1、第二节第二节 行列式的计算行列式的计算 一、行列式的计算一、行列式的计算 二、二、 行列式的乘法行列式的乘法 例例 . D 2101044 614753 12402 59733 13211 求求 一、行列式的计算一、行列式的计算 计算行列式常用方法：利用行列式性质把行列式计算行列式常用方法：利用行列式性质把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值 2101044 614753 12402 59733 13211 D 3 解：解： 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 2101044 614753 14020
2、 20100 13211 2101044 614753 12402 20100 13211 3 12 rr 2 3 12 2rr 4 42 rr 22200 20100 14020 35120 13211 22200 35120 14020 20100 13211 14 4rr 13 3rr 22200 01000 21100 35120 13211 34 rr 22200 20100 21100 35120 13211 23 rr 2 60000 01000 21100 35120 13211 612 45 4rr .12 64000 01000 21100 35120 13211 35 2
3、rr 4 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式 n abbb babb bbab bbba D 解：解： abbbna babbna bbabna bbbbna 1 1 1 1 D 将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得 n, 3 , 2 abb bab bba bbb bna 1 1 1 1 ) 1( ba ba ba bbb bna 1 ) 1( 0 0 .)() 1( 1 n babna 证证 用数学归纳法用数学归纳法 21 2 11 xx D 12 xx , )( 12 ji ji xx ）式成立）式成立时（时（当当12 n 例例3 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermond
4、e)行列式行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 ).( 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D )1( ，则，则阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立对于对于假设假设1(1) n )()()( )()()( 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 0 0 0 1111 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx n n n nn nn n = 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 n n nn n n nn n n xxx xxx xxx D ,1列展开列展开按第按第 则有则有提出提出把每列
5、的公因子把每列的公因子,)( 1 xxi )()()( )()()( 1 2 13 2 312 2 2 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx n n n nn nn n 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n n xxx xxx xxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 )()()( 2 11312j jin inn xxxxxxxxD ).( 1 j jin i xx 22 3 2 2 32 11312 111 )()( n n nn n n xxx xxx xxxxxx 例例 1.3.3 例例 1.3.
6、4 思考思考: p15 3(4) 例例4 证明证明 阶行列式阶行列式 n 100 10 01 00 n D ; ,)1( , 11 n n nn 证证 用数学归纳法，对行列式的阶数用归纳法用数学归纳法，对行列式的阶数用归纳法 等式成立；等式成立；, 1)1( n 时时时等式成立；则当时等式成立；则当1)2( knkn 100 10 01 00 1 k D k D)( 100 10 00 001 )( 1 )( kk DD 按第一行展开按第一行展开 由归纳假设知由归纳假设知 kkkk k D 11 1 )( , 22 kk 也成立，所以也成立，所以即等式对即等式对1 kn ; 11 nn n D
7、时，时，当当 ;)1( n n nD 时，同理可得时，同理可得当当 引理：引理： 设设, 1 111 kkk k k aa aa A , 1 111 nnn n n bb bb B 则则 二、行列式的乘法二、行列式的乘法 ; nk BA nnn n kkk k bb bb aa aa D 1 111 1 111 * * 00 00 , 1 111 1 kkk k aa aa D 设设, 1 111 2 nnn n bb bb D ., 2 , 1, 1 nji bac n k kjikij 其中其中 , 1 111 22 nnn n cc cc DDD 则则 定理：定理： 列相乘；列相乘；的第
8、的第行与行与的第的第即即j Di D 21 注意：因为行列式等于其转置行列式，所以在两行注意：因为行列式等于其转置行列式，所以在两行 列式相乘时，也可采用行乘行、列乘列或列乘行列式相乘时，也可采用行乘行、列乘列或列乘行 来计算来计算 教材教材P27例例8 行列式乘法的应用行列式乘法的应用 第四节第四节 克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法则法则 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 设设n元线性方程组元线性方程组 , 21 不全为零不全为零若常数项若常数项 n bbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐
9、次线性方程组齐次线性方程组; , 21 全为零全为零若常数项若常数项 n bbb 此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念 设有设有n n元线性方程组元线性方程组 )1( 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa , 1,1,1 21,221,221 11, 111, 111 nninninn nii nii i aabaa aabaa aabaa 记记 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 ni, 2 ,
10、1 的系数行列式，的系数行列式，为方程组为方程组称称)1( 而得的行列式；而得的行列式；列换成列换成的第的第是将是将 ni bbbi, 21 定理定理 若方程组若方程组(1)的系数行列式的系数行列式 ， 0 那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解 可以表为可以表为 ., 3 3 2 2 1 1 n n xxxx 略证略证 ., 2 3 2 2 1 1 n n xxxx n iniii aaaa 3 3 2 2 1 1 n j jij a 1 1 n k kjk n j ij Aba 11 1 n j kjij n k k Aab 11 1 i
11、b 1 i b 对齐次线性方程组对齐次线性方程组 2 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 推论推论 若齐次线性方程组（若齐次线性方程组（2 2）的系数）的系数行列式行列式 则则方程组方程组只有惟一零解只有惟一零解 0 推论的等价叙述：推论的等价叙述： 齐次线性方程组齐次线性方程组(2)(2)有非零解，有非零解， 则它的系数行列式必等于零。则它的系数行列式必等于零。 例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674 , 522 , 963 , 852 4321 432 421 4321 xxxx xxx
12、 xxx xxxx 解解 6741 2120 6031 1512 D 21 2rr 24 rr 12770 2120 6031 13570 1277 212 1357 21 2cc 23 2cc 277 010 353 27 33 ,27 6740 2125 6039 1518 1 D ,81 6701 2150 6091 1582 2 D ,108 6041 2520 6931 1812 3 D ,27 0741 5120 9031 8512 4 D ,27 , 3 27 81 1 1 D D x , 4 27 108 2 2 D D x , 1 27 27 3 3 D D x. 1 27
13、27 4 4 D D x n n1 12 2 2n-12n-1 1n-11n-10202 iiii +.,+., 例例 1.4.2 1.4.2 设设a ,a ,.,aa ,a ,.,a 是是实实数数域域R R上上互互不相不相同同的数的数。 证证明明：存：存在在在在唯一唯一的的实实数数域域R R上上的多的多项项式式 f x = c +c x +c x+cxf x = c +c x +c x+cx 使得使得 f a=bi=1,2,.,n . f a=bi=1,2,.,n . 得 . 证由条件 2n-12n-1 101121n-11101121n-11 2n-12n-1 201222n-122012
14、22n-12 2n-12n-1 n01n2nn-1nn01n2nn-1n iiii f a= c +c a +c a+caf a= c +c a +c a+ca f a= c +c a +c a+caf a= c +c a +c a+ca f a= c +c a +c a+caf a= c +c a +c a+ca f a= bi =1,2,.,nf a= bi =1,2,.,n明明： = = = 即： . 2n-12n-1 011121n-11011121n-11 2n-12n-1 021222n-12021222n-12 2n-12n-1 0n1n2nn-1n0n1n2nn-1n 01n0
15、1n 12n12n c +a c +a c +acf ac +a c +a c +acf a c +a c +ac +acf ac +a c +ac +acf a c +a c +a c +acf ac +a c +a c +acf a 这这是是一一个个以以c ,cc ,c，.,c，.,c 为为未未知量知量的方的方程程组组。 = V a ,a ,.,a= V a ,a ,.,a 0 0 例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01 ,032 ,0421 321 321 321 xxx xxx xxx 有非零解？有非零解？ 解解 111 132 421 D 101 112 43
16、1 3121143 3 3121 23 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则 0 D 所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解. 20 ,3 1 按第按第3行展开行展开 1. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ; (2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. . 2. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. . 三、小结三、小结 习题一
17、习题一 1. 填空题填空题 2 n 20- n -n DD0 n D n 2 n 中不为 的元素少于n=n个， 而个不同行不同列元素乘积的代数和， 00 213 1 1 2 2 3 3 1230 213 111 111111 100 5 000 100 000 100 000 111 aa aaa a a a a a a a a aa aaa 1 1111 0-200 2.2,3,4, D=-8 00-20 000-2 i rri提示： 1234123410234 11-3 2341111-3011-3 (2) =10 1-31 341211-3101-31 -311 41231-3110-3
18、11 -11-311-3 =10 -1-31 =-10 0-44 =160 -111004 12 2-1 3=-13 23 54 4 x0D=0 ,0 1111111111 1+x111 01+x111-1x000 11-x11 = = 011-x11-10-x00 111+y1 0111+y1-100y0 1111-y 01111-y-1000-y 1111 1+111111111 xxyy x0000 x000 0 = = =x0-x0000-x00 0 00y0000y0 0 000-y0000-y 0 yx y ， 有一个为 时，若均不为 ， 则 22 y 5 6 -13 0 按最后一
19、行展开 （ ） 第一列 倍分别加到后 列， 同法，所得行列式后两列列成比例，值为 2, 3 (1) 1,3,. j rrjn提示 3 2 按第一列展开 1212 111 1211 222 1222 12 n 12 i i=1 i 11 22 1.1. . 0.-10.0 . 3 4= 0.-10.0 . . 0.-100. . a 1+ x 00.0 00.0 . 000. nn n n nnn nnn n i aaaaaa xaa xaaxa axa axaxa aax aaxxa aaa a xa xa n i i=11 i a 1+ x n ii i i nn xa a xa P16 2
20、. (1)P16 2. (1)证明证明 阶行列式阶行列式 n 100 10 01 00 n D ; ,)1( , 11 n n nn 证证 用数学归纳法，对行列式的阶数用归纳法用数学归纳法，对行列式的阶数用归纳法 等式成立；等式成立；, 1)1( n 时时时等式成立；则当时等式成立；则当1)2( knkn 100 10 01 00 1 k D k D)( 100 10 00 001 )( 1 )( kk DD 按第一行展开按第一行展开 由归纳假设知由归纳假设知 kkkk k D 11 1 )( , 22 kk 也成立，所以也成立，所以即等式对即等式对1 kn ; 11 nn n D时，时，当当
21、 ;)1( n n nD 时，同理可得时，同理可得当当 k+1 k+11 (2)cos D D=2cos2coscoscos1 cos1cos1cos1 cos1 n kk Dn DDkk kkk k 提示： 归纳法证： n=1时显然成立。 若n=k时成立， n=k+1 时， 将按最后一行展开： n n n aaa aaa aaa 21 21 21 )1( 例例1 计算行列式的值计算行列式的值 xy yx yx x yx yx 0000 0000 0000 00000 0000 0000 )2( acc bac bba )3( 第一节第一节 矩阵的概念矩阵的概念 一、一、 矩阵概念的引入矩阵概
22、念的引入 二、矩阵的定义二、矩阵的定义 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 1. 线性方程组线性方程组 的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n ,ibi21 常数项常数项 一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入 对线性方程组的对线性方程组的 研究可转化为对研究可转化为对 这张表的研究这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四 城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了
23、四城市间的如图所示表示了四城市间的 航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班, 则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站发站 到站到站 其中其中 表示有航班表示有航班. 为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上 0,就得到一个数表就得到一个数表: 11 11 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况. 二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数 排成的排成的 行行 列的数表列的数表 nm
24、 mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为称为 阶矩阵阶矩阵, ,简称简称 矩阵，矩阵， nm nm 记作记作 mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 也简记为也简记为 ; aAA nm ijnm .,简称为元简称为元的元素的元素个数称为个数称为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵. 简记为简记为列的元素列的元素行第行第的第的第称为矩阵称为矩阵其中其中,jiAaij ; Aa ijij 例
25、如例如 3469 5301 是一个是一个 实矩阵实矩阵, 42 222 222 2613i 是一个是一个 复矩阵复矩阵, 33 4 2 1 是一个是一个 矩阵矩阵, 13 9532 是一个是一个 矩阵矩阵, 41 4 是一个是一个 矩阵矩阵. 11 nnnn n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211主对角线主对角线 副对角线副对角线 例如例如 222 222 2613i 是一个是一个3 阶方阵阶方阵. 几种特殊矩阵几种特殊矩阵 (1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶 nn A . n A方阵方阵. .也可记作也可记作 , 2 1
26、n a a a B 只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量). ). 称为称为对角对角 矩阵矩阵( (或或对角阵对角阵）. n 00 00 00 2 1 （3） 形如形如 的方阵的方阵, , 不全为不全为0 (2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 , 21n aaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ). 记作记作 (4)方阵方阵 100 010 001 n II 称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. . 全为全为1 称为称为上三角矩阵上三角矩阵. nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 （5） 形如形如 的方
27、阵的方阵, , nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 称为称为下三角矩阵下三角矩阵. （6）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵， 零零 矩阵记作矩阵记作 或或 . . nm nm o o 注意注意 .0000 0000 0000 0000 0000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如例如 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同同 型矩阵型矩阵. 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵, 并且对应元素相等，即并且对应元素相等，
28、即 nm ij nm ij bBaA 与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmiba ijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作 .BA 例如例如 93 48 314 73 65 21 与与 为为同型矩阵同型矩阵. 例例2 设设 , 1 31 , 213 321 zy x BA .,zyxBA求求已知已知 解解 ,BA . 2, 3, 2 zyx 三、小结三、小结 (1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 (2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵; 单位矩阵单位矩阵; ; 对角矩阵对角矩阵
29、; 零矩阵零矩阵. 第二节、矩阵的运算第二节、矩阵的运算 一、矩阵的加法一、矩阵的加法 三、矩阵与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法 二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法 四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算行加法运算. 例如例如 123 456 981 863 091 5312 182633 405961 9583112 . 986 447 41113 1 1、定义、定义 . 11 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa AA 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 规定为规定为或或的
30、乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA 、定义、定义 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa BA 2211 2222222121 1112121111 一、矩阵的加法一、矩阵的加法 设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为 nm ,bB,aA ijij ABBA mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 1时，时，特别特别 .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A , nm ij a 两矩阵的减法两矩阵的减法 nm ijij baBABA 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;
31、1ABBA .2CBACBA ., 03BABAAA 数乘矩阵的运算规律数乘矩阵的运算规律 ;1AA ;2AAA .3BABA （设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、 矩阵相加与数乘矩阵相加与数乘 矩阵合起来矩阵合起来, , 统称为矩阵的统称为矩阵的 线性运算线性运算. . .04AA .14AA 121012 , 032121 AB 例如例如 242036 23 064363 AB 218 3127 、定义、定义 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 那么规定那么规定 ，设矩阵设矩阵 pn ij nm ij bBaA , 矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积是一个的乘积是一个
32、矩阵矩阵 pm , pmij cC 其中其中 n k kjiknjinjijiij babababac 1 2211 , 2 , 1;, 2 , 1pjmi 并把此乘积记作并把此乘积记作 .ABC 注意注意 (1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数时，两个矩阵才能相乘阵的行数时，两个矩阵才能相乘. (2)相乘所得矩阵的行数等于前一矩阵的行相乘所得矩阵的行数等于前一矩阵的行 数，列数等于后一矩阵的行数时数，列数等于后一矩阵的行数时. . 定义可简记为定义可简记为 pmpnnm 例例 2222 63 42 21 42 C 22 16 32 816 设设
33、4150 0311 2101 A 121 113 121 430 B 例例2 2 故故 121 113 121 430 4150 0311 2101 ABC . 解解 , 43 ij aA , 34 ij bB . 33 ij cABC 5 67 1026 2 1710 106 861 985 123 321 例例 1 2 3 321 132231 .10 不存在不存在. 例例3 3 计算矩阵乘积：计算矩阵乘积： 21 3 2 2 解解 21 3 2 2 12 22 12 22 13 23 . 63 42 42 、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;
34、CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AIAAI （5）若）若A是是n阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的k次幂，即次幂，即 k A 个个k k AAAA , kmkm AAA mk k m AA . , 为正整数为正整数km ，并且，并且 , 01 11 A, 31 12 B ,)(ACABCBA 例如例如 , 12 01 C 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A B 00 00 00 例例 2.2.4 333231 232221 131211 00 00 00 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 aaa
35、aaa aaa ，即有，即有时，时，当当IB 1 .AAIIA 00 00 00 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 注意注意 矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即： ,BAAB .BAAB kk k 例例4 设设 11 11 A 11 11 B 则则 , 00 00 AB, 22 22 BA .BAAB 故故 例例5 设设 22 11 A 13 13 B 则则 , 00 00 AB, 00 00 AC .CB 但但 21 21 C 说明：说明： 矩阵消去律不成立矩阵消去律不成立 解解 00 10 01 00 10 01 2 A . 00 20 12 2 2 2 . 00 10 01 2 AA求求设设 例例6 6 p22 例例 2.2.5 , 2.2.6 3、矩阵的行列式运算、矩阵的行列式运算 (例例2.2.7) ,detAAAn或或的行列式记为的行列式记为阶矩阵阶矩阵 故有故有 ,BAAB 于它们的于它们的阶矩阵乘积的行列式等阶矩阵乘积的行列式等即
