1、二维、三维各种方程分离变量的结果二维、三维各种方程分离变量的结果二维极坐标系中分离变量波动方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成）m阶贝塞尔方程热传导方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成）m阶贝塞尔方程拉普拉斯方程（两个变量，在直角坐标系中可以分离完成）没有产生特殊方程 欧拉型方程20ttuau 2222222001(1)0Ta k Tmd RdRmRdxx dxx 20tuau 2222222001(1)0Ta k Tmd RdRmRdxx dxx 0u 2222200md RdRm Rdd 二维极坐标系中分离变量（续）亥姆霍兹方程（两个变量，在直角坐标系中可以分离完成）m阶贝塞尔
2、方程20uk u 2222201(1)0md RdRmRdxx dxx 三维坐标系（球坐标或极坐标）中分离变量波动方程（四个变量，在直角坐标系中可以分离完成）亥姆霍兹方程20ttuau 22200Ta k Tvk v 热传导方程（四个变量，在直角坐标系中可以分离完成）亥姆霍兹方程20tuau 22200Ta k Tvk v 三维球坐标和柱坐标系中分离变量（续）拉普拉斯方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成）球坐标L阶连带勒让德方程。若物理问题为轴对称时，方程可变为勒让德方程。柱坐标 当 时，R的方程为m阶贝塞尔函数；当 时，均不是特殊方程；当 时，R的方程为修正的贝塞尔方程。0u 2222
3、222222(1)00(1)2(1)01cosd RdRrrl lRdrdrmddxxl ldxdxmxx 22222001)0mZZd RdRmRdd 000欧拉型方程三维球坐标和柱坐标系中分离变量（续）亥姆霍兹方程（三个变量，在直角坐标系中可以分离完成）球坐标L阶球贝塞尔函数L阶连带勒让德方程柱坐标 当 时，R的方程为m阶贝塞尔方程；当 时，均不是特殊方程；当 时，R的方程为m阶贝塞尔方程。0vkv 222222222222(1)00(1)2(1)01cosd RdRrrk rl lRdrdrmddxxl ldxdxmxx 222222001)0mZZd RdRmkRdd 000说明：（1
4、）在上述分离中，出现了许多的系数 ，这些都是特征值，是方程与边界（初始）值共同决定的。,k m l（2）特殊方程如贝塞尔方程、勒让德方程均是可以或者必须具有特征值的，这是求解数理方程的前提。（3）接下来的分析均是针对上述变量分离的总表格来叙述的。5.1 球坐标系与柱坐标系中的分离变量1.1.球坐标系（拉普拉斯方程）球坐标系（拉普拉斯方程）sincossinsincosxryrzr2000 rrxyz0sin1sinsin112222222ururrurrr拉普拉斯方程在球坐标中的表达式为：（5.1.1）),()(YrRu 0sin1sinsin2222222YrYrRdrdRrdrdrY分离变
5、量，令：则：)1(sin11sinsin112222llYYYYdrdRrdrdR2/rRY令常数为 。(1)l l（5.1.2）（5.1.3）2(1)0ddRrl lRdrdr0)1(sin1sinsin1222YllYY这样，就得到两个微分方程：（5.1.4）（5.1.5）0)1(2222RlldrdRrdrRdr11)(llllrDrCrR方程（5.1.4）化为：欧拉型方程上述方程的解为：（5.1.6）方程（5.1.5）叫做球函数方程，可进一步分离变量，令：)()(),(Y0)1(sinsinsin222ll则：遍乘 并移项得到：2sin/2221sin)1(sinsinddlldddd
6、（5.1.7）（5.1.8）这样，又得到两个微分方程：0sin)1(sinsin2lldddd0 （5.1.9）（5.1.10）方程（5.1.9）的本征值和本征函数为：mBmAsincos)(=m 2 (m=0,1,2,3），方程（5.1.10）可变为：0sin)1(sinsin122mlldddd（5.1.11）sin,11,0,cosddxxxdxdddxdxdddsin作变量替换，令：则：带入方程（5.1.11），可得：22222222(1)101 (1)2101ddmxl ldxdxxddmxxl ldxdxx （）或（）（5.1.12）称上述方程为L阶连带勒让德方程。如果球坐标的极轴
7、为对称轴，则m=0,方程简化为：0)1(2)1(222lldxdxdxdx称上述方程为L阶勒让德方程。关于勒让德方程及连带勒关于勒让德方程及连带勒让德方程，将在第六章让德方程，将在第六章介绍。介绍。（5.1.13）sincosyxzzz,20,0rxyzx,y,z01122222zuuu）（2.2.柱坐标系（拉普拉斯方程）柱坐标系（拉普拉斯方程）拉普拉斯方程在柱坐标中的表达式为：（5.1.14）(,)()()()uzRZ z 022222 ZRddRZddRZdRdZ分离变量，令：则：（5.1.15）2/R Z2222d RdRZR dR dZ 令常数为 。（5.1.16）这样，就得到两个微分
8、方程：2222d RdRZR dR dZ0 （5.1.18）（5.1.17）方程（5.1.17）的本征值和本征函数为：=m2 (m=0,1,2,3）mBmAsincos)(ZZmddRRdRdR22211将=m2 带入，并遍乘 ，得到：21令常数为 。222201()0ZZd RdRmRdd这样，又得到两个微分方程：).2.1()0(ln0022mFEmFERRmRRDzCZmm(1)(1)（5.1.19）（5.1.20）讨论方程（5.1.19）和方程（5.1.20）的解，有：（5.1.21）（5.1.22）2222,()()dRdR dxdRxddx ddxd RddRddRdxd Rddd
9、xdxdx ddx令（2 2）22221(1)0d RdRmRdxx dxx边界条件构成贝塞尔方程本征值问题，可确定本征值0()zzZ zCeDe（5.1.23）（5.1.24）构成本征值问题一般 0)()0(02hZZZZ0)(2222 RmRR则记,002（3 3）22222()0 xd RdRxxxmRdxdx令为修正的贝塞尔方程关于贝塞尔方程及修正的关于贝塞尔方程及修正的贝塞尔方程，将在第七贝塞尔方程，将在第七章介绍。章介绍。（5.1.25）（5.1.26）3.3.球坐标或者柱坐标系（波动方程）球坐标或者柱坐标系（波动方程）22222(,)()()ttuauu r tT t V rTV
10、ka TV 令0sincos02222 VkVkatDkatCTTakT（5.1.27）（5.1.28）令常数为 。2k（5.1.29）（5.1.30）方程（5.1.30）为亥姆霍兹方程4.4.球坐标或者柱坐标系（热传导方程）球坐标或者柱坐标系（热传导方程）2222()tuauuT t VTVka TV 令0)(0222222VkVCetTTakTtak（5.1.31）（5.1.32）（5.1.33）（5.1.34）令常数为 。2k方程（5.1.34）也为亥姆霍兹方程5.5.球坐标系（亥姆霍兹方程）球坐标系（亥姆霍兹方程）0sin1)(sinsin1)(122222222vkvrvrrvrrr
11、222222111()(sin)(1)sinsinddRYYrk rl lR drdrYY 亥姆霍兹方程在球坐标中的表达式为：()(,)vR r Y 分离变量,令0)1(sin1)(sinsin1222YllYY)2()(02m进一步分为)1(0112)1(22222xmlldxdxdxdx）（方程球BesselRllrkdrdRrdrd0)1()(2220)21()(2)(,22222ylxdxdyxdxydxxyxrRRrx令22220)1()(kRllrkdrdRrdrd，确定本征值构成球方程本征值问题球面上齐次边界条件半奇数阶半奇数阶Bessel方程方程011222222vkzvvv）
12、（6.6.柱柱坐标系（亥姆霍兹方程）坐标系（亥姆霍兹方程）(,)()()()vzR rZ z mBmAmsincos,)2()(02确定（本征值）（本征函数），决定齐次边界条件?022 ZZZ亥姆霍兹方程在球坐标中的表达式为：分离变量,令:0)(122222RkddRdRd（本征值）（本征函数），确定柱面上齐次边界条件则令?)(0)(1222222RRmddRdRdk小结：小结：0 )()2(本征值：本征值：=m m2 2 (m m=0,1,2,3=0,1,2,3）本征函数：本征函数：mBmAsincos)(题。阶勒让德方程本征值问无关，构成若轴对称与本征值问题连带勒让德方程，构成有界时）（l
13、xmlldxdxdxdx),0(,)1(0112)1(22222定本征值方程本征值问题，可确构成边界条件BesselRxmdxdRxdxRd0)1(1222222220)1()(kRllrkdrdRrdrd，确定本征值构成球方程本征值问题球面上齐次边界条件1.1.标准二阶线性齐次常微分方程标准二阶线性齐次常微分方程 220001()()0(1)()()d wdwp zq z wdzdzw zCw zC的奇点。叫的奇点，则或是若的常点。叫的邻域内解析，则在，若)1()()()1()()(0000zzqzpzzzzqzp5.2 常点邻域上的级数解法0010000)()(:,)(,)()(),(kk
14、kzzqzwTaylorCzwCzwRzzzqzp级数因而可展为且在该区域解析。的解存在满足有中解析，则在其区域上在定理：若2.2.勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解 )2(0)1(2)1(2 yllyxyx则可设解析在,0,1)1(,12022xxllqxxp0)(kkkxaxy 0201)1(,kkkkkkxkkaykxay0)1(2)1()1(),2(001022kkkkkkkkkxallkxaxxkkax得代入0)1()1()1(0)1(2)1()1(220020kkkkkkkkkkkkxkkaxllkkaxkkaxkllkka即0)1)(2()1()1(020kkkkkkxkkax
15、llkka或kkkkkakklklkakkllkkallkkakka)1)(2()1)()1)(2()1()1()1()1()1)(2(220224002!4)3)(1)(2()1(34)3)(2(!2)1(!2)1)(4.2.0allllallaallallak123513!5)4)(2)(1)(3()1(45)4)(3(!3)2)(1(5.3.1qllllqllaallak）的通解。）为（线性无关，（为任意常数，23,1010yyaa)()(!5)4)(2)(1)(3(!3)2)(1(!4)3)(1)(2(!2)1(11100531420 xyaxyaxllllxllxaxllllxlla
16、y(3)(3)3.3.收敛半径收敛半径 1)11)(1()11)(21(lim)1)()1)(2(limlim2klklkklklkkkaaRkkkkk发散在附录四证明了发散。时，时，绝对收敛；在因而，1)(),(,11,101010 xxyxyyyxxyy4.4.勒让德方程的本征值问题勒让德方程的本征值问题,L,L多项式多项式 12220)1(2)1(xyylldxdyxdxydx)1(,)110yyyl均为无穷级数，且不为整数时，当201210()(1)2(2)(1)1.0.2.4 2.1.3.50kkkkl kllaakklylyklayly）当 为整数时，为正偶数时（或负奇数，线性相关
17、），化为 次多项式，仍为无穷级数为正奇数时（或负偶数），则奇数，化为 次多项式，仍为无穷级数多项式本征函数本征值本征值问题的解为可见)(:,.2,1,0)1(:xPllll以后专门讨论以后专门讨论1.1.奇点邻域上的级数解奇点邻域上的级数解 100022)()()1(0)()(CzwCzwwzqdzdwzpdzwd5.3 正则奇点邻域上的级数解法 kkskkkskkkskzzbzzzAwzwzzbzwsszzazwRzzzqzp221)()ln()()()3()()(0()2()()(10)(),(00120221010或或整数）：）有两个线性无关的解（内都解析的环域定理：在2.2.正则奇点邻
18、域上的级数解正则奇点邻域上的级数解 或整数）或或整数）中解析。在）（条件为：内有两个正则解的充要定理：在环域0()()ln()()()3()()(0()2()()(0)()(),(021000120022100102000221sszzbzzzAwzwzzbzwsszzazwRzzzqzzzpzzRzzkkskkkskkksk 若解（若解（2 2）中含有限个负幂项，则）中含有限个负幂项，则z z0 0为方程（为方程（1 1）的正则奇点，其解为正则解。）的正则奇点，其解为正则解。3.Bessel3.Bessel方程的级数解方程的级数解 整数，半奇数）()3(0)(222yxyxyx是正则奇点解析
19、在,0,1,10222222xxqxxpxxqxp)0()(00axaxykskk设：1)Bessel1)Bessel方程和方程和 Bessel Bessel方程函数方程函数0)()()1)(),3(220kskkxxksksksa得代入0)(0)(0222220022kskkkkskkskkkkskxaxksaxaxksa0)()1()(:22221122022kkskkssxaaksxasxas即0)(0)1(0)(222122022kkaaksasas222211220)2(1)(100)1(,0akkkakkaksaaas因0.05311aaas，首先取0224022022222402
20、0221).(2)(1(!1)(2)2)(1(!2)(2)1(!121)2(21)(21)2(21)42(4121)1(!11)22(21akkaaaaaaaaakkk0220121).(2)(1(!1)(kkkkxkkay)1()1).(1)()()()1()1(210kkkkka令)()2()1(!1)(021xJxkkykkk02)2()1(!1)()(kkkxkkxJ)1(21,0as取-阶阶Bessel函函数数阶阶Bessel函数函数)21(,!)1(.)1()1()()1(1)1()(0100001kkzzzzzdtztetedttezdtedttezztztzttzt注：注：)(
21、)(21xJCxJCy通解2)Neumann2)Neumann函数函数,csc,cot21CgC取sin)(cos)()(xJxJxN函数数称为仍是原方程的解，该函Neumann)()(21xNCxJCy此时通解3)3)半奇数阶半奇数阶BesselBessel函数函数0)21(222 ylxyxyx0212)21(021221)2()121(!1)()()2()121(!1)()(klkklklkklxklkxJxklkxJ!2)!12(1.3.5).12)(12(sin2)21(1.3.5).12)(12(!1)(22)21(1.3.5).12)(12(!1)()2(21).121)(21(
22、!1)()(12021210212021221kkkkxxxkkkxxkkkxkkkxJkkkkkkkkkkkkk注：如：如：xxxJcos2)(21同理：同理：:,.通解为示函数可以用初等函数表可以证明半奇数阶可见线性无关Bessel)()()21(2211xJCxJCyll4)4)整数阶整数阶BesselBessel函数函数0222 ymxyxyx0202)2()1(!1)()()2()!(!1)()(kmkkmkmkkmxkmkxJxkmkxJmkmkkmxkmkxJxkmmk2)2()1(!1)()()0(,01时当)()()2(!)!(1)()()2()1()!(1)()(0202x
23、JxlmlxlmlxJmklmmllmlmllmmlm令1038.3.9(1281)()2(ln2sin)(cos)(lim)(lim)(mnmmmmPxJCxxJxJxNxN）此时：)()(21xNCxJCymm此时通解5)Bessel5)Bessel方程的本征值问题方程的本征值问题0)(,)(0)1(1002222RRRxmdxdRxdxRd边界上如具有自然边界条件。即在，在圆柱内可以排除0)(),()()()(,)()(,0)(,1)(0000000 xxJxNxNxNxNxNxJxJxJmxmxxxx4.4.虚宗量虚宗量BesselBessel方程方程 0)(222 yxyxyx1)1
24、)阶虚宗量阶虚宗量BesselBessel方程方程0)()(,22222yddydydix 则令02020202)2()1(!1)2()1(!1)()()()2()1(!1)2()1(!1)()()(kkkkkkkkkkxkkiixkkixJJxkkiixkkixJJsin)(cos)()(ixJixJN0202)2()1(!1)()()2()1(!1)()(kkkkxkkixJixIxkkixJixI定义：21)()(:CxIxICy通解02)2()!(!1)()(kmkmmmxkmkixJixI2)m 2)m 阶虚宗量阶虚宗量BesselBessel函数函数一个解。线性相关，需要寻求令）由
25、于xIxIiiixJiixJixIixJixJmmmmmmmmmmmmmm()1()()1()()()1()(mmmKIIxxII,0,1,000时外恒不为零，一样，为正项级数，除与)4.4.11(sin)()(2lim)(lim)(xIxIxKxKmmm1.1.施图姆施图姆-刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题 任何含有参量任何含有参量的二阶齐次常微分方程：的二阶齐次常微分方程：可以化为：可以化为：（1 1）称为施图姆）称为施图姆-刘维尔型方程，加上边界条件，则刘维尔型方程，加上边界条件，则称为施图姆称为施图姆-刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题 。0)()()(yxcyxbyxay)1()(0)
26、()()(bxayxyxqdxdyxkdxd5.4 5.4 施图姆施图姆-刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题 0)()0(0,1,0,1,0 lyyyyqklba则例如：221,1,1,0,1,(1)0(11)(1)abkxqddyxyxdxdxy 则0)(,)0()0(0,000220 xyyxxxyyxmdxdyxdxdxxmqxkxba则2.2.边界条件的提法边界条件的提法)()(),()(),()(,0)()(,0)()(1,0)(0)(0)(,0)(,1)12211byaybyaybkakiibybyayayibaxxqxkxkba）周期边界条件（）分离边界条件（）为正则的。则方程（上连续，在；有限，）在若方程（)()(,0)(,1)(,0)(,0)(0)(,1)2yxaiiayakibaxqxbkakbaba有）（有）当（）上为奇异的。）在（则方程（的一阶极点，或是或是或的端点或在）无界或半无界，）在（若方程（
