1、 2019 年广东省中考数学模拟试卷（二）年广东省中考数学模拟试卷（二） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30.0分）分） 1.7的相反数是( ) A. 7 B. 7 C. 1 7 D. 1 7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【详解】7 的相反数是7， 故选 B. 【点睛】此题考查相反数，解题关键在于掌握其定义. 2.在学习图形变化的简单应用这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案下列设计的图案中， 是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：根据轴对称图形与
2、中心对称图形的概念求解 详解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误 故选 C 点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合. 3.2018 年 5月 25 日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日2L点，它距离地球约 1500000km.数 1500000 用科学记数法表示为（ ） A. 5
3、15 10 B. 6 1.5 10 C. 7 0.15 10 D. 5 1.5 10 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当 原数的绝对值1时，n 是负数 【解答】解：将 1500000用科学记数法表示为： 6 1.5 10 . 故选 B 【点评】本题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4.已
4、知x2是关于 x一元二次方程 22 kxk2 x2k40 的一个根，则 k的值为( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 把x2代入方程 22 kxk2 x2k40 得 2 4k2 k22k40 ，然后解方程后利用一元二 次方程的定义确定 k 的值 【详解】解：把x2代入方程 22 kxk2 x2k40 得 2 4k2 k22k40 ， 整理得 2 k3k0，解得 1 k0， 2 k3 ， 而k0， 所以 k 的值为3 故选 B 【点睛】考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也 考查了一元二次方程的定义 5.如
5、图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【详解】从左边看是两个圆环， 故选 D 【点睛】考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图 6.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若150，则2（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】 由两直线平行，同位角相等，可求得3 的度数，然后求得2的度数 【详解】 1=50 ， 3=1=50 ， 2=90 50 =40 . 故选 C. 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键. 7.某体育用
6、品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋 15 双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示： 鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 3 3 6 2 则这 15 双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ） A. 24.5，24.5 B. 24.5，24 C. 24，24 D. 23.5，24 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得 【详解】这组数据中，24.5 出现了 6次，出现的次数最多，所以众数为 24.5， 这组数据一共有 15 个数，按从小到大排序后第 8个数是 24.5，所以中位数为 24.5， 故选 A 【点睛】本题考查了众数、
7、中位数，熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键. 8.在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2） ，B（6，4） ，以原点 O为位似中心，相似比为 1 2 ，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A. （2，1） B. （8，4） C. （8，4）或（8，4） D. （2，1）或（2，1） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于 k或-k，即可求得答案 【详解】点 A（-4，2） ，B（-6，-4） ，以原点 O位似中心，相似比为 1 2 ，把ABO 缩小， 点 A的对应
8、点 A的坐标是： （-2，1）或（2，-1） 故选 D 【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是 以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标比等于 k 9.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校， 小刚从家到学校行驶路程 s（单位：m）与时间 r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可 【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此 S随时间 t的增长而增长，等了几分钟后坐
9、上 了公交车，因此时间在增加，S 不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达 学校，因此 S又随时间 t的增长而增长， 故选 B 【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键. 10.如图，在矩形 ABCD中，E 是 AB边的中点，沿 EC对折矩形 ABCD，使 B点落在点 P 处，折痕为 EC， 连结 AP 并延长 AP 交 CD于 F点，连结 CP 并延长 CP 交 AD于 Q点给出以下结论： 四边形 AECF为平行四边形； PBA=APQ； FPC 为等腰三角形； APBEPC； 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D
10、. 4 【答案】B 【解析】 分析：根据三角形内角和为 180 易证PAB+PBA=90 ，易证四边形 AECF是平行四边形，即可解题； 根据平角定义得：APQ+BPC=90 ，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解 题； 根据平行线和翻折的性质得：FPC=PCE=BCE，FPCFCP，且PFC 是钝角，FPC不一定为 等腰三角形； 当 BP=AD 或BPC是等边三角形时，APBFDA，即可解题 详解：如图，EC，BP交于点 G； 点 P 是点 B关于直线 EC的对称点， EC垂直平分 BP， EP=EB， EBP=EPB， 点 E为 AB 中点， AE=EB， AE=EP，
11、 PAB=PBA， PAB+PBA+APB=180 ，即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180 ， PAB+PBA=90 ， APBP， AFEC； AECF， 四边形 AECF是平行四边形， 故正确； APB=90 ， APQ+BPC=90 ， 由折叠得：BC=PC， BPC=PBC， 四边形 ABCD是正方形， ABC=ABP+PBC=90 ， ABP=APQ， 故正确； AFEC， FPC=PCE=BCE， PFC 是钝角， 当BPC是等边三角形，即BCE=30 时，才有FPC=FCP， 如右图，PCF不一定是等腰三角形， 故不正确； AF=EC，AD=BC=PC，
12、ADF=EPC=90 ， RtEPCFDA（HL）， ADF=APB=90 ，FAD=ABP， 当 BP=AD或BPC是等边三角形时，APBFDA， APBEPC， 故不正确； 其中正确结论有，2个， 故选 B 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四 边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 24.0分）分） 11.分解因式：2a22=_ 【答案】2（a+1） （a1） 【解析】 【分析】 先提取公因式 2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【详解】解：2
13、a22， =2（a21） ， =2（a+1） （a1） 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用 其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 12.把直线 yx1沿 x轴向右平移 1个单位长度，所得直线的函数解析式为_ 【答案】y=-x 【解析】 由题意得，平移后的解析式为： y(x-1)1=-x+1-1=-x. 故答案为 y=-x. 点睛：本题考查坐标系中点、线段的平移规律在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相 同平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 13.若 m+ 1 m =3，则 m2
14、+ 2 1 m =_ 【答案】7 【解析】 分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案 详解：把 m+ 1 m =3两边平方得： （m+ 1 m ）2=m2+ 2 1 m +2=9， 则 m2+ 2 1 m =7， 故答案为 7 点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 14.如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2 cm，BOC=60，BCO=90，将BOC 绕圆心 O 逆 时针旋转至BOC，点 C在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为_cm2 【答案】 4 【解析】 【分析】 根据直角三角形
15、的性质求出 OC、BC，根据扇形面积公式计算即可 【详解】解：BOC=60，BCO=90， OBC=30， OC= 1 2 OB=1 则边 BC 扫过区域的面积为： 2 2 1 120 12012 = 3603604 故答案为 4 【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键. 15.如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD 沿直线 AE 折叠（点 E 在边 DC 上） ，折叠后顶点 D 恰好落 在边 OC 上的点 F 处.若点 D 的坐标为(10，8） ，则点 E 的坐标为 . 【答案】 （10，3） 【解析】 【分析】 根据折叠的性质得到AF=AD， 所以在直角 AOF中， 利用勾股
16、定理求得OF=6， 然后设 EC=x， 则EF=DE=8-x， CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出 EC可得点 E的坐标 【详解】四边形 AOCD为矩形,D 的坐标为(10,8), AD=BC=10，DC=AB=8， 矩形沿 AE 折叠，使 D落在 BC 上的点 F处， AD=AF=10，DE=EF， 在 Rt AOF 中,OF= 22 AFAO =6， FC=106=4， 设 EC=x，则 DE=EF=8x， 在 Rt CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8x)2=x2+42， 解得 x=3，即 EC 的长为 3. 点 E的坐标为(10,3). 16.如图抛物线 y=x2+2x3
17、 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点，若点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE，DF，则 DE+DF 的最小值为_ 【答案】 3 2 2 【解析】 【分析】 连接 AC,与对称轴交于点 P, 此时 DE+DF最小，求解即可. 【详解】连接 AC,与对称轴交于点 P, 此时 DE+DF最小， 点 D、E、F分别是 BC、BP、PC的中点， 11 , 22 DEPC DFPB 在二次函数 y=x2+2x3 中，当0x时，3,y 当0y 时，3x或1.x 即3,0 ,1,0 ,0, 3 .ABC 3,OAOC 22 333 2,
18、AC 点 P 是抛物线对称轴上任意一点， 则 PA=PB, PA+PC=AC, PB+PC=3 2, DE+DF的最小值为： 13 2 . 22 PBPC 故答案为 3 2 . 2 【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点 P 的位置是解 题的关键. 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 2 小题，共小题，共 12.0分）分） 17.计算： 1 0 1 32( 20181)2sin452cos30 2018 【答案】2019 【解析】 【分析】 原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计 算，最后一项
19、依据负整数指数幂运算，即可求解. 【详解】原式 23 321222018 22 = 321232018 =2019 【点睛】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答 此题的关键. 18.先化简，再求值： 2 22 () 111 aa aaa ，其中 a 21 【答案】 3 1a ； 3 2 2 【解析】 【分析】 首先将括号里面的分式进行通分， 然后将除法改成乘法进行约分化简， 最后将 a的值代入化简后的式子进行 计算，得出答案 【详解】解：原式= 2(1)(2)13 (1)(1)1 aaa aaaa 当 a= 21 时，原式= 33 2 221 1
20、 【点睛】本题考查分式的化简；二次根式的计算 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 54.0分）分） 19.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） 如图，已知 和线段 a，求作ABC，使 A=，C=90 ，AB=a 【答案】作图见解析. 【解析】 【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案 【详解】如图所示， ABC为所求作. 【点睛】本题考查了尺规作图基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角、过直线外一点作已 知直线的垂线的方法是解题的关键. 20.如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5
21、米的测角仪测得古树顶 端 H 的仰角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上，再向前走 7 米到达 B 处，又测得教学楼顶 端 G 的仰角GEF 为 60，点 A、B、C 三点在同一水平线上 （1）计算古树 BH 的高； （2）计算教学楼 CG 的高 （参考数据： 214，31.7） 【答案】 （1）BH =8.5 米； （2）CG= 18.0 米 【解析】 【分析】 此题涉及的知识点是直角三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，正切值得计算的综合应用，难 度偏大，解题时先由直角三角形的性质求出边的长度，再作辅助线构建条件，通过设未知数列出正切值得 方程，解出未知数，从而
22、根据对应关系求得解 【详解】 （1）由题意：四边形 ABED 是矩形，可得 DE=AB=7 米 在 Rt DEH中，EDH=45 ， HE=DE=7米， BH=EH+BE=8.5 米. （2）作 HJCG于 G则HJG是等腰三角形，四边形 BCJH是矩形，设 HJ=GJ=BC=x 在Rt EFG中，tan60 GF EF ， 7 3 x x ， 7 31 2 x， 316.45GFx 1.5 16.45 18.0CGCFFG米 【点睛】此题重点考察学生对直角三角形的性质，矩形的性质，三角形正切值的综合应用能力，抓住直 角三角形的性质，角与边之间的关系，三角形正切值的计算方法是解题的关键 21.
23、随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份 调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整 的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ ”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付， 请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【答案】 （1）200、81 ；（2）补图见解析
24、； （3） 1 3 【解析】 分析：（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用 360 乘以“支付宝” 人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情 况，再利用概率公式即可求得答案 详解： （1）本次活动调查的总人数为（45+50+15） （115%30%）=200人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 360 45 200 =81 ， 故答案为 200、81 ； （2）微信人数为 200 3
25、0%=60 人，银行卡人数为 200 15%=30 人， 补全图形如下： 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”， 故答案为微信； （3）将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C， 画树状图如下： 画树状图得： 共有 9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3种， 两人恰好选择同一种支付方式的概率为 3 9 = 1 3 点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 22.已知：如图，平行四边形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，点 G 为 AD 的中点，连接 CG，CG 的延长线 交 BA 的延长线于点 F，连接 FD
26、 （1）求证：AB=AF； （2）若 AG=AB，BCD=120，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论 【答案】 （1）证明见解析； （2）结论：四边形 ACDF 是矩形理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）只要证明 AB=CD，AF=CD 即可解决问题； （2）结论：四边形 ACDF是矩形根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； 【详解】 （1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， BECD，AB=CD， AFC=DCG， GA=GD，AGF=CGD， AGFDGC， AF=CD， AB=CF （2）解：结论：四边形 ACDF是矩形 理由：AF=CD，AFCD， 四边形 ACDF
27、是平行四边形， 四边形 ABCD是平行四边形， BAD=BCD=120， FAG=60， AB=AG=AF， AFG 是等边三角形， AG=GF， AGFDGC， FG=CG，AG=GD， AD=CF， 四边形 ACDF是矩形 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是正确寻找全等三角形解决问题. 23.如图， A（4，3） 是反比例函数 y= k x 在第一象限图象上一点， 连接 OA， 过 A作 ABx 轴， 截取 AB=OA（B 在 A 右侧） ，连接 OB，交反比例函数 y= k x 的图象于点 P （1）求反比例函数 y= k x
28、 的表达式； （2）求点 B的坐标； （3）求OAP 的面积 【答案】（1）反比例函数解析式为 y= 12 x ；（2）点 B的坐标为（9，3）；（3）OAP 的面积=5 【解析】 【分析】 （1）将点 A的坐标代入解析式求解可得； （2）利用勾股定理求得 AB=OA=5，由 ABx 轴即可得点 B 的坐标； （3）先根据点 B 坐标得出 OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点 P 的坐标，再利用割补法求解 可得 【详解】（1）将点 A（4，3）代入 y= k x ，得：k=12， 则反比例函数解析式为 y= 12 x ； （2）如图，过点 A作 ACx轴于点 C， 则 OC=4、AC=
29、3， OA= 22 43 =5， ABx轴，且 AB=OA=5， 点 B的坐标为（9，3）； （3）点 B坐标为（9，3）， OB所在直线解析式为 y= 1 3 x， 由 1 3 12 yx y x 可得点 P 坐标为（6，2）， （负值舍去）， 过点 P 作 PDx 轴，延长 DP 交 AB于点 E， 则点 E坐标为（6，3）， AE=2、PE=1、PD=2， 则OAP面积= 1 2 （2+6） 3 1 2 6 2 1 2 2 1=5 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅 助线是解题的关键. 24.如图，在 Rt ABC 中，ACB=9
30、0，AO 是 ABC 的角平分线以 O 为圆心，OC 为半径作O （1）求证：AB 是O 的切线 （2）已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD= 1 2 ，求 AE AC 的值 （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长 【答案】 （1）证明见解析（2） 1 2 （3） 100 7 【解析】 试题分析： （1）过 O 作 OFAB 于 F，由角平分线上点到角两边的距离相等即可得证； （2）连接 CE，证 明 ACEADC 可得= tanD； （3）先由勾股定理求得 AE 的长，再证明 B0FBAC， 得，设 BO=“y“ ，BF=z，列二元一次方程组即
31、可解决问题 试题解析： （1）证明：作 OFAB 于 F AO 是BAC 的角平分线，ACB=90 OC=OF AB 是O 的切线 （2）连接 CE AO 是BAC 的角平分线， CAE=CAD ACE 所对的弧与CDE 所对的弧是同弧 ACE=CDE ACEADC = tanD （3）先在 ACO 中，设 AE=x, 由勾股定理得 (x3) =“(2x)“ 3 ，解得 x=“2,“ BFO=90 =ACO 易证 Rt B0FRt BAC 得， 设 BO=y BF=z 即 4z=93y，4y=123z 解得 z=y= AB=4= 考点：圆的综合题 25.如图， 在平面直角坐标系 xoy 中，
32、直线 1 2 2 yx与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 C 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 3 2 x 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B （1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相 似？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）B（1,0） 2 13 2 22 yxx （2）4,P（2，3）
33、;（3）存在 M1（0，2）,M2（3,2）, M3 （2，3）,M4（5，18）, 使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与 ABC 相似 【解析】 试题分析： （1）先求的直线 y= 1 2 x+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点 B 的坐标； 设抛物线的解析式为 y=y=a（x+4） （x1） ，然后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； （2）设点 P、Q 的横坐标为 m，分别求得点 P、Q 的纵坐标，从而可得到线段 PQ=- 1 2 m22m，然后利用 三角形的面积公式可求得S PAC= 1 2 PQ 4， 然后利用配方法可求得 PAC的面积的最大值以及此时m的
34、值， 从而可求得点 P 的坐标； （3）首先可证明 ABCACOCBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：当 M 点与 C 点重合， 即 M（0，2）时， MANBAC；根据抛物线的对称性，当 M（3，2）时， MANABC； 当点 M 在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系 试题解析： （1）y= 1 2 x+2 当 x=0 时，y=2，当 y=0 时，x=4， C（0，2） ，A（4，0） ， 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x= 3 2 对称， 点 B 的坐标为（1，0） 抛物线 y=ax2+bx+c 过 A（4，0） ，B（1，0） ， 可设抛物线解析式为 y=
35、a（x+4） （x1） ， 又抛物线过点 C（0，2） ， 2=4a a=- 1 2 y=- 1 2 x2- 3 2 x+2 （2）设 P（m，- 1 2 m2- 3 2 m+2） 过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q， Q（m， 1 2 m+2） ， PQ=- 1 2 m2- 3 2 m+2（ 1 2 m+2） =- 1 2 m22m， S PAC= 1 2 PQ 4， =2PQ=m24m=（m+2）2+4， 当 m=2 时， PAC 的面积有最大值是 4， 此时 P（2，3） （3）在 Rt AOC 中，tanCAO= 1 2 在 Rt BOC 中，tanBCO= 1 2 ， CAO
36、=BCO， BCO+OBC=90 ， CAO+OBC=90 ， ACB=90 ， ABCACOCBO， 如下图： 当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时， MANBAC； 根据抛物线的对称性，当 M（3，2）时， MANABC； 当点 M 在第四象限时，设 M（n，- 1 2 n2- 3 2 n+2） ，则 N（n，0） MN= 1 2 n2+ 3 2 n2，AN=n+4 当 1 2 MN AN 时，MN= 1 2 AN，即 1 2 n2+ 3 2 n2= 1 2 （n+4） 整理得：n2+2n8=0 解得：n1=4（舍） ，n2=2 M（2，3） ； 当 2 1 MN AN 时，MN=2AN，即 1 2 n2+ 3 2 n2=2（n+4） ， 整理得：n2n20=0 解得：n1=4（舍） ，n2=5， M（5，18） 综上所述：存在 M1（0，2） ，M2（3，2） ，M3（2，3） ，M4（5，18） ，使得以点 A、M、N 为顶点的 三角形与 ABC 相似 考点：二次函数综合题
