1、固体物理Solid State Physics第一章 晶体结构和X射线衍射1.1 晶体的特征固体 晶 态：有固定熔点，金属、岩盐、石英、金刚石 非晶态：没有固定熔点，橡胶、塑料、玻璃、腊晶态：（分子排列在微米量级范围是有序的。）非晶态：无规则的，或称其为的。单晶体 外形上晶面有规则配置，反映内部分子（或原子）是排列有序的。解理性：沿着某些确定方位的晶面劈裂。晶 面：晶体中具体有某个方位的面。晶 棱：晶面之间的交线。晶 带：晶面的交线互相平行，这些晶 面的组合称为晶带带 轴：互相平行的晶棱的共同方向，称为该晶带的带轴。：1.2 空间点阵(SPACE LATTICE)阿羽衣“坚实的基石”重复规则排
2、列而成 晶体学中的有理指数定律 密勒指数布喇菲的空间点阵学说：晶体的内部结构可以概括为一些相同的点子在空间有规律地作周期性的无限分布。点 阵：这些点子的总体称为点阵。空间点阵学说含义：(1)点子：代表着结构中相同的位置，叫做结点。特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境(surrounding)同一种原子结点是原子本身的位置。数种原子结点是基元的重心。位置是相同的。(2)周期性基元沿空间三个不同的方向，各按一定的距离周期性地平移，每一平移的距离称为周期。(3)晶格通过点阵中的结点作许多平行的直线族和平行的晶面族，点阵就成为一些网格 晶格 1.3 晶格的周期性，基矢定义：布喇菲格子：基
3、元只有一个原子的晶格。复式格子：基元含有2种或2种以上的原子。2 1/2=1 个原子 原胞(x+na)=(x)a A 原子组成一个子晶格 原胞 B 原子组成一个子晶格 原胞有两种画法：每个原胞中含有一个A原子，一个B原子。原子周围的情况并不相同，例如：有2种不同情况。a 原胞 每个原胞含有2个原子：一个A1，一个A2，基元是由A1,A2原子组成。原胞 最小的重复单元固体物理学原胞：对于布喇菲格子，只含有一个原子。A1 A2复式格子：原胞中原子的数目=每个基元中原子数目三维情况：为同时反映对称性，结晶学中常取最小重复单元的几倍作为原胞。因此结点不仅在顶角还可以在面心、体心上。固体物理学：只选取反
4、映晶格周期性的原胞。三维格子的重复单元是平行六面体。晶格的周期性：r 为重复单元中任意一处的位矢。(r)=(r+l1a1+l2a2+l3a3)l1,l2 ,l3 整数 a1，a2，a3 重复单元的边长矢量，周期结晶学晶体学中的布喇菲原胞，按对称特点来选取。基矢在晶轴方向，固体物理学中选取的原胞，不是任意重复单元，基矢方向和晶轴方向还是有一定的相对取向。结晶学中的立方晶系,布喇菲原胞简立方()体心立方()面心立方()简立方：只含有81/8=1个原子原胞的基矢：a1=ia a2=ja a3=kaa体心立方(Body Centered Cubic)含有81/8+1=2个原子固体物理学原胞只要求含有1
5、个原子。a1=(a/2)i+(a/2)j+(a/2)k =a/2(i+j+k)同理：a2=a/2(ij+k)a3=a/2(i+jk)体心立方固体物理学原胞体积的计算:2212311111(22)44111ijkaava aaaakj3333()(22)8()()4(11)42avijkkjaijkkjaa 体心立方结构，固体物理学原胞的体积是晶体学原胞的体积的1/2.面心立方(Face Centered Cubic)含有81/8+61/2=4个原子a1=a/2(j+k)a2=a/2(k+i)a3=a/2(i+j)固体物理学原胞体积：V=a1a2a3原胞中只含有一个原子，体积是晶体学原胞的四分之
6、一。二、立方晶系中的复式格子(1)异种原子两个面心立方子晶格,各自的原胞具有相同的基矢,只不过有互相的位移。2331101()()484110ijkaaaVajkijk 原胞中只含有一个原子.可以看出，Na+FCC结构固体物理学原胞：角上放置Na+内部包含一个Cl-原胞中包含一个Na+,Cl-.原子（离子）个数：1111:864,:864,8282:11NaClNaCl 取比值，：2、氯化铯结构Cl-和Cs+各自组成简立方结构的子晶格。氯化铯结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方空间对角线位移1/2的长度套构而成。固体物理学原胞是简立方，每个原胞中包含两个原子。(2)同种原子固体物理学的观点：说
7、结构，取原胞都是对布喇菲格子而言。（考虑对称性）金刚石结构面心立方原胞内还有4个原子，这4个原子分别位于空间对角线的1/4处 碳四面体结构 碳原子杂化示意图察看C 一种原子，二个位置。金刚石结构是个复式格子，由两个面心立方子晶格彼此沿其空间对角线位移1/4的长度套构而成的。半导体材料：锗Ge,硅Si.与金刚石结构相同。闪锌矿结构，硫化锌ZnS硫和锌分别组成面心立方的子晶格。而沿空间对角线位移1/4的长度套构而成。化合物半导体：锑化铟，砷化镓，磷化钼 钙钛矿结构钛酸钙 CaTiO3介电晶体：钛酸钡 BaTiO3 铌酸锂 PbZrO3 锆酸铅 LiNbO3 钽酸锂 LiTaO3铁电晶体高于120
8、C，铁点性消失020 C钛酸钡的晶体学原胞 钡在顶角 钛在体心 周围情况不同，三组氧(OI,OII,OIII)共有5个简立方格子套构而成，称为钙钛矿结构OI,OII,OIII连接成等边三角形氧八面体：每个原胞有8个这样的三角形面，围成八面体Ti在八面体的中心，Ba在八面体的间隙里。钙钛矿型化学式：ABO3铁氧体（具有亚铁磁性）也具有氧八面体，但非钙钛矿型。-钨结构原胞含 1+81/8=2个B 121/2=6个AB原子：在顶角及体心A原子：在每个面2个，在面中线三维相对面上A原子排列互相垂直。6个A原子周围互不相同。组成6个简立方。体心B原子组成一个简立方。-钨结构复式格子，由8个简立方格子套构
9、而成。返回1.5倒格子 形象化的说明:晶格周期性 法线方向:标志一组晶面的特征 密勒指数:已知晶格基矢和法线取向,密勒指数可求.例如:n=001 a,b,c为单位长,最靠近原点的晶面的截距:a,b,1c;面指数:(001),面间距:d=cn=001abc 假设:基矢是未知的，只有一些周期性分布的点子同晶面族一一对应,可以求出基矢.In X-ray photo,Points correspond with the crystal planes.倒格子:类似上面所设想的那些点子所组成的格子.1.倒格子与晶格的几何关系:晶面ABC,法线ON，法线上一点P，OP=令 d为ABC面 面间距，把P平移得到
10、一个 新的点阵 AOBCNp2d电子衍射图 倒格子：这些新的格子成为原来晶格的倒格子 正格子：原来的晶格（真实三维空间）正倒格子基矢的关系：正格子的基矢：a1，a2,a3 正格子坐标面：a1a2,a1a3,a2a3 面间距：d3,d2,d1 OP面a1a2，OP上截取一点OP=b3b3a2Oa1a3Pb1b2（a1a2面）b3 d3（a2a3面）b1 d1（a1a3面）b2 d2b1,b2,b3为倒格子基矢 正格子原胞体积：=a1a2a3 =a3a1a2 =a2a3a1 =d3(a1a2sin)=d3 a1a2 正格子间距:d3,d2,d1 因为d3=/a1a2 定义倒格矢:b3=2 a1a2
11、/b2=2 a3a1/b1=2 a2a3/物理意义:晶格的一组晶面转化为倒格子中的一 个点.用来描述晶体衍射问题.正格子和倒格子的关系:除 2 因子之外,互为倒数.倒格子线度量纲:1/米 2.倒格子基矢:bj(j=1,2,3)nnnjj 正格子基矢:ai(i=1,2,3)正格子基矢和倒格子基矢之间关系:aibj=2 ij=2 (i=j)=0(ij)K空间:由倒格子组成的空间,也叫状态空间.坐标(位置)空间:由正格子组成的空间.倒格子是(晶体结构)晶格在状态空间的化身.3.倒格子与正格子间的关系:(1)除 因子外,体积互为倒数.为倒格子体积.3)2(=b1b2b3=a2a3a3a1 a1a2 应
12、用数学公式:ABC=(AC)B(AB)C a3a1 a1a2=a3a1a2a3a1a1 a2 =a1 垂直a1,点乘标 量积为0.=a2a3 a1 =(2)证明正格子中一族晶面(h1 h2 h3)和倒格矢 Kh=h1 b1+h2 b2+h3 b3正交.33)2(33)2(33)2(晶面族(h1 h2 h3)最靠近原点O的晶面 ABC在基矢a1,a2,a3上的截距:a1/h1,a2/h2,a3/h3 矢量:AC=OCOA =a3/h3a1/h1 AB=OBOA =a2/h2a1/h1KhAC=(h1 b1+h2 b2+h3 b3)同理:KhAB=0,得证!(a3/h3a1/h1)=22=0 (3
13、)倒格矢Kh的长度正比于晶面族(h1 h2 h3)面间距的倒数.ABC面面间距等于原点到ABC面的距离.这一组面的法线方向为Kh.晶面的面间距d h1 h2 h3=截距在法线方向上的投影 所以，倒格矢Kh的长度为：1 2 31122331111112233()2h h hh bh bh baahdhhh bh bh bhhkkk1232hhhhkd 晶面族(h1 h2 h3)中离原点的距离为 的晶面方程:x 为该晶面上任意一点的位矢,必为一个正格矢,一个倒格矢.1 2 3h h hd1 23(0,1,2)hh h hhkxdk 112233lRl al al a2(0,1,2)lhR k 布里
14、渊区 从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，所围成的具有最小体积的区域，称为第一布里渊区。按照上述方法同样可以作出第二、第三、布里渊区。.二维正方格子正格子原胞基矢j ai aaa2,1倒格子原胞基矢：倒格子空间离原点最近的倒格点有四个，相应的倒格子矢为，它们的垂直平分线的方程式是 这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区，也称第一布里渊区。jaiabb22,212,2,1,1bbbbakakyx及 继续找次近邻倒格点，相应倒格矢的垂直平分线围成区域，构成第二布里渊区。用同样的方法作出更高一级的布里渊区。.体心立方格子)(23)(22)(21kji
15、akjiakjiaaaa)(23)(22)(21jiakiakjabbb 我们知道体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：)()()(2321213132321knnjnninnannnKbbbn倒格矢),(2213132nnnnnna).1,1,0(2),1,1,0(2),1,1,0(2),1,1,0(2),1,0,1(2),1,0,1(2),1,0,1(2),1,0,1(2),0,1,1(2),0,1,1(2),0,1,1(2),0,1,1(2aaaaaaaaaaaa 相应的倒格矢长度 这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：其体积正好等于倒格子
16、原胞的体积大小22),(321aKnnn 3.面心立方格子)(23)(22)(21jiakiakjaaaa)(23)(22)(21kjiakjiakjiabbb)()()(2321321321321321knnnjnnninnnannnKbbbh倒格矢：面心立方的倒格子是体心立方 离原点最近的倒格点有八个：结晶学、布喇菲原胞晶格周期性+晶体对称性不一定是最小的重复单元一般包括几个最小的重复单元结点不仅在顶角上而且可以在体心、面心。晶体坐标系：原胞的基矢 沿对称轴，或对称面的法向，构成了晶体的坐标系。晶轴：基矢的晶向就是坐标轴的晶向，构成了晶体的坐标系。晶格常数：晶轴上的周期就是基矢的大小 称为
17、晶轴。（Crystal System and Bravais Lattice）七个晶系，14种布拉菲原胞晶系布拉菲点阵晶系布拉菲点阵三斜Triclinicabc，单斜 Monoclinicabc，=90正交abc，=90 简单三斜简单单斜底心单斜简单正交底心正交体心正交面心正交六方 Hexagonala1=a2a3c，=90，=120菱方 Rhombohedrala=b=c,=90 四方（正方）Tetragonala=bc,=90 立方 Cubica=b=c，=90 简单六方简单菱方简单四方体心四方简单立方体心立方面心立方简单三斜简单单斜底心单斜底心正交简单正交面心正交体心正交简单菱方简单六方
18、简单四方体心四方简单立方体心立方面心立方 1.8 密堆积 配位数 平衡位置,结合能最低的位置.粒子排列采取尽可能的紧密方式.配位数:一个粒子的周围最近邻的粒子数.描述紧密程度.小圆球.密堆积结构:六角密积:ABAB 六方密积：ABCABC 配位数为12，同一层与六个求相切，又和上下层的三个相切。晶体结构最大的配位数。配位数为8：体心，氯化铯型结构 配位数为6：氯化钠型结构 配位数为4：四面体结构 配位数为3：层状结构 配位数为2：链状结构（一）计算致密度（1）fcc结构 球的直径d,a22da42Ra24Ra非常重要！每个晶胞有 81/8+61/2=4个原子.(2)bcc结构 体心立方最近邻8
19、个,次近邻6个,33333442 24423340.746Raaa原子所占体积致密度晶胞体积体对角线设小球的半径为R,因此 每个晶胞中有:81/8+1=2个原子.(二)不同原子组成的复合结构,两球半径之比.(1)氯化铯结构大球的半径是R,大球的中心为立方体的顶角,43Ra33333443 32233340.688Raaa致密度小球位于立方体的中心,设大球的半径为R,立方体的边长:a=2R.体对角线为 ,(2)氯化纳型结构:小球 在中间,与前后左右上下的六个 大球相切,大小球恰好能相切.3a223rRa222 3(3 1)0.73rRRR rR NaCl 由右图可以得到:符合试验结果 根据基本粒子间相互作用为球对称的假设,钠离子和氯离子可以看作小球.不能看作小球时,配位数的概念仍适用.ABRr222()(2)2(21)210.414RrRRrRrRrR
