1、 第 1 页 共 12 页 定远重点中学 2020 届高三 3 月线上模拟考试 理科数学理科数学 本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题一、选择题(共共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分) 1.已知全集，集合，集合 ，则 A. B. C. D. 2.已知 i 是虚数单位，则 A. 10 B. C. 5 D. 3.2018 年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数 （单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口 均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过 700 辆的概率为
2、A. B. C. D. 4.已知等差数列中，则的值为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5.如图所示的一个算法的程序框图，则输出 的最大值为 第 2 页 共 12 页 A. B.2 C. D. 6.我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广 一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其 中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其 中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为 A. 40 B. 43 C. 46 D. 47 7.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数， AQI 指数值越小
3、， 表明空气质 量越好，其对应关系如下表： AQI 指数 值 050 51100 101150 151200 201300 300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 第 3 页 共 12 页 下图是某市 10 月 1 日20 日 AQI 指数变化趋势： 下列叙述错误的是 A. 这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B. 这 20 天中的中度污染及以上的天数占 C. 该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D. 总体来说，该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 8.的展开式中含的项的系数为 A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 9.
4、已知满足约束条件 若目标函数的最大值是 6，则 A. B. C. D. 10.函数的图像大致为 11.已知是定义在 上的奇函数，满足，且当时， 则函数在区间上的所有零点之和为 A. B. C. D. 第 4 页 共 12 页 12.已知双曲线 C：的左、右焦点分别为、，且双 曲线 C 与圆在第一象限相交于点 A，且，则双曲线 C 的离 心率是 A. B. C. D. 第第 II 卷（非选择题卷（非选择题 90 分）分） 二、填空题二、填空题(共共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分) 14.无穷等比数列的通项公式，前 项的和为，若， 则_ 15.将一个半径为 2 的圆分成圆
5、心角之比为 1:2 的两个扇形， 且将这两个扇形分别 围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为_ 16.已知函数，若对于任意的正整数 ，在区间 上存在个 实数 、 、 、 、 ， 使得成立， 则 的最大值为_ 三、解答题三、解答题(共共 6 小题小题 ,共共 70 分分) 17. （本小题满分 12 分）如图，在ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为, ,a b c , cosCab sinC . （1）求角B 的大小； （2）若, 2 AD 为ABC外一点， 2,1DBDC ，求四边形ABCD面积的 最大值. 第 5 页 共 12 页 18. （本小题满分 12 分
6、）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动， 在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验 地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示 的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗. 求图中 的值，并求综合评分的中位数. 用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取 棵花苗，求 所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； 填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关. 附：下面的临界值表仅供参考. （参考公式：，其中.） 19. （本小题满分 12 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC ，平面
7、11 A ACC 平面 ABC,90ABC， 11 30 , ,BACA AACAC E F 分别是 11 ,AC AB的中点. 第 6 页 共 12 页 （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面 1 ABC所成角的余弦值. 20. （本小题满分 12 分）已知点，过点 D 作抛物线的切 线 l，切点 A 在第二象限 求切点 A 的纵坐标； 有一离心率为 的椭圆恰好经过切点 A， 设切线 l 与椭圆的另 一交点为点 B，记切线 l，OA，OB 的斜率分别为 k， ， ，若，求椭 圆的方程 21. （本小题满分 12 分）已知函数 2 1 ln , 2 f xx x g xmx （1）若函
8、数 f x与 g x的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范 围； （2）设 F xf xg x，已知 F x在0,上存在两个极值点 12 ,x x，且 12 xx ，求证： 2 12 2x xe（其中e为自然对数的底数） 22. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 24f xxmxm （0m） （1）当2m时，求不等式 0f x 的解集； （2）若关于x不等式 21f xtttR 的解集为R，求m的取值范围 第 7 页 共 12 页 参考答案参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A B C C C C C B C A C
9、 A 13. 4 5 14. 或 15. 16.6 17.（1） 4 B （2） 5 2 4 解：（1）在ABC 中， cosCab sinC. 有 sincos,cossinAB sinCCsin BCsinB sinCC ， cos,0BsinCsinBsinC sinC ，则cosBsinB ，即 tan1,0,BB ，则 4 B . （2）在BCD 中， 222 2,1,122 1 2 cos54cosBDDCBCDD ， 又 2 A ， 则ABC为等腰直角三角形， 2 1115 cos 2244 ABC SBCBCBCD ，又 1 2 BDC SBDDCsinDsinD ， 55 c
10、os2 444 ABCD SDsinDsin D ， 当 3 4 D 时，四边形ABCD 的面积最大值，最大值为 5 2 4 . 18. 解：由， 解得 令得分中位数为 ，由解得 故综合评分的中位数为 第 8 页 共 12 页 由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为， 设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为 ，则，于是， 其分布列为： 所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本 种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示： 可得 所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系. 19. 解：(1)如图所示，连结 11 ,AE B E， 等边 1 AAC 中，
11、AE EC，则 3 sin0sin 2 BA， 第 9 页 共 12 页 平面 ABC平面 11 A ACC，且平面 ABC平面 11 A ACCAC ， 由面面垂直的性质定理可得： 1 AE 平面ABC，故 1 AEBC ， 由三棱柱的性质可知 11 ABAB ，而ABBC，故 11 ABBC ，且 1111 ABAEA ， 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面 11 AB E， 结合EF平面 11 AB E，故EFBC. (2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E 为坐标原点，EH,EC, 1 EA方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz. 设1EH ，则3AEEC
12、， 11 2 3AACA,3,3BCAB， 据此可得： 1 33 0,3,0 ,0 ,0,0,3 ,0, 3,0 22 ABAC ， 第 10 页 共 12 页 20.（1） （2） 解：设切点则有， 由切线 l 的斜率为， 得 l 的方程为， 又点在 l 上所以即 所以点 A 的纵坐标 由得，切线斜率， 设，切线方程为， 由得又， 所以 第 11 页 共 12 页 所以椭圆方程为且过， 所以 由得， 所以， 又因为， 即， 解得，所以 所以椭圆方程为： 21. 解：（1）函数 ( )f x 与 ( )g x的图像上存在关于原点对称的点， 即 2 1 ()() 2 gxmx 的图像与函数( )
13、lnf xxx的图像有交点， 即 2 1 ()ln 2 mxxx在(0,)上有解. 即 1ln 2 x m x 在(0,)上有解. 设 ln ( ) x x x ，（0x），则 2 ln1 ( ) x x x 当 (0, )xe 时， ( )x 为减函数；当 ( ,)xe时，( )x 为增函数， 所以 min 1 ( )( )xe e ，即 2 m e . （2） 2 1 ( )( )( )ln 2 F xf xg xxxmx，( )ln1F xxmx ( )F x在(0,)上存在两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx ， 所以 11 22 ln10 ln10 xmx xmx 因为 12
14、 12 lnln2xx m xx 且 12 12 lnlnxx m xx ，所以 1212 1212 lnln2lnlnxxxx xxxx ， 第 12 页 共 12 页 即 11 22 121 12 1 122 2 1 ln lnln2ln 1 xx xxxxx xx x xxx x 设 1 2 (0,1) x t x ，则 12 (1)ln lnln2 1 tt xx t 要证 2 12 2x xe，即证 12 lnln22xx ， 只需证 (1)ln 2 1 tt t ，即证 2(1) ln0 1 t t t 设 2(1) ( )ln 1 t h tt t ， 2 22 14(1) (
15、)0 (1)(1) t h t ttt t ， 则 2(1) ( )ln 1 t h tt t 在(0,1)上单调递增， ( )(1)0h th ， 即 2(1) ( )ln0 1 t h tt t 所以， 12 lnln2xx 即 2 12 2x xe. 22.（1）2, （2） 1 0 2 m 解：（1）当2m时， 48f xxx 所以 0f x ，即为 480xx ， 所以 48xx ，所以2x， 即所求不等式解集为2, （2）“关于x不等式 21f xtt （tR）的解集为R”等价于“对任意实数 x和t， max min 21f xtt ”， 因为 246xmxmm ， 213tt ， 所以63m，即 1 2 m ，又0m，所以 1 0 2 m
