1、第三节一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力二、液体的侧压力三、引力问题三、引力问题*四、转动惯量四、转动惯量(补充补充)定积分在物理学上的应用 第六六章 下页一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 x a 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(下页例例1.一个单求电场力所作的功.qOrabrrrd11解解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqk
2、F 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,下页库仑定律库仑定律库仑定律库仑定律返回真空中两个静止的点电荷之间的作用力,与这两个电荷所带电量的乘积成正比,与它们距离的平方成反比.作用力的方向沿着这两个点电荷的连线,同性电荷相斥,异性电荷相吸.S例例2.体,求移动过程中气体压力所Ox解解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.ab建立坐标系如图.xxxd
3、由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 下页m3m5例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.Oxxxxd在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wd9dgxx故所求功为50Wxxgd9g922xg5.112(KJ)设水的密度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5m,底圆半径为3m,下页面积为 A 的平板二、液体的侧压力二、液体的侧压力设液
4、体密度为 深为 h 处的压强:hgph当平板与水面平行时,ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为下页小窄条上各点的压强xgp332Rg例例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性,侧压力元素0RF xxRxgd222OxyRxxxd222xR dF xg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 下页0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 说明说明:当桶内充满液体时,()gRx小窄条上的压强为侧压力元素dF 故端面所受侧压力为222()dR
5、RFgRxRxx奇函数奇函数3Rg)(xRgRxxRgR022d4OxyRxxxd下页三、引力问题三、引力问题质量分别为12,m m的质点,相距 r,1m2mr二者间的引力为大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力,则需用积分解决.下页例例5.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.y2l2ld,xxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故铅直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在试计算FdxFdyF
6、dxxd下页(利用对称性利用对称性)223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力0.xF 22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd下页3222dd()yxFkm aax P363(20)2lOy2laxxxdx说明说明:2,kma2)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd则有2
7、2412llmkFaa下页lOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,下页质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为l2rmI 的质点系),2,1(,nimrlii质量为的距离为与轴21iniirmI若考虑物体物体的转动惯量,则需用积分解决.r关于轴 l 的转动惯量为m下页*四、转动惯量四、转动惯量(补充)lR例例6.(1)求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;(2)求
8、圆盘对直径所在轴的转动惯量.解解:(1)建立坐标系如图.设圆盘面密度为.的对应于d,xxx小圆环质量xx d2对应于d,xxx的小圆环对轴 l 的转动惯量为xxId2d3故圆盘对轴 l 的转动惯量为RxxI03d2421 R221RMxxxxd2RM设有一个半径为 R,质量为 M 的均匀圆盘,O下页OxRyxxxd平行 y 轴的细条的对应于d,xxx关于 y 轴的转动惯量元素为yId细条质量y2xdxxyd22xxRxd2222故圆盘对y 轴的转动惯量为yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM(2)取旋转
9、轴为 y 轴,建立坐标系如图.下页内容小结内容小结(1)先用元素法求出它的微分表达式 dQ一般元素的几何形状有:扇扇,片片,壳壳 等.(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功;侧压力;引力;转动惯量等.条条,段段,环环,带带,下页作业作业:P291 2;3;5;9;12(1999考研)思考与练习思考与练习提示提示:作 x 轴如图.Ox30 xxd1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重
10、2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功可分为三部分:米重50N,下页提升抓斗中的污泥:井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3m/s,污泥以 20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉xWd400d1克服缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 处所需时间:)s(3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重:Ox30 xxd下页xyABO2.
11、设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示:如图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点O 处有一单 位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.下页同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax引力大小为xyABO),(yxsd结束锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解解:选取坐标系如图.设斜边长为 l,水中,并使一直角边与水面相齐,coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lglOyxy则其方程为问斜边与水面交成的xxxdsin0lP下页)cos(cos633lgP,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故此唯一驻点0即为所求.由实际意义可知最大值存在,即0sincos3sin2,),0(2lOyxyxxxd结束
