛物线于P P、Q Q两点，两点，若若PFPF与与FQFQ的长分别是的长分别是 ()(A)2a (B)(C)
21、4a(D)()(A)2a (B)(C)4a(D)0(2aaxy等于q1p1q则p,a21a2yxF.PQ2.2.已知已知A A、B B是抛物线是抛物线 上两点，上两点，O O为坐标原点，若为坐标原点，若 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线ABAB的方的方程是：程是：()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)0(22ppxyAOBOBOA且且,px px3px23px25ABOF.yxC CD D 3 3、AB、是抛物线是抛物线22(0)ypx p上的两点上的两点,满足满足OAOB(O为坐标原点为坐标原点).).求证求证:AB、两点的横坐标之积两点的横坐标之积,纵坐标之纵坐标之积分别为定值积分别为定值;直线直线AB经过一个定点经过一个定点.
