1、14.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法4.4 非线性系统的非线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析4.5 线性定常系统的线性定常系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析4.6 Lyapunov第二方法在线性系统设计中第二方法在线性系统设计中 的应用的应用4 4 控制系统的稳定性控制系统的稳定性Lyapunov第二方法第二方法重点！重点！现代控制理论基础2引引 言言 1892年，俄国数学家李亚普诺夫（Lyapunov）在其发表的论文运动稳定性的一般问题(The general probl
2、em of motion stability)中提出了两种用于分析由常微分方程描述的系统稳定性的方法：线性化方法和直接法。(linearization method and direct method)n线性化方法又称第一方法或间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判别。对于一般非线性系统，则可通过线性化处理，然后再根据线性化方程的特征根来判断系统的稳定性。(The linearization method draws conclusions about a nonlinear systems local stabil
3、ity around an equilibrium point from the stability properties of its linear approximation.)现代控制理论基础3引引 言言n直接法又称第二方法，它通过构造一个称之为Lyapunov函数的纯量函数来判别系统的稳定性。它是分析线性和非线性、时变和定常动力学系统稳定性的一种普遍方法，而且还可以有效地应用于系统的分析和综合。nThe direct method is not restricted to local motion,and determines the stability properties of a
4、 nonlinear system by constructing a scalar“energy-like”function for the systems and examining the functions time variation.Lyapunovs direct method has become the most important tool for nonlinear system analysis and design.现代控制理论基础4 4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义n4.1.1 平衡状态平衡状态(Equilibrium states)定义定义
5、 动力学系统 的平衡状态是满足 的那一类状态，用 表示。即 对于线性定常系统 如果矩阵A是非奇异的，则系统只存在唯一的一个平衡状态 =0，而当A为奇异时，则存在无穷多个平衡状态。n 对于非线性系统，通常有一个或多个平衡状态。)(xfx 0 x=0)(exfAxx exex现代控制理论基础5n4.1.2 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性(stability in the sense of Lyapunov or Lyapunov stability)n系统受扰动作用后将偏离其平衡状态，随后系统可能出现下列情况：（1）系统的自由响应有界；（2）系统的自由响应不但有界，而且最终回到平衡状
6、态；（3）系统的自由响应无界。Lyapunov把上述三种情况分别定义为稳定、渐近稳定和不稳定。下面分别给出其定义。n(1)Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性 用下式表示以平衡状态 为圆心、半径为k的球域：式中，称为欧几里德范数，在n维状态空间中，有exx 2221122()()()eeenenxxxxxxxxekxx 4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义ex现代控制理论基础6n定义定义4-1 4-1 对于任意给定的每个实数 ，都对应存在另一实数 ，使得一切满足不等式 的任意初始状态 x0 0 出发的系统响应 x，在所有时间内都满足 ,则称平衡状态 在Lyapuno
7、v意义下是稳定的。几何含义：几何含义：给定以任意正数 为半径的球域，当t无限增大时，从球域内 出发的轨迹总不越出球域 ，那么平衡状态是 Lyapunov 意义下稳定的。以二维空间为例，上述定义几何解释如右图所示。0()e xxexx 4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义0()0)(S)(S二维空间中稳定平衡状态示意图二维空间中稳定平衡状态示意图exex现代控制理论基础7n(2 2)渐近稳定渐近稳定(asymptotic stability)定义定义4-2 4-2 若平衡状态 是Lyapunov意义下稳定的，并且当t t 趋近于无穷大时，x(t)趋近于 ，即 ，则称平衡状态
8、渐近稳定。以二维空间为例，上述定义几何解释右图所示。n（3 3）大范围渐近稳定）大范围渐近稳定 定义定义4-3 4-3 如果平衡状态 是渐近稳定的，且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间，那么平衡状态 就称为大范围渐近稳定。(asymptotic stability in the large)4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义0)(limettxx二维空间中渐近稳定平衡状态示意图二维空间中渐近稳定平衡状态示意图exexexexex现代控制理论基础8 很明显，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间中只存在一个平衡状态。对于线性系统，如果其平衡状态是渐近稳定的，那么它一定是大范
9、围渐近稳定的。如果系统不是大范围渐近稳定的，那么就要遇到一个确定渐近稳定的最大范围的问题，这通常非常困难。n（4）不稳定不稳定(instability)定义定义4-4 如果对于某一实数 ，不论 取得多么小，在 内总存在一个初始状态x0 0，由此出发的轨迹最终越出 ，即 ，则称平衡状态不稳定。以二维空间为例，上述定义几何解释右图所示。4.1 4.1 关于稳定性的几个定义关于稳定性的几个定义0)(S)(Sexx二维空间中不稳定平衡状态示意图二维空间中不稳定平衡状态示意图ex现代控制理论基础94.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法 Lyapunov第一方法又叫间接法。它的基本思路是解系
10、统方程，然后根据方程的解判别系统的稳定性。(1)对于线性定常系统只需求出特征值就可判别其稳定性。(2)对于非线性系统，则必须首先将系统的状态方程线性化，然后用线性化方程（即一次近似式）的特征值来判别系统的稳定性。（1 1）线性系统稳定性的判别）线性系统稳定性的判别 定理定理4-1 4-1 线性连续定常系统 渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。例例4-1 试分析如下系统的稳定性。解解 矩阵A的特征方程为 矩阵A的特征值为 ，故系统不是渐近稳定的。u121160 xx x10ydet()(1)6(2)(3)0 IA3,221(,)A b c现代控制理论基础10n以上研究的是系统
11、平衡状态的稳定性，也称系统内部的稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输入输出稳定性，下面给出输入输出稳定性的定义。n定义定义4-5 4-5 若所有的有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称系统为有界输入有界输出稳定。(BIBO)有界是指如果一个函数h(t)，在时间区间 内，它的幅值不会增至无穷大，即存在一个实常数K，使得对于 内所有，恒有 ，则称h(t)有界。n定理定理4-2 4-2 线性连续定常系统 是输入输出稳定的充要条件是其传递函数 的极点都位于S的左半平面内。(,)A b cbAIc1)()(ssG),0 Kth|)(|4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法),
12、0现代控制理论基础11n例例4-24-2：试分析系统 的输入输出稳定性。解 系统的传递函数为 由于系统传递函数的极点位于S的左半平面，故系统是输入输出稳定的。这是因为具有正实部的极点 被系统的零点对消了，而在系统的输入输出特性中没有表现出来。n结论结论：若系统 是渐近稳定的，则它也是输入输出稳定的；若系统是输入输出稳定的，且又是能控能观测的，则系统渐近稳定。116221()()0 1111(2)(3)3ssG ssssss c IAb=4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法(,)A b cu121160 xx x10y2s 现代控制理论基础12n（2）非线性系统的稳定性分析非线性
13、系统的稳定性分析 设系统在零输入下的状态方程为 f(x)是与x同维数的向量函数，它对于状态向量x是连续可微的。将非线性向量函数f(x)在平衡状态 附近展开成泰勒级数，即)(xfx 4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法()()eeeTxxfxxxxxx nnnnnnTxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111xf雅可比（Jacobian）矩阵。引入偏差向量 ，即可导出系统的线性化方程，或称一次近似式为式中exxxxAxeTx xfAxex现代控制理论基础13n假如矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 是渐近稳定的，且系统的稳定性与高阶项无关。
14、n如果一次近似式中矩阵A的特征值中至少有一个实部为正的特征值，那么原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。n如果一次近似式中矩阵A的特征值中虽然没有实部为正的特征值，但有实部为零的特征值，那么原非线性系统的平衡状态 的稳定性要由高阶项决定。4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法exexex现代控制理论基础14nIf the linearized system is strictly stable(i.e,if all eigenvalues of A are strictly in the left-half complex plane),then the equilibrium p
15、oint is asymptotically stable(for the actual nonlinear system).n If the linearized system is unstable(i.e,if at least one eigenvalue of A is strictly in the right-half complex plane),then the equilibrium point is unstable(for the nonlinear system).n If the linearized system is marginally stable(i.e,
16、if all eigenvalues of A are in the left-half complex plane,but at least one of them is on the jw axis),then one cannot conclude anything from the linear approximation(the equilibrium point may be stable,asymptotically stable,or unstable for the nonlinear system).4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法Lyapunovs l
17、inearization method现代控制理论基础15n例例4-3 描述振荡器电压产生的Vanderpol方程为 试确定系统渐近稳定Q的取值范围。()n解解 令 ，上式可化为 显然，这是一个非线性方程，其平衡状态xe为 4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法Qkvvvuv)1(20,0ku vx 1vx221xx Qkxxxux12212)1(0021kQxxeeexQk式中 将状态方程线性化，有 且A的特征方程为 根据Lyapunov第一方法，若原非线性系统平衡状态 xe 是渐 近稳定的，则要求 和 。由于 ，则欲 使 ，必须有 即 。)1(102ukeTxxxfA22de
18、t()(1)0ukIA0)1(2u0k0u0)1(2u11kQk现代控制理论基础164.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法n Lyapunov第二方法又称直接法。它不必通过对运动方程的求解而直接确定系统平衡状态的稳定性，它是建立在用能量观点分析稳定性的基础上。若系统的平衡状态是渐近稳定的，则系统受激励后其贮存的能量将随着时间推移而衰减，当趋于平衡状态时，其能量达到最小值。反之，如果系统的平衡状态是不稳定的，则系统将不断地从外界吸收能量，其贮存的能量将越来越大。Lyapunov第二方法就是用V(x)和 的正负来判别系统的稳定性。对于一个给定系统，只要能找到一个正定的标量函数V(x)
19、，而 是半负定的，那么系统就是稳定的，称V(x)为系统的一个Lyapunov函数。本节介绍Lyapunov关于稳定、渐近稳定以及不稳定的几个定理。在介绍这些定理前先介绍一下有关标量函数V(x)的符号性质。)(xV)(xV现代控制理论基础17n4.3.1预备知识预备知识(1)标量函数标量函数V(x)的的符号性质符号性质(Scalar function)设V(x)为由n维矢量x所定义的标量函数，且在 x=0处，恒有V(x)=0。对所有在域 中的任何非零矢量 x，则称V(x)是正定的。(positive definiteness)，则称V(x)是半正定的。(positive semidefinite
20、ness)，则称V(x)是负定的。(negative definiteness)，则称V(x)是半负定的。(negative semidefiniteness)或 ，则称V(x)是不定的。(indefiniteness)4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法x0)(xV0)(xV0)(xV0)(xV()0Vx()0Vx现代控制理论基础18(2)二次型标量函数二次型标量函数(Quadratic forms)（3）P的各阶主子行列式为的各阶主子行列式为(successive principal minors)，,111p 111222122pppp 111212122212nnnnn
21、nnpppppppppP4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法T()V xx PxjiijPP nnnnnnPPPPPPPPPP212222111211T12nxxxx现代控制理论基础19n二次型函数二次型函数V(x)的符号性质可用赛尔维斯特准则来判断。的符号性质可用赛尔维斯特准则来判断。(Sylvesters criterion)二次型V(x)为正定的充分必要条件为矩阵P的所有主子行列式为正。二次型V(x)为负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足 二次型V(x)为半正定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足二次型V(x)为半负定的充分必要条件为P的各阶主子式行列式满足为
22、奇数为偶数 ,0 ,0iii4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法 ,0121 ,0ni,.,n,ii0,0,0,iiii n 为 偶 数为 奇 数现代控制理论基础20 Example.Determine whether or not the following quadratic form is negative definite.Solution.The given quadratic form Q can be written Applying Sylvesters criterion The quadratic form is negative definite.4.3
23、4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法2221231 22 31 3311242Qxxxxxx xxx1122331111321211TxxQxxxx 111111 0,0,1320131211 现代控制理论基础21Lyapunov函数函数 设系统的状态方程为 （4.1）x是系统的状态变量，若标量函数V(x)可微，则它对时间t的导数为定义：定义：如果在一个球域内，函数V(x)正定且具有连续的偏导数，它沿着系统(4.1)的解对时间的导数是半负定的，即则称V(x)是系统(4.1)的一个Lyapunov函数。)(xfx4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法()()dVVVVdtx
24、=x=f xxx()0V x现代控制理论基础22 Lyapunov function If,in a ball BR0,the function V(x)is positive definite and has continuous partial derivatives,and if its time derivative along any state trajectory of system(4.1)is negative semi-definite,i.e,Then V(x)is said to be a Lyapunov funtion for the system(4.1).4.3
25、 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法()0V x现代控制理论基础23n4.3.2 Lyapunov第二方法的几个定理第二方法的几个定理 定理定理4-3 设系统的状态方程为 xe0是系统唯一的平衡状态。如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，并且满足下列条件：；，则平衡状态xe渐近稳定。如果随着 ，有 ，则平衡状态 xe 大范围渐近稳定。(径向无界 radially unbounded)(xfx()0Vx()0Vxx)(xV4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法现代控制理论基础24n例例4-4 非线性系统的状态方程为 xe=0是其唯一的平衡状态，试判别平衡状态x
26、e的稳定性。解解 取标量函数为显然 V(x)是正定的。V(x)对时间的导数为将状态方程代入上式，得 ，显然 是负定的，函数V(x)满足定理4-3的条件和，则系统的平衡状态是渐近稳定的，V(x)是系统的一个Lyapunov函数。由于当 ，有 ，满足定理4-3的条件，所以系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法22121122221212()()xxx xxxxx xx 2221)(xxVx221122)(xxxxVx22212()2()Vxx x()Vxx)(xV现代控制理论基础254.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法n 例例4-5
27、设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。解解 令 ，求得原点(0,0)为给定系统的唯一平衡状态。若仍取标量函数为则当 时，因此 不是负定的，而是半负定的，因此所选V(x)不满足定理4-3的条件。现另选取显然V(x)是正定的。可得 ，它是负定的，所以该 V(x)是系统的一个Lyapunov函数。系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又因为 ，有 ，故系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。12xx212xxx 01x 02x 2221)(xxVx222211222)(xxxxxVx0,021xx()0V x)(xV2221212()()2/2Vxxxxx2221)(xxVxx)(xV现代控制理论基
28、础26定理应用需要注意两点：定理应用需要注意两点：1.Lyapunov稳定性定理只是判断系统平衡状态稳定性的充分条件，而不是充要条件。即如果所选取的正定函数的导数不是负定的，并不能断言该系统不稳定，因为很可能还没有找到合适的函数。2.寻找 Lyapunov函数的困难在于它的导数必须是负定的，而这个条件是相当苛刻的。能否把为负定的这个条件用半负定来代替呢？4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法现代控制理论基础27n定理定理4-4 设系统的状态方程为 xe=0是系统唯一的平衡状态。若存在 V(x)满足下列条件 ；，则称系统在原点处的平衡状态是稳定的。对于任意初始状态 ，除当 x=0
29、时，外 对 ，不恒等于零。则系统的平衡状态渐近稳定。若当 ，有 ，则平衡状态大范围渐近稳定。n定理定理4-5 设系统的状态方程为 xe=0是系统平衡状态。如果存在一个标量函数V(x)，它具有连续的一阶偏导数且满足下列条件：在原点的某一邻域内是正定的；在同样的邻域内也是正定的。那么系统的平衡状态是不稳定的。)(xfx()0Vx()0Vx00 x()Vx)(xfx()Vx()Vx0)(xV0 xx)(xV4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法现代控制理论基础284.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法n 例例4-6 设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。解解 原
30、点 为给定系统的唯一平衡状态。若选取二次型标量函数为Lyapunov函数，即则当 时，；当 时 ，因此 为半负定的，故系统的平衡状态是Lyapunov意义下稳定的。那么能否是渐近稳定的呢？为此，还需要进一步分析当 时，是否恒为零。如果假设 恒等于零，必然要求 在 时恒等于零；而 恒等于零又要求 恒等于零。但从状态方程 可知，在 时，若要求 和 ，必须满足 的条件。这就表明在 时，不恒等于零，所以系统的平衡状态渐近稳定。又因为 ，有 ，故系统的平衡状态大范围渐近稳定。12xx212xxx 0ex 2221)(xxVx222211222)(xxxxxVx120,0 xx()0V x)(xVx)(x
31、V120,0 xx120,0 xx()0V x 22()2Vx x2x0tt2x2x 212xxx 0tt20 x 20 x 10 x 0 x)(xV)(xV现代控制理论基础29n例例4-7 设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。解解 显然 ，即原点为平衡状态。选取正定的标量函数 ，则 V(x)为正定的，又 也为正定的，故定理4-5的条件均满足，因此系统的平衡状态是不稳定的。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法212211xxxxxx0,021xx2221)(xxVx2221212211221122 )(2)(2 22)(xxxxxxxxxxxxVx)(xV现代控制理
32、论基础30n4.3.3 几点说明几点说明 应用Lyapunov第二方法分析系统稳定性的关键在于如何找到Lyapunov函数V(x)，然而Lyapunov稳定性理论本身并没有提供构造Lyapunov函数的一般方法。下面简略概括一下Lyapunov函数的属性。Lyapunov函数是一个标量函数。对于给定系统，如果存在Lyapunov函数，它不是唯一的。Lyapunov函数最简单的形式是二次型函数，即 。其中P为实对称正定阵。对于一般情况而言，Lyapunov函数不一定都是简单的二次型函数。但对线性系统而言，其Lyapunov函数一定可以用二次型函数来构造。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺
33、夫第二方法()TVxx Px现代控制理论基础31n在线性系统中，如果平衡状态是局部渐近稳定的，那么该平衡状态一定也是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，稳定性却可能只具有局部性质。例如，不是大范围渐近稳定的平衡状态，却可能是局部渐近稳定的。因此，线性系统的渐近稳定性和非线性系统的渐近稳定性含义是不同的。n两种构造非线性系统两种构造非线性系统Lyapunov函数的方法：函数的方法：(1)克拉索夫斯基（Krasovskii）方法;(2)变量梯度法（Variable-gradient method）。n4.4.1 Krasovskii方法（方法（雅克比(Jacobian)矩阵法）非线性系统的状态方
34、程为 假设xe=0。Krasovskii用状态向量x的导数来构造Lyapunov函数。即令 其中P为对称正定矩阵。4.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析)(xfx)()()(xPfxfxPxxTTV现代控制理论基础324.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析为验证 是否为负定，V(x)对时间t求导数，有考虑到式中 称为系统的Jacobian矩阵。整理得 式中可以证明，若Q是负定的，则 也是负定的。)()()()()(xfPxfxPfxfxTTV)(xV)()()()()(xJfxfxxfx
35、xxfxfTTtnnnnxfxfxfxf1111)(TxxfJ ()()()()QTTTfx J PPJ)f xfxf x()()()()()VTTxJfxPfxfx P Jfx ()()()()TTTfx J Pf xfx PJf xPJPJQT)(xV现代控制理论基础334.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析n结论：结论：对于非线性系统 若选取正定对称矩阵P，且使 为负定的，则 系统在xe=0处是渐近稳定的。如果 ，有 ，则系统在xe=0处 是大范围渐近稳定的。n例例4-7 试用Krasovskii方法判别下列系统 在原点处是大范围渐近
36、稳定的。解解 按照Krasovskii方法选取P=I，故有 由于)(xfx PJPJQTx)()()(xPfxfxTV322122113xxxxxxx3221213)(xxxxxxfJJQT现代控制理论基础344.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析从而有 ,故有且 由 Sylvester 判据知 Q 是负定的。则系统的Lyapunov函数为显然，当 ，。所以该系统在原点处是大范围渐近稳定的。当非线性特性能用解析式表达时，且系统的阶次又不太高时，用Krasovskii方法分析这类非线性系统的渐近稳定性还是比较方便的。它是充分条件，而非必要条件
37、。2231113)(xTxxfJ2262226xJJQT083662226 ,6222221xx3221213221213 3)()()(xxxxxxxxxxVxfxfxT23221221)()3(xxxxxx)(xV现代控制理论基础354.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析n4.4.2 变量梯度法变量梯度法 D.G.Shultz和J.E Gibson在1962年提出来的。主要思路是先假设一个旋度为零的梯度gradV，然后根据它再确定V(x)。假设非线性系统 的平衡状态xe=0是渐近稳定的，则其Lyapunov函数V(x)存在，且函数V(x
38、)一定具有唯一的梯度gradV 若Lyapunov函数V(x)是x的显函数,而不是时间t的显函数，则V(x)对时间的导数为)(xfx TTTTTTTT12().nVVVgrad VxxxdtdxxVdtdxxVdtdxxVVnn2211)(x现代控制理论基础364.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析写成矩阵的形式为因此D.G.Shultz和J.E Gibson提出，先假设gradV为某一形式，譬如为并根据 为负定的要求确定gradV，进而确定上式中的未定系数，然后由这个gradV 按下式导出V(x)1212()TnnxxVVVVgradVx
39、xxxxxnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaVgrad221122221211212111 T 0()()xVgrad Vdxx()Vx现代控制理论基础374.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析 如果求出的V(x)是正定的，这就是给定系统所要构造的Lyapunov函数。如果V(x)的梯度向量gradV的线积分与路径无关的话，那就必须要求gradV的旋度为零。即要求gradV满足如下方程 其中 对于一个n阶系统，应有 n(n-1)/2 个旋度方程。如 n=3，则有下列三个旋度方程。),2,1,()()(njixVgradx
40、VgradijjiiixVVgrad)(221221VVx xx x 222332VVx xx x 223113VVx xx x 现代控制理论基础384.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析 综上所述，如果非线性系统的平衡状态xe=0是渐近稳定，则可按如下步骤求得系统的Lyapunov函数V(x)：按某一形式给出gradV；从gradV求出 ，并限定它为负定或至少是半负定的；用式旋度方程确定gradV中的未定系数；再核对一下 ，因为上一步计算可能使它改变；求出V(x)。n例例4-8 试用变量梯度法判定非线性系统 在原点处是渐近稳定的。)(xV
41、)(xV22221112xxxxxx现代控制理论基础394.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析解解 设所求Lyapunov函数V(x)的梯度为如下形式于是V(x)的导数为试探地选取 则如果 ，则 是负定的，将代入梯度公式有21212121112 xxaxaxaVgrad22212122211221122311121112221212221122112231112111221121212111222 222 )2()()()(xxxaxxaxxaxxaxaxxxaxxaxxaxxaxaxxxaxxaxaVgradVT xx2221212)21
42、()(xxxxVx0)21(21xx)(xV212 xxVgrad1112211,0,aaa111221,aaa现代控制理论基础404.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析注意到满足旋度方程，所以由这个Lyapunov函数，我们可以说在 范围内系统是渐近稳定的。为了说明由上式所确定的Lyapunov函数不是唯一的，我们重新选择梯度表达式中未定系数为0)()(1221xVgradxVgrad122112(0)()2111222 0 0()22xxxxxxVx dxx dxxx0)21(21xx2212121221211222111)1(,)1(
43、,)1(2xxxaxxxaxxa现代控制理论基础414.4 4.4 非线性系统的非线性系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析于是 ，在整个状态平面上是负定的。此时 ，由于满足旋度方程，所以V(x)为显然当 时Lyapunov函数正定，系统的原点在 范围内是渐近稳定的。系统渐近稳定的范围比前面的大，因此这次构造的Lyapunov函数优于前者。222122)(xxVx22213122122122112)1()1()1(2 xxxxxxxxxxxVgrad32123121123212312121)1(3)()1(3)(xxxxxxVgradxxxxxxVgrad2)(022213
44、11)0(02212212211112212)1()1()1(2)(dxxxxxdxxxxxxxxVxxxxxx221212 1xxx x121x x121x x 现代控制理论基础424.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析n主要内容主要内容：用Lyapunov第二方法来分析线性连续定常系统以及线性定常离散系统的稳定性。n 4.5.1 线性连续定常系统的稳定性分析线性连续定常系统的稳定性分析 线性连续定常系统的状态方程为 式中x为n维状态向量，A是nn阶常数矩阵。假设A是非奇异的，那么唯一的平衡状态在原点。所选的Lyapunov函数为二次
45、型函数 其中P为nn维实对称正定矩阵。V(x)对时间的导数为 则有 欲使系统在原点处是渐近稳定的，则要求 是负定的，因此必须有 式中 为正定对称矩阵。Axx PxxxTV)(xPxPxxxTTV)(xPAPAxPAxxPxAxx)()()(TTTTV()TV xx Qx)(PAPAQT()Vx现代控制理论基础434.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析 据上所述，为判断线性定常系统在平衡状态的稳定性，应先选一个矩阵P，以使V(x)为正定，然后根据式子求出Q，检验Q是否为正定的，若是，则该平衡状态是渐近稳定的。但是，在实际中通常的做法是首先
46、指定一个正定的矩阵Q，然后检验由式 所确定的P是否也是正定的。之所以要这样做，是因为这比首先指定一个正定矩阵P，然后检验Q是否也是正定的做法要方便得多。但是要注意，P为正定是一个充分必要的条件。归纳上述情况可得如下的定理。)(PAPAQT现代控制理论基础44n 定理定理4-6 线性连续定常系统 其中x是n维状态向量，A是nn阶常数非奇异矩阵。系统在平衡状态xe=0处大范围渐近稳定的充分必要条件是给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵 P 满足方程上式又称为Lyapunov方程。标量函数 是系统的 一 个Lyapunov 函数。Axx QPAPAT4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统
47、的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析PxxxTV)(现代控制理论基础45n Theorem 4-6 Consider the system described by where x is a state vector(n-dimensional vector)and A is an nn constant nonsingular matrix.A necessary and sufficient condition that the equilibrium state xe=0 be asymptotically stable in the large is that,giv
48、en any positive-definite real symmetric matrix Q，there exists a positive-definite real symmetric matrix P such that The scalar function is a Lyapunov function for this system.Axx QPAPAT4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析PxxxTV)(现代控制理论基础46n在应用这个定理时，应注意以下几点：（1）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程 的实对称矩阵P是
49、唯一的，若P是正定的，则平衡状态 xe=0是渐近稳定的。P的正定性是一个充要条件。（2）如果 沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q 可取为半正定的对称矩阵。（3）只要矩阵Q选成正定的(或在许可时选为半正定的)，那么 对系统渐近稳定性判定的最终结果与Q点具体选取无关，为计算方便，在选用正定实对称矩阵Q时，常取 Q=I，矩阵P可由 确定，然后检验P是不是正定的。4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析QPAPATQxxxTV)(T A PPAI现代控制理论基础47判断的一般步骤：判断的一般步骤：定理给出了构造线性定常系统渐近稳定的李氏函数的通用方法
50、（1）确定系统的平衡状态。（2）取正定矩阵Q=I，且设实对称矩阵P为（3）解矩阵方程 ，求出P（4）利用赛尔维斯特判据，判断 P 的正定性。若P0，正定，则系统渐近稳定，且4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析111211222212nnnnnnppppppPpppT A PPAI()TVxx Px现代控制理论基础48例例4-9 设二阶线性定常系统的状态方程为显然，原点是系统的平衡状态。试确定该系统平衡状态的稳定性。解解 设Lyapunov函数为 矩阵P由下式确定 上式可写为4.5 4.5 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovL
