1、线性代数总复习线性代数总复习第一章第一章 行列式行列式二阶行列式的计算方法二阶行列式的计算方法.2112221122211211aaaaaaaa 第一节第一节 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式的计算方法三阶行列式的计算方法沙路法沙路法323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD nnnn 212)1(21)1(一些常用的行列式结果：一些常用的行列式结果：nnnnaaaaaa000222112111122nna aa nn
2、2121 kkkkmmmmbbbb*aaaaDMMMMMM111111110*1111mmmmaaaaMM.1111kkkkbbbbMM行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质1.1行列式的某一行（列）中所有元素的行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面公因子可以提到行列式符号的外面 性质性质1.2式为零。式为零。行列式的某一行（列）中的所有元素都行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数乘以同一数 k，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.如果行列式中有一行如果行列式中有一行(列列)为零，那么行列为零，那么行列第二节第二节 行列式的性质行
3、列式的性质对换行列式的两行（列）对换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.性质性质1.3则此行列式为零则此行列式为零.如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，比例，那么行列式为零比例，那么行列式为零 性质性质1.4如果行列式中有两行（列）对应成如果行列式中有两行（列）对应成如果行列式的某一行（列）的元素都是如果行列式的某一行（列）的元素都是则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如第例如第i 行的元素都是两数之和行的元素都是两数之和 性质性质1.5两数之和，两数之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaDMMMMMM2122111121
4、1 nnnniniinaaabbbaaaDMMMMMM212111211 nnnniniinaaacccaaaMMMMMM212111211 同一数然后加到另一行同一数然后加到另一行(列列)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列列 把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元素乘以 性质性质1.6式不变式不变(倍加运算倍加运算)计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值从而算得行列式的值第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开数余子式的乘积，即数余子
5、式的乘积，即.ijijAaD 引理引理一个一个n阶行列式，如果第阶行列式，如果第i 行所有元素除行所有元素除ija外都为零，外都为零，ija与它的代与它的代那么这个行列式等于那么这个行列式等于式某行式某行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子行列式的某行行列式的某行(列列)的所有元素与其对应的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。式乘积之和等于零。式乘积之和等于零。行列行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要列式的计算化为低阶行列式计算的
6、重要工具工具.;,0,1jijiDAankkjki当当当当 ;,0,1jijiDAankjkik当当当当第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算一、矩阵的概念一、矩阵的概念 由由 个数个数nm njmiaij,2,1;,2,1 称为称为m行行n列列矩阵矩阵,简称简称 矩阵矩阵.nm 排成的排成的m行行n列的数表列的数表mnmmnnaaaaaaaaaMMM212222111211 Anm 其中其中 个数称为矩阵个数称为矩阵A的元素，数的元素，数ija称为矩阵称为矩阵A的第的第i 行第行第j 列的元素列的元素.1.矩阵的基本概念矩阵的基本概念 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与
7、矩阵相乘 方阵的幂方阵的幂 转置矩阵转置矩阵 对称及反对陈矩阵对称及反对陈矩阵 方阵的行列式方阵的行列式 1.矩阵的基本运算：矩阵的基本运算：二、矩阵的运算二、矩阵的运算2.矩阵的运算规律：矩阵的运算规律：;1ABBA 交换律：交换律：.2CBACBA 结合律：结合律：加法：加法：;:1AA 结合律结合律 :2 分配律分配律 .BABA ;AAA 数乘：数乘：;1BCACAB ,3ACABCBA ;CABAACB BABAAB 2（其中其中 为数）为数）;乘法：乘法：方阵的幂运算：方阵的幂运算：kllkAA)(（2）lklkAAA （1）注意：注意：.kkkBAAB ;1AATT ;2TTTB
8、ABA ;3TTAA .4TTTABAB 转置运算：转置运算：由由n阶方阵阶方阵A的元素的元素按原相对位置按原相对位置所构成所构成或或A.det A称为方阵称为方阵A的行列式，记作的行列式，记作的行列式，的行列式，3.方阵的行列式及其性质方阵的行列式及其性质AAT BAAB 方阵的行列式满足下列规律：方阵的行列式满足下列规律：（2）（3）（设（设A、B为为n阶方阵，阶方阵，为数）为数）（1）;AAn .列标列标三、逆矩阵三、逆矩阵1.基本概念基本概念对于对于n阶方阵阶方阵A，如果存在一个，如果存在一个n阶方阵阶方阵B使得使得EBAAB 则称则称B是是A的逆矩阵，并称矩阵的逆矩阵，并称矩阵A是可
9、逆矩阵或满秩是可逆矩阵或满秩.1 A矩阵，或非奇异矩阵矩阵，或非奇异矩阵,记为记为说明说明 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.11AA 写写成成不不能能将将 注意注意各元素各元素aij 的代数余子式的代数余子式Aij 构成如下构成如下n阶方阵阶方阵 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵.,)(nnijaA 设有设有n阶方阵阶方阵A由行列式由行列式 中中 *A注意注意:伴随阵伴随阵与原矩阵与原矩阵A元素位置的对应关系元素位置的对应关系.EAAAAA 设设A为为n阶方阵，阶方阵，A*为其伴随矩阵，则为其伴
10、随矩阵，则2.基本定理基本定理,11 AAA且且.的伴随阵的伴随阵是是其中其中AA 设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则,0 AA可逆可逆或或若若(EAB 设设A、B 都是都是n阶方阵，阶方阵，.1 AB则则,)EBA AA且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若,0,2 且且也可逆也可逆则则为同阶可逆矩阵为同阶可逆矩阵若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且也可逆也可逆则则可逆可逆若若3.可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 .,4AAAAT 且且也可逆也可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .,511 AAA则有则有可逆可逆若若 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1
11、A(1)利用定义利用定义（一般适用于证明题一般适用于证明题）(3)待定系数法待定系数法(4)初等变换法初等变换法:步骤如下步骤如下 ;21AAA 利用公式利用公式4.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法);()1(EAM构造矩阵构造矩阵1,)()2(AEEAEA对应部分即为对应部分即为右边右边后后单位矩阵单位矩阵化为化为将将施行初等行变换施行初等行变换对对M.21tAAAA tAOAOAA21设方阵设方阵分块对角矩阵的性质分块对角矩阵的性质则则 1.可可逆逆，且且即即矩矩阵阵则则如如果果AAtiAi,0,2,10 .21 tAAAAoo1 1 1 1 2.ktkkkAOAOAA21.3 四、分块矩
12、阵四、分块矩阵 nn 0000002211特殊地，如果特殊地，如果 是对角矩阵是对角矩阵当且仅当当且仅当nn ,2211都不为零时，都不为零时，是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且 11221111000000nn knnkkk 0000002211则则矩阵的初等变换包括矩阵的初等变换包括3 3种：对换变换、数乘变换种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换且其逆变换是同一类型的初等变换.列标列标五、矩阵的初等变换与初等矩阵五、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵nmrOOOE
13、 设设A是一个是一个 非零矩阵，那么非零矩阵，那么A一定一定nm 可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为如下标准形：简形，再进行初等列变换化为如下标准形：其中其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.注意：注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。初等变换不改变矩阵的可逆性。对于任何一个非零矩阵对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化都可以先进行初等行变换化为行阶梯形及行最简形为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形再进行初等列变换化为标准形.A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n阶初等矩阵
14、阶初等矩阵.nm 设设A是一个是一个 矩阵，对矩阵，对A 施行一次施行一次初等行变换，相当于在初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶阶初等矩阵；对初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在ECCACRRRts 2121121121)()(tsCCCERRRA1112111121 CCCRRRtsn阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是存在有限可逆的充要条件是存在有限.,2121llPPPAPPP 使得使得个初等矩阵个初等矩阵六、矩阵的秩六、矩阵的秩求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的利用定义：寻找矩阵中非零子式的最高阶数最高阶
15、数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩中非零行的行数就是矩阵的秩对于对于n阶方阵阶方阵A，如果，如果A的秩等于的秩等于n，则称则称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.;)(nAR;0 AA为可逆矩阵为可逆矩阵.对于对于n阶方阵阶方阵A，下列命题等价：，下列命题等价：(1)A为满秩矩阵；为满秩矩阵；(2)(3)(4)第三章 线性方程组()nAR=()nAR有无穷多解有无穷多解.b bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx ;有有唯唯一一解解bAx
16、BRAR(1)无解无解(2)并且通解中有并且通解中有n-r个自由未知量个自由未知量.其中其中 bABM()()BRAR=有解有解:非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的具体解法：的具体解法：(1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 以及以及n之间的大小关系，从而判断之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。BRAR、(2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形行初等行变换，将其化为行最简形，
17、并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。个解，需写出通解形式。bxAnn 0 A当当m=n 时，时，n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是系数矩阵有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式的行列式()nAR=()nAR齐次线性方程组齐次线性方程组 一定有解：一定有解：0 Ax(1)(2)并且通解中有并且通解中有n-r个自由未知量个自由未知量.0 Ax0 Ax只有零解只有零解有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的具体解法：的具体解法：(1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形
18、矩阵，对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 与与n之间的大小关系，从而判断方程组解之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。AR (2)继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。;0 A当当m=n 时，时，(1)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)只有零只有零解解(2)齐次线性方程组齐次线性
19、方程组(3.2)有非零解有非零解.0 A当当m n 时，时，即方程个数小于未知量个数时，即方程个数小于未知量个数时，齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)必有非零解必有非零解.)(nmAR 第四章第四章 向量组的线性向量组的线性 相关性相关性设设n维向量维向量,s21,skkk21sskkk2211如果存在一组数如果存在一组数使得使得s,21则称向量则称向量是向量组是向量组的线性组合或称向的线性组合或称向s,21可由向量组可由向量组线性表示线性表示.量量第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性表示一、线性表示s,21向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示 .BRAR的充
20、分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵sA,21的秩等的秩等Bs,21于矩阵于矩阵的秩，即的秩，即 说明：说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表判断某个向量是否可由某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决阵为阶梯形矩阵来解决.02211sskkk,s21对于对于n维向量组维向量组如果存在一组如果存在一组使使得得,skkk21不全为零的数不全为零的数02
21、1skkks,21s,21则称向量组则称向量组线性相关线性相关.如果上式只有当如果上式只有当时才成立时才成立,则称向量组则称向量组线性无关线性无关.二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关.)(sAR 条条件件是是线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组s ,21的秩小于的秩小于矩阵矩阵条件是它所构成的条件是它所构成的),(21s A ;)(sAR,s 即即向量个数向量个数必要必要向量组线性无关的充分向量组线性无关的充分 于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩性方程组是否有非零解，从而取决
22、于方程组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决矩阵为阶梯形矩阵来解决.nA,21的充分必要条件是它所构成的矩阵的充分必要条件是它所构成的矩阵;0A的行列式等于零，即的行列式等于零，即向量组线性无关的充分必向量组线性无关的充分必,ns n,21若若 则则n 个个n 维向量维向量线性相关线性相关.0A要条件是要条件是,ns 即向量组中向量个数大于向量维数时，即向量组中向量个数大于向量维数时，若若向量组必线性相关向量组必线性相关.,21sA 事实上，记事实上，记 ，因因为为snAR .,21线性相关线性相关故故s Bs,:
23、21 221sAs,:(1)向量组向量组线性相关线性相关(A)中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余线性相关，则向量线性相关，则向量的充分必要条件是：的充分必要条件是：sA,:21线性无关，而向量组线性无关，而向量组(2)设向量组设向量组向量线性表示向量线性表示.一定可由向一定可由向量组量组(A)线性表示，且表示式是惟一的线性表示，且表示式是惟一的.三、相关定理三、相关定理设有向量组设有向量组,s:21Arjjj,21而而是是(A)的部分向量组的部分向量组,如果如果(1)rjjj,21线性无关；线性无关；(2)对于向量组对于向量组(A)中的任何一个向量中的任何一个向量,k都有都有 k
24、jjjr,21线性相关，则称线性相关，则称 rjjj,21为向量为向量组组(A)的的一个一个极大线性无关组极大线性无关组，简称极大无关组，简称极大无关组.注意：注意：在条件在条件(1)下，下，(2)和下述条件等价：和下述条件等价：)(2对于向量组对于向量组(A)中的任何一个向量中的任何一个向量,k都可由都可由rjjj,21线性表出线性表出.第三节第三节 极大线性无关组极大线性无关组向量组向量组 s,:21A的极大性无关组的极大性无关组所含向量的个数，称为所含向量的个数，称为向量组的秩向量组的秩，记为，记为 s,21Rn阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A的行的行(列列)向
25、量组线性无关向量组线性无关.向量组秩的求法：向量组秩的求法：通过求向量组构成的矩阵的秩来通过求向量组构成的矩阵的秩来求该向量组的秩及其极大线性无关组求该向量组的秩及其极大线性无关组.第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4.1)如果如果n元齐次线性方程组（元齐次线性方程组（4.1）的系数）的系数矩阵矩阵A的秩的秩 ,nrAR则方程组（则方程组（4.1）的基础）的基础.rn(证明略证明略)解系一定存在，且基础解系含的解向量的个数为解系
26、一定存在，且基础解系含的解向量的个数为 齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 000010011111rn,rrrn,bbbbA（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为 最简形最简形A nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121MMMM（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR rn,bbr 0011111MM,bbr 0102122MM.bb,rn,rrn,rn 1001
27、MM 故故,12121111 rnrrnrrrbbbbbbxxMMMM得得为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.齐次线性方程组的通解为齐次线性方程组的通解为1122sn rk k k 二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（4.5）性质性质4.4导出组导出组(4.1)的解的解.为为(4.5)的解，则的解，则 21xx，设设21 是其是其 性质性质4.5的解，则的解，则 设设 为为(4.5)的解，的解，x x 是其导出组是其导出组(4.1)也是也是(4.
28、5)的解的解.设设*是非齐次方程组是非齐次方程组(4.5)的一个取定的解的一个取定的解(称为特解称为特解)，是其导出组（是其导出组（4.1）的通解，则方程组）的通解，则方程组(4.5)的通解为的通解为x*说明：说明：此定理表明此定理表明非齐次方程组的通解非齐次方程组的通解 =齐次方程组的通解齐次方程组的通解 +非齐次方程组的特解非齐次方程组的特解 第五章第五章特征值、特征向量特征值、特征向量及矩阵的对角化及矩阵的对角化 一、一、向量的内积向量的内积设有设有n 维向量维向量,nnyyyyxxxxMM2121 1122,Tnnx yx yx yx yxy 令令 .,yxyx的的与与为为向向量量称称
29、内积内积,22221nxxxxxx令令 .xnx或或的的维维向向量量为为称称长度长度范数范数.,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交 .,1 AAAEAAn TT正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即阶矩阵满足阶矩阵满足如果如果 向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交矩阵矩阵A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A 的列的列(行行)求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：;det.1EAA 的特征多项式的特征多项式计算计算 ;,0det.221的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEA n .xEA iii的特征向
30、量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值 ,0,.3二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量).(,212121证明略证明略线性无关线性无关则则为为所对应的特征向量依次所对应的特征向量依次与之与之的互异特征值为的互异特征值为设设mmmnnxxxxxxA 注意：注意：属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的矩阵特征值与特征向量的性质：矩阵特征值与特征向量的性质：;)1(221121nnnaaa .)2(21An 特征值的常用结果：特征值的常用结果：一般矩阵可对角化的判定方法及求解：一般矩阵可对角化的判定方法及求解
31、：的基础的基础求求0 xEAi1.;,21mA 值值的全部互不相等的特征的全部互不相等的特征求出求出它们的重数依次为它们的重数依次为.,21mkkk nkkkm 212.,iik 重特征值重特征值对每个对每个个线性无关的特征向个线性无关的特征向量，则矩阵量，则矩阵A可对角化，否则，不能对角化。可对角化，否则，不能对角化。解系，如果基础解系中含有解系，如果基础解系中含有ik3.当当A可对角化时，将所有基础解系中的特征向量可对角化时，将所有基础解系中的特征向量构成矩阵构成矩阵P,1便有注意 中对角元的排列PAP.应与应与P中列向量的排列次序相对应中列向量的排列次序相对应 次序次序三、相似矩阵与对角
32、化三、相似矩阵与对角化 的基础的基础求求0 xEAi1.;,21mA 值值的全部互不相等的特征的全部互不相等的特征求出求出它们的重数依次为它们的重数依次为.,21mkkk nkkkm 212.,iik 重特征值重特征值对每个对每个个线性无关的特征向量再把它们正交个线性无关的特征向量再把它们正交正交化、单位化正交化、单位化 解系，得解系，得 ikik得得个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量，因因nkkkm 21故总共可得故总共可得n个两两正交的个两两正交的单位特征向量单位特征向量 实对称阵对角化的方法实对称阵对角化的方法把这把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征
33、向量构成正交阵 3.P,中中对对角角元元的的排排列列注注意意便便有有.APPAPPT 1次序应与次序应与P中列向量的排列次序相对应中列向量的排列次序相对应 第六章第六章 二次型二次型重点掌握如何用正交变换法化二次型为标准型。重点掌握如何用正交变换法化二次型为标准型。典型题型典型题型课本上例题课本上例题P10 eg1.7,eg1.8P38 eg2.12,eg2.13P56 习题19,20P66 eg3.2,eg3.3,eg3.4P85 eg4.6，eg4.8P90 eg4.12,eg4.13P98 eg4.18P111 eg5.6，eg5.7P130 eg6.3(1)(2)P135 习题2(1)第五章第四节黑板上例题第五章第四节黑板上例题
