1、自动化学院自动化学院CISIA3.13.1控制系统的能控性控制系统的能控性一一.引言引言 状态空间描述(状态方程与输出方程)模型涉及的量包括输入,状态变量,输出分析:定量分析状态方程的求解本章内容:定性分析能控性与能观性1.1.上一章回顾上一章回顾XXAXBUYCXUY 能控性问题？能控性问题？2.2.问题的提出问题的提出能控性表示的是能控性表示的是“输入能否控制状态的变化输入能否控制状态的变化”XAXBUYCX控制器状态估计器XXYUXAXBUYCX控制器UXY能观性问题？能观性问题？能观测性表示的是能观测性表示的是:“状态的变化能否由输出反映出来状态的变化能否由输出反映出来”(1)(1)能
2、控性和能观性概念能控性和能观性概念(2)(2)能控、能观判据能控、能观判据(3)(3)能控、能观标准型、对偶关系能控、能观标准型、对偶关系(4)(4)结构分解结构分解(5)(5)最小实现最小实现3.3.本章主要知识点本章主要知识点引例引例:设单输入连续系统状态方程为设单输入连续系统状态方程为:112222xxxuxx 122x 1x 2x1xu+-+引例状态变量图引例状态变量图不可控子系统二二.能控性定义能控性定义说明：引例中不可控子系统是不稳定的。说明：引例中不可控子系统是不稳定的。t22222 ()(0)()xxx te xx t应发散到无穷应发散到无穷2xo1xP2P1PnPP能控状态的
3、几何解释能控状态的几何解释1x2xo11222xxxxu 21 xx是可控是不可控的能控状态子空间能控状态子空间20()()X txt定义定义1 对于对于线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统的状态方程 ，若存在一分段连续控制向量，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间能在有限时间区间t0,tf内，将系统从某一初始状态内，将系统从某一初始状态x(t0)转移到任意终端状态转移到任意终端状态x(tf)，那么就称此，那么就称此状态是能状态是能控的控的。若系统的所有状态。若系统的所有状态x(t)都是能控的，就称此都是能控的，就称此系系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。统是状态完全能
4、控的，简称系统是能控的。BuAxx几点说明几点说明:1）为了简便，系统的初始状态）为了简便，系统的初始状态x(t0)，可以是状态空，可以是状态空间中任意非零的有限点，终端状态间中任意非零的有限点，终端状态x(tf)为状态空为状态空间的原点。间的原点。2）也可以指定）也可以指定 x(t0)是原点，而终端状态是原点，而终端状态 x(tf)为状态为状态空间中任意非零点。称为状态的能达性。能控性空间中任意非零点。称为状态的能达性。能控性和能达性是可以等价的和能达性是可以等价的(线性定常系统线性定常系统)。3）在讨论能控性问题时，不计较）在讨论能控性问题时，不计较u的约束，只要能的约束，只要能使状态从使
5、状态从 x(t0)到达到达 x(tf)即可，而不讨论到达的轨即可，而不讨论到达的轨迹。迹。4）能控性反映了输入）能控性反映了输入u控制内部状态变量控制内部状态变量 x(t)的能力的能力11101110()()0nnnnnnCayleyHamiltonnAfIAaaaAf AAaAa Aa I定理设 阶矩阵 的特征多项式为则矩阵 满足三三.能控性判据能控性判据预备知识预备知识推论推论1 1：()kAkn可表示为可表示为(1)An 的次多项式次多项式.推论推论2 2：(1)AtAteeAn与均可表示为的次多项式.10()nAtmmmet A10()nAtmmmet A定理定理1 n1 n阶线性定常
6、连续系统阶线性定常连续系统,XAX BU状态完全能控状态完全能控21 nrank B AB A BABn证明证明:00()()0()()()()ffftA ttA tftX teX teBud(不失一般性不失一般性,假设假设 00,()0)ftXt()0()000(0)()()(0)()()(0)()()ffffffftAtA ttAtA ttAeXeBudeXeBudXeBud 由1011-1=0()()()=()AnnniiieIAAA 代入100(0)()()()fntiiiXABud 100=()()()fntiiiA Bud0()()()()ftiifudft 令21 nrank B
7、 AB A BABn101011(0)()=()()()niifinffnfXA B ftBftABftABft 有唯一解01(),()fnfftft0111()()X(0)()ffnnfftftBABABft0()()()()0,1,1ftiifudftin 再由再由011,nuuu思路：把初始状态转移到零状态的控制作用思路：把初始状态转移到零状态的控制作用是否存在？而非如何具体求出是否存在？而非如何具体求出()u t()u t例例.判断下列状态方程的可控性判断下列状态方程的可控性11122233132210201 101311xxuxxuxx2213254112244112244cUBAB
8、A B23cRankU系统不完全可控系统不完全可控四四.能控标准型能控标准型1.1.问题的提出问题的提出2.2.化能控标准型的理论根据化能控标准型的理论根据状态变量的非奇异变换不改变系统的能控性状态变量的非奇异变换不改变系统的能控性非奇异变换的基本特性：非奇异变换的基本特性：XAXBUYCXXPXXAXBUYCX 其中其中11APAPBP BCCPP P非奇异非奇异AA与 为相似矩阵detdet,()()AA Rank ARank A11,nniiiiiiaaSIASIA非奇异变换不改变系统的能控性非奇异变换不改变系统的能控性 3.3.单变量系统的能控标准型单变量系统的能控标准型定理定理2 2
9、 如果系统的状态空间表达式为如果系统的状态空间表达式为XAXBUYCX其中其中11010001nnAaaa001B 则称该表达式为系统的能控标准型则称该表达式为系统的能控标准型因为因为2112112000010001 001011ncUBABA BABaaaa 能 控cRankUn五五.化能控标准型化能控标准型1113,定理：设单输入线性定常系统的状态方程若其状态完全能控，则必存在非奇异变换将状态方程化为能控标准型，即其中XAXBu yCXWPXWAWBu yC X111211111111121101000010000100010001，变换阵nnnTnnnAPAPaaaaBPBCCPPPAP
10、PAPBABABAB证明：关键是否存在证明：关键是否存在P P?1112112101000010 0001010000100001由nnnnnnPAPAaaaaPAPaaaa11221211222113332141121010000100001()()()nnnnnnnnnPAPP APP APaaaaPAPP APA APAPP AP A APAPPAPA APAP11211111111111111-111,?00,1=001=001=001其中转置以后得nnnnnnPPPPAPPPPAPBPABPBPABPBPABPABPBABABPBABAB 1012.121例化为能控标准型XXu-11
11、111111,2,133122=11221101221121,220101能控ccMBABrankMBABPBABPPPPA1111110210122120123011110221101APAPBPB 自动化学院自动化学院CISIA3.23.2控制系统的能观性控制系统的能观性一一.能观性能观性定义定义,xAxBu yCx定义定义：对于线性定常系统对于线性定常系统在任意给定的输入在任意给定的输入 u(t)下，能够根据输出量下，能够根据输出量 y(t)在在有限时间区间有限时间区间t0,tf 内的测量值，唯一地确定系统内的测量值，唯一地确定系统在在 t0 时刻的初始状态时刻的初始状态 x(t0)，就
12、称系统状态，就称系统状态x(t0)是是能观测的。若系统的每个状态都是能观测的，则称能观测的。若系统的每个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。系统是状态完全能观测的，简称能观测的。二二.能观性判据能观性判据定理定理1 线性定常连续系统状态完全能观测的充线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是分必要条件是：1,oonCCAMn RankMRanknCA能观性矩阵的秩为因为能观性所表示的是输出反映状态的能力，因为能观性所表示的是输出反映状态的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，常假设题时，常假设u=0u=00000
13、011000,()()(),()()()0,()(0)()(0)=()()()(0)AtAtnnAtiiiiiiuxAxx tttx ty tCttx ttx te xy tCe xCayleyHamiltonet Ay tCt A x证明：令的解为不失一般性，假设则利用定理2012110111()(0)()(0)()(0)()(0)()()()(0)nnnnt Cxt CAxt CA xt CAxCCAt It It IxCA1 (),(0)(foonty txMnCCArankMranknCA上式表明：根据在0,时间区间的量测值能将初始状态唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵的秩为列满秩
14、）例例1 判断下列系统的能观性判断下列系统的能观性1122211131xxuxx11221010yxyx10102121oCMCA秩秩等于等于2，所以，所以系统是能观测的。系统是能观测的。例例2 判断下列系统的能观性判断下列系统的能观性112201123434xxuxx11221122yxyx11223366oCMCA秩秩等于等于1，所以，所以系统是系统是不可不可观测的。观测的。三三.单变量系统的能观标准型单变量系统的能观标准型定理定理2 2 如果系统的状态空间表达式为如果系统的状态空间表达式为XAXBUYCX其中其中则称该表达式为系统的能观标准型则称该表达式为系统的能观标准型12100010
15、0=010001nnnaaAaa001C 01,000010001 0010111nA CCCAMCA因为将矩阵代入能观性矩阵，得这是一个以 为对角线元素的下三角阵，由于其行列式一定非0，状态完全能观测四四.化能观标准型化能观标准型,xAxBu yCxxTxxAxBu yCx定理3：设单输入线性定常系统的状态方程若其状态完全能观，则必存在非奇异变换将系统化为能观标准型，即其中1121121112111000100010001001,nnnnnnnnnnaaATATaabbBT BCCTbba aasIAsa sasa，其中，为系统特征多项式的系数1111111001nnTTATATCCATCA
16、 11.,10.5 02xx yx 例3 化为能观标准型00-111111110.5,2,10010.501=110121321.5,2410.502,011302,0113CMrankMCACTCATTATTATATCCTxx yx 能观得到能观标准型 五五.多变量系统的能控标准型和能观标准型多变量系统的能控标准型和能观标准型()()()()()x tAx tBu ty tCx tAn nBn rCm n 设线性定常系统的状态空间表达式为式中矩阵矩阵矩阵(1)如果系统是能控的，那么就一定存在一个非奇异线性变换，能把系统变换成如下能控标准型1111111()()()()()000=,000,0
17、cccrrrrcccrrrrnrnrrrnnnnnnrrx tA x tB u ty tC x tIABCIa IaIa IIaaasIAsa sasaIrr式中为任意其中为系统特征多项式的系数；，分别为的零矩阵和单位矩阵1111111()()(),()(),000=,000,0ooommnmmmnmoommmmmronnnnnnmx tA x tB u ty tC x ta IIaIACIIa IBaaasIAsa sasa(2)如果系统是能观的，那么就一定存在一个非奇异线性变换，能把系统变换成能观标准型式中=为任意 其中为系统特征多项式的系数；,mIm m分别为的零矩阵和单位矩阵注意：多变
18、量系统的能观标准型并不是能控标准注意：多变量系统的能观标准型并不是能控标准简单的转置，与单变量系统有所不同简单的转置，与单变量系统有所不同自动化学院自动化学院CISIA3.33.3能控性与能观性能控性与能观性另一种判据另一种判据能控性判据除了直接由（能控性判据除了直接由（A A，B)B)确定，还有一种确定，还有一种是先将系统化为对角线型或约当标准型，再由对是先将系统化为对角线型或约当标准型，再由对应控制矩阵确定其能控性。应控制矩阵确定其能控性。121000000nxAxBuxxBuB定理：设线性定常系统具有互不相同的特征值，则其状态完全能控系统经非奇异变换后的对角线标准型中，阵不包含元素全为零
19、的行1235700(,)0500012001005,5,40,40777575A BABBBB 例1.判定的能控性，说明：说明：1.1.对角化目的是使变换后各状态变量间对角化目的是使变换后各状态变量间没有耦合关系，从而使得影响每个状态变量没有耦合关系，从而使得影响每个状态变量的唯一途径是输入控制作用。的唯一途径是输入控制作用。2.2.条件特征值互异是必须的。条件特征值互异是必须的。11222012 021xxuxx 例判定的能控性12000000(1)kixAxBuJJxxBuJJ ikB定理2：设线性定常系统具有重特征值，且每一个重特征值只对应一个特征向量，则其状态完全能控系统经非奇异变换后
20、的约当标准型中，每一个约当块最后一行所对应的 阵的各行元素不全为零。1122(,)-41010-42-41220-40A BABAB 例3.判定的能控性（），（），3344-4100000-40001300-3100000-320-4100010-40000400-3120000-302ABAB（），（），12(,)000000nA CAxxBuyCxC定理3：设线性定常系统中，具有互不相同的特征值，则其状态完全能观系统经非奇异变换后的对角线标准型，的 中不包含元素全为零的列。(,)700050645001700050320001A CACAC例4.判定的能观性，12(,)000000(1)k
21、iA CAJJxxBuyCxJCJ ik定理4：设中，具有重特征值，且每一个重特征值只对应一个特征向量,则其系统状态完全能观系统经非奇异变换后的约当标准型，的 中与每一个约当块第一列相应的那些列，其元素不全为零。1122(,)-411100-4-412010-4A CACAC例5.判定的能观性（），（），11123-10000-00100-01000-1101 1ABC 思考：，能否使用以上判据？为什么？自动化学院自动化学院CISIA3.4 3.4 对偶原理对偶原理一一.对偶关系对偶关系的定义的定义12111 11 111 1222222222TTT212121122112 =CC=xAxBu
22、yC xxA xB uyC xAABBrmnmrn对于定常系统和如满足下列关系，则称和互为对偶，或称是 的对偶系统。如是 维输入，维输出的 阶系统，则是 维输入，维输出的 阶系统.从图中可以看出，互为对偶的两个系统向量从图中可以看出，互为对偶的两个系统向量矩阵方框图特点：矩阵方框图特点：（1 1）两对偶系统的输入端与输出端互换）两对偶系统的输入端与输出端互换（2 2）信号的传递方向相反）信号的传递方向相反（3 3）分支点和相加点互换）分支点和相加点互换两个系统的传递函数矩阵的关系两个系统的传递函数矩阵的关系 11111()()W sC sIAB1222211111111()()()()TTTT
23、TTW sC sIABBsIACBsIACT121111()()()W sC sIABW s对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。特征方程式是相同的。特征方程式是相同的。211TIAIAIA1111111122222222212212 ()nCTTTTnTTTonMBABABCA CACCC AMC A证明：即 的能控性等价于的能观性，二二.对偶原理对偶原理111122221212(,),(,)A B CA B C设是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性，1211221111122122222212()TTTonTTnTnTCCBC AB AMC ABABA BABM同理可证：的能观性等价于的能控性，自动化学院自动化学院CISIA3.5 3.5 状态完全能控与完全状态完全能控与完全能观和传递函数的关系能观和传递函数的关系,xAxBu yCx定理：单输入单输出线性定常系统为状态完全能控和完全能观其传递函数中没有零极点对消现象。也就是说：如果系统的传递函数有零极点相消因子，则根据状态变量的不同选择，系统或者是状态不可控的，或者是不可观测的，或者是既不可控又不可观测的。
