1、 - 1 - 大题考法专训（六）大题考法专训（六） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 A 级级中档题保分练中档题保分练 1已知椭圆已知椭圆 C： x2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率为的离心率为 3 2 ，上顶点，上顶点 M 到直线到直线 3xy40 的距的距 离为离为 3. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设直线设直线 l 过点过点(4，2)，且与椭圆，且与椭圆 C 相交于相交于 A，B 两点，两点，l 不经过点不经过点 M，证明：直线，证明：直线 MA 的斜率与直线的斜率与直线 MB 的斜率之和为定值的斜率之和为定值 解：解：(
2、1)由题意可得，由题意可得， ec a 3 2 ， |b4| 2 3， a2b2c2， 解得解得 a4， b2， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为x 2 16 y 2 4 1. (2)证明：易知直线证明：易知直线 l 的斜率恒小于的斜率恒小于 0，设直线，设直线 l 的方程为的方程为 y2k(x4)，k0 且且 k1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立联立 y2k x4 ， x2 16 y 2 4 1， 得得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0， 则则 x1x216k 2k 1 14k2 ，x1x264k k 1 14k2 ， 因为因为 kMAkMBy1 2 x1
3、 y2 2 x2 kx1 4k4 x2 kx24k4 x1 x1x2 ， 所以所以 kMAkMB2k(4k4)x1 x2 x1x2 2k4(k1)16k 2k 1 64k k1 2k(2k1)1(为为 定值定值) 2(2019 济南模拟济南模拟)已知抛物线已知抛物线 C1：y22px(p0)与椭圆与椭圆 C2：x 2 4 y 2 3 1 有一个相同的焦有一个相同的焦 点，过点点，过点 A(2,0)且与且与 x 轴不垂直的直线轴不垂直的直线 l 与抛物线与抛物线 C1交于交于 P，Q 两点，两点，P 关于关于 x 轴的对称点为轴的对称点为 M. (1)求抛物线求抛物线 C1的方程；的方程； (2
4、)试问直线试问直线 MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由 - 2 - 解：解：(1)由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，坐标为(1,0)， 所以所以 p2， 所以抛物线所以抛物线 C1的方程为的方程为 y24x. (2)设设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)， 因为点因为点 P 与点与点 M 关于关于 x 轴对称，所以轴对称，所以 y3y1， 设直线设直线 PQ 的方程为的方程为 xty2， 代入代入 y24x 得，得，y24ty80，所以，所以
5、y1y28， 设直线设直线 MQ 的方程为的方程为 xmyn， 代入代入 y24x 得，得，y24my4n0，所以，所以 y2y34n， 因为因为 y3y1，所以，所以 y2(y1)y1y24n8，即，即 n2， 所以直线所以直线 MQ 的方程为的方程为 xmy2，必过定点，必过定点(2,0) 3已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，其离心率为，其离心率为1 2，短轴长 ，短轴长 为为 2 3. (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)过定点过定点 M(0,2)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C 交于交于
6、 G，H 两点两点(G 在在 M，H 之间之间)，设直线，设直线 l 的斜率的斜率 k 0，在，在 x 轴上是否存在点轴上是否存在点 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，为邻边的平行四边形为菱形？如果存在， 求出求出 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由的取值范围；如果不存在，请说明理由 解：解：(1)由已知，得由已知，得 c a 1 2， ， b 3， c2a2b2， 解得解得 a2， b 3， c1， 所以椭圆所以椭圆 C 的标准方程为的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线设直线 l 的方程为的方程为 ykx2(k0)， 联立联立
7、 ykx2， x2 4 y 2 3 1 消去消去 y 并整理得，并整理得，(34k2)x216kx40，由，由 0，解得，解得 k1 2. 设设 G(x1，y1)，H(x2，y2)， 则则 y1kx12，y2kx22，x1x2 16k 4k23. 假设存在点假设存在点 P(m,0)，使得以，使得以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形，则为邻边的平行四边形为菱形，则 PG PH (x1x22m，k(x1x2)4)， GH (x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)， (PG PH ) GH 0， 即即(1k2)(x1x2)4k2m0， - 3 - 所以所以(1k2) 16k 4k23 4
8、k2m0， 解得解得 m 2k 4k23 2 4k3 k . 因为因为 k1 2，所以 ，所以 3 6 m0，当且仅当，当且仅当3 k 4k 时等号成立，故存在满足题意的点时等号成立，故存在满足题意的点 P，且，且 m 的取值范围是的取值范围是 3 6 ，0 . B 级级拔高题满分练拔高题满分练 1(2019 开封模拟开封模拟)已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶，上顶 点为点为 M，MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为为等腰直角三角形，且其面积为 1. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)过点过点
9、M 分别作直线分别作直线 MA，MB 交椭圆交椭圆 C 于于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为两点，设这两条直线的斜率分别为 k1， k2，且，且 k1k22，证明：直线，证明：直线 AB 过定点过定点 解：解：(1)由题意得由题意得1 2a 2 1，a 2， 又又 bc，a2b2c2，b1， 椭圆椭圆 C 的方程为的方程为x 2 2 y21. (2)证明：由证明：由(1)得得 M(0,1)当直线当直线 AB 的斜率不存在时，设的斜率不存在时，设 A(x0，y0)，则，则 B(x0，y0)，由，由 k1k22 得得y0 1 x0 y01 x0 2，得，得 x01. 当直线当直线 AB 的
10、斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 AB 的方程为的方程为 ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由由 x2 2 y21， ykxm， 可得可得(12k2)x24kmx2m220， 则则 8(2k2m21)0， x1x2 4km 12k2， ，x1 x22m 2 2 12k2. 由由 k1k22，得，得y1 1 x1 y2 1 x2 2， 即即 kx2 m1 x1 kx1m1 x2 x1x2 2， (22k)x1x2(m1)(x1x2)， (22k)(2m22)(m1)(4km)， 由由 m1，得，得(1k)(m1)km，mk1， - 4 - 即即 ykxmkxk1k(x1
11、)1， 故直线故直线 AB 过定点过定点(1，1)， 经检验，当经检验，当 k0 或或 k2 时，直线时，直线 AB 与椭圆与椭圆 C 有两个交点，满足题意有两个交点，满足题意 综上所述，直线综上所述，直线 AB 过定点过定点(1，1) 2设椭圆设椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率为的离心率为 2 2 ，圆，圆 O：x2y22 与与 x 轴正半轴交于点轴正半轴交于点 A，圆，圆 O 在点在点 A 处的切线被椭圆处的切线被椭圆 C 截得的弦长为截得的弦长为 2 2. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设圆设圆 O 上任意一点上任意一点 P 处的切线交椭圆处的
12、切线交椭圆 C 于于 M， N 两点， 试判断两点， 试判断|PM| |PN|是否为定值？是否为定值？ 若是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由求出该定值；若不是定值，请说明理由 解：解：(1)设椭圆的半焦距为设椭圆的半焦距为 c， 由椭圆的离心率为由椭圆的离心率为 2 2 ，知，知 bc，a 2b， 则椭圆则椭圆 C 的的方程为的的方程为 x2 2b2 y 2 b2 1. 易求得易求得 A( 2，0)，则点，则点( 2， 2)在椭圆上，在椭圆上， 所以所以 2 2b2 2 b2 1， 解得解得 a26， b23， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为x 2 6 y 2 3 1
13、. (2)当过点当过点 P 且与圆且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 x 2，由，由(1)知，知， M( 2， 2)，N( 2， 2)，OM ( 2， 2)，ON ( 2， 2)，OM ON 0，OMON. 当过点当过点 P 且与圆且与圆 O 相切的切线斜率存在时， 可设切线方程为相切的切线斜率存在时， 可设切线方程为 ykxm， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则则 |m| k21 2，即，即 m22(k21) 联立联立 ykxm， x2 6 y 2 3 1， 消去消去y， 得， 得(12k2)x24kmx2m260， 则
14、， 则0， x1x2 4km 2k21， ， x1x22m 2 6 2k21， ， OM (x1，y1)，ON (x2，y2)， OM ON x1x2y1y2 x1x2(kx1m)(kx2m) (1k2)x1x2km(x1x2)m2 - 5 - (1k2) 2m26 2k21 km 4km 2k21 m2 1 k2 2m26 4k2m2m2 2k21 2k21 3m 2 6k26 2k21 3 2k 2 2 6k26 2k21 0， OMON. 综上所述，圆综上所述，圆 O 上任意一点上任意一点 P 处的切线交椭圆处的切线交椭圆 C 于点于点 M，N，都有，都有 OMON， 在在 RtOMN
15、中，由中，由OMPNOP，可得，可得|PM| |PN|OP|22 为定值为定值 3已知椭圆已知椭圆 C： x2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，点，点 A 1， 2 2 在椭圆在椭圆 C 上上 (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)是否存在斜率为是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点有两个不同交点 M，N 时，能在直线时，能在直线 y5 3上找到一点 上找到一点 P，在椭圆，在椭圆 C 上找到一点上找到一点 Q，满足，满足 PM NQ ？若存在，求出直线的方
16、？若存在，求出直线的方 程；若不存在，说明理由程；若不存在，说明理由 解：解：(1)设椭圆设椭圆 C 的焦距为的焦距为 2c，则，则 c1， 因为因为 A 1， 2 2 在椭圆在椭圆 C 上，上， 所以所以 2a|AF1|AF2|2 2， 因此因此 a 2，b2a2c21， 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为x 2 2 y21. (2)不存在满足条件的直线，证明如下：不存在满足条件的直线，证明如下： 假设存在斜率为假设存在斜率为 2 的直线，满足条件，则设直线的方程为的直线，满足条件，则设直线的方程为 y2xt，设，设 M(x1，y1)，N(x2， y2)，P x3，5 3 ，Q(x4，y4)
17、，MN 的中点为的中点为 D(x0，y0)， 由由 y2xt， x2 2 y21 消去消去 x，得，得 9y22tyt280， 所以所以 y1y22t 9，且 ，且 4t236(t28)0， 故故 y0y1 y2 2 t 9，且 ，且3t3. 由由 PM NQ ，得，得 x1x3，y15 3 (x4x2，y4y2)， - 6 - 所以有所以有 y15 3 y4y2，y4y1y25 3 2 9t 5 3. (也可由也可由 PM NQ ，知四边形，知四边形 PMQN 为平行四边形，而为平行四边形，而 D 为线段为线段 MN 的中点，因的中点，因 此此 D 也为线段也为线段 PQ 的中点，所以的中点，所以 y0 5 3 y4 2 t 9，可得 ，可得 y42t 15 9 ) 又又3t3，所以，所以7 3 y41， 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1,1矛盾矛盾 因此不存在满足条件的直线因此不存在满足条件的直线
