1、数学试题（第 1 页 共 19 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 绝密启用前 20192020 学年度第一学期福州市高三期末质量检测 数 学 （ 理 科 ） 试 题 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页满分 150 分. 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目
2、的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 设复数 1 i1i 2 z ,则z A5 B 10 2 C 5 2 D 5 2 4 2. 已知集合|02Ax xx 或 ， 2 |20Bx xx ，则 数学试题（第 2 页 共 19 页） AA
3、B BBA CAB DAB R 3. 执行如图所示的程序框图，若输入的, a b分别为4,2,则输出的 n A6 B5 C4 D3 4. 已知向量 (2, ),( ,2)ab,则“2 ”是“ /(2 )aab”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 5. 若 525 0125 (2)(2)(2)xaa xa xa x,则 0 a= A32 B2 C1 D32 6. 若实数, a b满足 2 01,aba 且 2 2 log,log,log, aaa mb nbpb则, ,m n p的 大小关系为 Ampn Bpnm Cnpm Dpmn 7. 若2cos21s
4、in2xx ，则tanx A1 B 1 3 C1或 1 3 D1或 1 3 或 3 8. 若, x y满足约束条件 31, 933, xy xy 则zxy的最小值为 A1 B3 C5 D6 9. 把函数 sincosf xxx图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再 把得到的图象向左平移 8 个单位长度，所得图象对应的函数为 g x，则 A 2cos2g xx B 3 2sin 2g xx 数学试题（第 3 页 共 19 页） C 15 2sin 21 g xx D 13 2sin 28 g xx 10. 已知四边形ABCD为正方形，GD 平面ABCD，四边形DGEA与四
5、边形DGFC也都 为正方形，连接BEFBEF,，点H为BF的中点，有下述四个结论： DEBF； EF与CH所成角为60； EC 平面DBF； BF与平面ACFE所成角为45 其中所有正确结论的编号是 A B C D 数学试题（第 4 页 共 19 页） 11. 已知双曲线 22 22 :1 xy E ab （0,0ab）的左、右焦点分别为 12 ,F F，若E上点A满 足 12 2AFAF， 且向量 12 ,AF AF夹角的取值范围为, 3 ， 则E的离心率取值范围 是 A3, 5 B7,3 C3,5 D7,9 12. 已知函数 2 1 ( )2, ( )f xxax g x x ，若存在点
6、1122 ,A xf xB xg x，使得直线 AB与两曲线 yf x和 yg x都相切，当实数a取最小值时， 12 xx A 3 2 2 B 3 3 2 2 C 3 2 D 3 3 2 4 数学试题（第 5 页 共 19 页） 绝密启用前 20192020 学年度第一学期福州市高三期末质量检测 数 学 （ 理 科 ） 试 题 第第卷卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13. 函数 ,0, ( ) e1,
7、0, x xx f x x 则 (2)1ff 14. 设抛物线 2 2ypx上的三个点 123 23 ,1, 32 AyByCy 到该抛物线的焦点距离分别 为 123 ,d dd若 123 ,d dd中的最大值为 3，则p的值为 15. 已知 n S为数列 n a前n项和，若 1 5 2 a ，且 1 22 nn aa ，则 21 S 16. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角 黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主 义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它 沿虚线折起来，
8、可以得到如图所示粽子形状的六面体， 则该六面体的体积为 ； 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为 数学试题（第 6 页 共 19 页） 数学试题（第 7 页 共 19 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17. （本小题满分 12 分） 在ABC中，1,7ACBC （
9、1）若150A，求cosB； （2）D为AB边上一点，且22BDADCD，求ABC的面积 18. （本小题满分 12 分） 等差数列 n a的公差为 2, 248 ,a a a分别等于等比数列 n b的第 2 项，第 3 项，第 4 项. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 1 2 2 1 1 n n n b a c a c a c ,求数列 n c的前 2020 项的和 19.（本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，F为线段BC上 的动点 （1）求证：平面AEF 平面P
10、BC （2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30 20.（本小题满分 12 分） 数学试题（第 8 页 共 19 页） 已知圆 22 : 4 3 xyO， 椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab ） 的短轴长等于圆O半径的6 倍，C的离心率为 2 2 （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于,A B两点，且与圆O相切，证明：AOB为直角三角形 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 cos1.f xxax （1）当 1 2 a 时，证明： 0f x ； （2）若 f x在R上有且只有一个零点，求a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分
11、请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 5, 2 1 3 2 xt yt （t为参数）以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos （1）求 C 的直角坐标方程； （2） 设点 M 的直角坐标为 5, 3， l 与曲线 C 的交点为,A B， 求 1
12、1 MAMB 的值 23.（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 数学试题（第 9 页 共 19 页） 已知函数 1 ( )21 2 f xxx的最小值为m （1）求m的值； （2）若, ,a b c为正实数，且abcm，证明： 222 1 3 abc 20192020 学年度第一学期福州市高三期末质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的
13、给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。除第 16 题外，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1B 2D 3C 4A 5D 6B 7C 8C 9A 10B 11B 12A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
14、把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 2 e2 143 15 8 3 16 2 6 ；8 6 729 数学试题（第 10 页 共 19 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要 求作答求作答 17 【命题意图】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积， 考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心
15、素养是逻辑推理、直观想象、数学运 算. 【解析】解法一： （1）在ABC中，由正弦定理及题设得 sinsin ACBC BA ，故 17 sinsin150B ， 3 分 解得 1 sin 2 7 B ， 4 分 又030B，所以 3 33 21 cos 142 7 B . 6 分 （2）设ADCDx，则2BDx 在ABC中，由余弦定理得， 222 2cosBCABACAB ACA， 即 2 7916 cosxxA ， 7 分 在等腰ACD中，有 1 1 2 cos 2 AC A ADx ， 8 分 联立，解得1x 或1x （舍去） 9 分 所以ACD为等边三角形，所以60A ， 11 分 所
16、以 113 3 sin3 1 sin60 224 ABC SABACA 12 分 解法二： （1）同解法一 6 分 （2）设ADx，则,2 ,CDx BDx 数学试题（第 11 页 共 19 页） 因为ADCBDC ， 所以BDCADCcoscos， 7 分 由余弦定理得， 得 222 22 4721 42 xxx xx ， 8 分 所以 2 1x ，解得1x 或1x （舍去） 9 分 所以ACD为等边三角形，所以60A ， 11 分 所以 113 3 sin3 1 sin60 224 ABC SABACA 12 分 18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和
17、,考查 学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素 养是逻辑推理与数学运算. 【解答】(1)依题意得: 2 32 4 bb b， 所以 2 111 (6)(2)(14)aaa ， 1 分 所以 22 1111 12361628,aaaa 解得 1 2.a 2 分 2 . n an 3 分 设等比数列 n b的公比为q，所以 34 22 8 2, 4 ba q ba 4 分 又 2 22 4,4 22 . nn n bab 5 分 (2)由（1）知，2 ,2 . n nn an b 因为 1112 121 2n nn nn cccc aaaa 数学试题（第
18、12 页 共 19 页） 当2n时, 112 121 2n n n ccc aaa 6 分 由得，2n n n c a ,即 1 2n n cn , 7 分 又当1n 时， 3 11 2 2cab不满足上式, 1 8,1, 2,2. nn n c nn 8 分 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 82 23 22020 2S 2342021 4 1 22 23 22020 2 9 分 设 23420202021 2020 1 22 23 22019 22020 2T ， 则 34520212022 2020 21 22 23 22019 22020 2T ， 由得： 2
19、3420212022 2020 22222020 2T 10 分 22020 2022 2 (12) 20202 12 2022 420192 11 分 所以 2022 2020 2019 24T, 所以 2020 S 2022 2020 42019 28T. 12 分 19.【命题意图】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面 角等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力和空间想象能力.考查的核心素养 是直观想象、逻辑推理与数学运算. 【解析】解法一： （1）因为PA底面ABCD，BC 平面ABCD， 所以PABC. 1 分 因为ABCD为正方形，所以ABBC
20、， 又因为PAABA，所以BC 平面PAB. 2 分 因为AE 平面PAB， 数学试题（第 13 页 共 19 页） 所以AEBC. 3 分 因为PAAB，E为线段PB的中点， 所以AEPB， 4 分 又因为PBBCB， 所以AE 平面.PBC 5 分 又因为AE 平面AEF， 所以平面AEF 平面PBC. 6 分 （2）因为PA底面ABCD，ABAD，以A为坐标原点，分别以,AB AD AP的方向为x 轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设正方形ABCD的边长为 2，则0,0,0 ,2,0,0 ,2,2,0 ,0,2,0 ,0,0,2 ,1 ,0,1ABCDPE，
21、 7 分 所以1,0,1 ,2,2, 2 ,0,2, 2 .AEPCPD 设点F的坐标为2, ,0 02 ,所以2, ,0 .AF 设 111 ,x y zn为平面AEF的法向量， 则 0, 0, AE AF n n 所以 11 11 0, 20, xz xy 取 1 2y ，则,2, n.8 分 设 222 ,x y zm为平面PCD的法向量， 则 0, 0, PC PD m m 所以 222 22 0, 0, xyz yz 取 2 1y ，则0,1,1m. 10 分 因为平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30， 数学试题（第 14 页 共 19 页） 所以 2 2 3 cos30 2
22、224 m n mn ， 11 分 解得1， 故当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30. 12 分 解法二： （1）因为PA底面ABCD，PA平面PAB， 所以平面PAB 底面ABCD 1 分 又平面PAB底面ABCDAB，BCAB，BC 平面ABCD， 所以BC 平面.PAB 2 分 因为AE 平面PAB，所以.AEBC 3 分 因为PAAB，E为线段PB的中点，所以.AEPB 4 分 因为PBBCB，所以AE 平面.PBC 5 分 又因为AE 平面AEF， 所以平面AEF 平面PBC 6 分 （2）同解法一 12 分 20. 【命题意图】本题考查直线和圆的相切，椭圆
23、的图象和性质，直线和椭圆的位置有关 系,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的 核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算. 【解析】【解析】 （1）因为圆O的半径为 2 3 3 ， 所以 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为 2 3 62 2 3 ， 1 分 所以22 2b ，解得2b 2 分 因为C的离心率为 2 2 ，所以 2 2 c a ， 3 分 又因为 222 acb，所以 22 2ac ， 数学试题（第 15 页 共 19 页） 联立 ，解得 2 4a ， 4 分 所以所求C的方程为 22 1. 42 xy 5 分 （2）证明
24、：证法一：当直线l斜率不存在时, 直线l的方程为 2 3 3 x 当 2 3 3 x 时， 2 3 2 32 32 3 (,), (,), 3333 AB 所以 44 0. 33 OA OB 6 分 当 2 3 3 x 时， 2 3 2 32 32 3 (,), (,), 3333 AB 所以 44 0 33 OA OB， 综上，.OAOB 所以AOB为直角三角形 7 分 当直线l斜率存在时,设其方程为 1122 , ( ,), (,),ykxm A x yB xy 直线l与圆相切, 2 2 3| , 3 1 m k 即 22 3440mk, 8 分 由 22 , 1 42 ykxm xy 得， 222 (1 2)4240kxkmxm, 所以 2 1212 22 424 ,. 1212 kmm xxx x kk 9 分 所以 1212 OA OBx xy y 1212 ()()x xkxm kxm 22 1 212 (1)()
