1、矢量分析和场论基础矢量分析和场论基础 机电工程学院电气工程系机电工程学院电气工程系孙红贵孙红贵嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四1工程电磁场坐坐 标标 系系 三种正交坐三种正交坐标系标系 直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球面坐标系球面坐标系 嘉兴学院机电工程学院直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球面坐标系球面坐标系zyxeeedzdydxzreeedzrddr zzryrxsincoseeerdrrddrsincossinsincossinrzryrx坐标系向量单位长度元和直角坐标系的关系直角坐标圆柱坐标 球面坐标 2022年11月24日星期四2工程电磁场嘉兴学
2、院机电工程学院矢量分析和场论基础矢量分析和场论基础 电磁学中的各种物理量可分为两类电磁学中的各种物理量可分为两类 标量标量 矢量矢量 标量标量（Scalar）：选定单位后仅用一个数值就可以表示：选定单位后仅用一个数值就可以表示 其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等其大小的物理量，称为标量，如电位、能量等 矢量矢量（Vector）：不仅有大小，还有方向的物理量，称：不仅有大小，还有方向的物理量，称 为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等为矢量，如电磁力、电场强度、磁感应强度等 矢量在印刷体中常用黑体字，如矢量在印刷体中常用黑体字，如A 2022年11月24日星期四3工程电磁场嘉兴学院机电工
3、程学院矢量A的模 222zyxAAAAA2022年11月24日星期四4工程电磁场矢量表示法矢量表示法 在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可以用坐标在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可以用坐标来表示。则从来表示。则从O指向终点指向终点P的矢量的矢量A可以表示为可以表示为 长度为一个单位的矢量称为长度为一个单位的矢量称为单位矢量单位矢量。如矢量。如矢量A的单位矢量指的是方向与的单位矢量指的是方向与A一致，大小为一个单位一致，大小为一个单位的矢量，可以用的矢量，可以用a0表示。表示。0AAAzyxeeeAzyxAAAx,y,zxe、ye、ze 表示表示x、y、z三个坐标轴方向上的单位三个坐标轴方向上的单
4、位矢量矢量 嘉兴学院机电工程学院矢量的方向余弦矢量的方向余弦 A与与x、y、z三个坐标轴正向的夹角三个坐标轴正向的夹角、coscoscosAAAAAAzyx,coscoscos称为称为A的方的方向余弦向余弦 222222222coscoscoszyxzzyxyzyxxAAAAAAAAAAAA直角坐标系中直角坐标系中2022年11月24日星期四5工程电磁场嘉兴学院机电工程学院矢量加、减法矢量加、减法BAC0BAC0BAC)(BABAC2022年11月24日星期四6工程电磁场嘉兴学院机电工程学院矢量的标积矢量的标积 矢量的标乘又称点乘矢量的标乘又称点乘 在直角坐标系中，其解析式为在直角坐标系中，其
5、解析式为 zzyyxxBABABABA矢量点乘服从交换律和分配律矢量点乘服从交换律和分配律 coscosABBABAABBACABACBA)(2022年11月24日星期四7工程电磁场嘉兴学院机电工程学院矢量叉乘服从分配律和反交换律矢量叉乘服从分配律和反交换律CABACBA)(ABBA2022年11月24日星期四8工程电磁场矢量的矢积矢量的矢积 矢量的矢积又称叉乘矢量的矢积又称叉乘 ABAB两矢量的叉乘，其结果仍是一个矢量两矢量的叉乘，其结果仍是一个矢量 在直角坐标系中，其解析式为在直角坐标系中，其解析式为 BABAeABeBABAsinsinzxyyxyzxxzxyzzyzyxzyxzyxeB
6、ABAeBABAeBABABBBAAAeeeBA)()()(嘉兴学院机电工程学院矢量的三重标积矢量的三重标积 矢量的三重标积矢量的三重标积CBA是一个标量，其解析表达式为是一个标量，其解析表达式为xyyxzzxxzyyzzyxzyxzyxzyxCBCBACBCBACBCBACCCBBBAAACBAABCBCV=A(BC)三重标积的结果是以三重标积的结果是以A、B和和C为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积V 2022年11月24日星期四9工程电磁场嘉兴学院机电工程学院矢量的三重矢积矢量的三重矢积 矢量的三重矢积矢量的三重矢积CBA是一个矢量是一个矢量 CBABCACBA2022年11月2
7、4日星期四10工程电磁场嘉兴学院机电工程学院标量场标量场 在直角坐标系中，若空间区域在直角坐标系中，若空间区域D的任意一点的任意一点M（x,y,z），），zyx,，则它在空间区域，则它在空间区域D就就构成了构成了对应一个数量函数对应一个数量函数一个标量场一个标量场标量场和函数密不可分标量场和函数密不可分 2022年11月24日星期四11工程电磁场嘉兴学院机电工程学院矢量场矢量场 在直角坐标系中，若空间区域在直角坐标系中，若空间区域D D的任意一点的任意一点M(x,y,z)则它在空间区域则它在空间区域D D就就构成了构成了用矢径用矢径r确定，则矢量确定，则矢量F可以看成矢径可以看成矢径r的的对应
8、一个矢量函数对应一个矢量函数F(x,y,z),一个矢量场，如电场一个矢量场，如电场E(x,y,z),磁场磁场H(x,y,z)等等若若M的位置的位置矢量函数矢量函数F(t)。2022年11月24日星期四12工程电磁场嘉兴学院机电工程学院标量函数的偏导数和全微分标量函数的偏导数和全微分 在直角坐标系中，标量函数在直角坐标系中，标量函数zyx,的偏导数的偏导数yzyxzyyxyzyxy,lim,0标量函数的全微分标量函数的全微分dzzzyxdyyzyxdxxzyxd,xzyxzyxxxzyxx,lim,0zzyxzzyxzzyxz,lim,02022年11月24日星期四13工程电磁场嘉兴学院机电工程
9、学院矢量函数的偏导数和全微分矢量函数的偏导数和全微分 偏导数偏导数 zzyyxxzzyyxxzzyyxxzFzFzFzyFyFyFyxFxFxFxeeeFeeeFeeeF全微分全微分 zzyyxxdFdFdFdeeeFdzzzyxFdyyzyxFdxxzyxFdFdzzzyxFdyyzyxFdxxzyxFdFdzzzyxFdyyzyxFdxxzyxFdFzzzzyyyyxxxx,2022年11月24日星期四14工程电磁场嘉兴学院机电工程学院矢量微分算子矢量微分算子 哈密顿微分算子在直角坐标系中的表达式为 zyxxxxeee 微分算子的各个分量同样可以像普通矢量一样进行点乘、叉乘等运算。具有矢量
10、的性质。它亦具有微分的性质。2022年11月24日星期四15工程电磁场 微分算子叫劈形算符，因为长得像竖琴(nabla)，所以也叫纳布拉。又由于是(delta)的倒转，故反其序而读之，念做atled；也是为了与delta的读音相区别，有人则将其读作del（代儿）。嘉兴学院机电工程学院zyxzyxeeezFyFxFFFFzyxzyxzzyyxxzyxeeeeeeFzyxzyxzzyyxxzyxFFFzyxFFFzyxeeeeeeeeeF2022年11月24日星期四16工程电磁场嘉兴学院机电工程学院zyxo),(zyxP),(zyxQl标量场的梯度标量场的梯度2022年11月24日星期四17工程电
11、磁场嘉兴学院机电工程学院若标量函数 在 点可微，则其全增量：),(zyx),(zyxP)()()(lozzyyxxPQ两边除以 ：lllolzzlylxxllPQ)()()(由图可见：cos,cos,coslzlylx时：0lllozyxllll)(limcoscoscoslim002022年11月24日星期四18工程电磁场嘉兴学院机电工程学院式中：0)(lim0llol于是标量函数 在P点处的方向导数方向导数：),(zyxcoscoscoszyxl2022年11月24日星期四19工程电磁场考虑到：zzyyxxzyxzyxbababakbjbibkajaiaba)()()coscos(cos)
12、(coscoscoskjikzjyixzyxl嘉兴学院机电工程学院定义梯度梯度：kzjyixgrad式中：kjilcoscoscos0是沿l方向的单位矢量显然方向导数：cos00lgradlgradl梯度矢量的意义：1.标量场在某点沿某方向的方向导数，等于该点的梯度矢量的模乘以求导方向与梯度方向夹角的余弦；、为其方向角 2022年11月24日星期四20工程电磁场2.标量场在某点处的梯度，等于该点的方向导数的最大值；嘉兴学院机电工程学院nngrad3.梯度本身并不依赖于坐标系，如果场值变化最快方向的单位矢量为n，则梯度的矢量定义式为：4.梯度场是源于标量场的一个矢量场，这个场全面刻画了该标量场的
13、空间变化率变；5.梯度矢量与等值面垂直。)(kzjyixkzjyixgrad6.特别地：由此定义矢量微分算符：kzjyix*哈密顿微分算符哈密顿微分算符的各个分量同样可以像普通矢量一样进行的各个分量同样可以像普通矢量一样进行点乘、叉乘等运算点乘、叉乘等运算,具有矢量的性质。它也具有微分的性质。具有矢量的性质。它也具有微分的性质。2022年11月24日星期四21工程电磁场嘉兴学院机电工程学院梯度运算的基本法则梯度运算的基本法则是标量函数为常数,ff2022年11月24日星期四22工程电磁场222112217.若已知某矢量存在，则必定有一标量函数取梯度与之相等；8.其他坐标系下，梯度公式完全不同。
14、具有线性性满足莱布尼兹律嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场23例1.在直角坐标系中，空间任一点P(x,y,z)到原点的距离r，计算其梯度。zyxo),(zyxP解：在直角坐标系中，空间任一点P(x,y,z)到原点的距离：222zyxrrxxzyxxr2121222ryyzyxyr2121222rzzzyxzr2121222orkrzjryirxr嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场24例2.若空间任一点P(x,y,z)到另一点Q(x,y,z)的距离r，计算其梯度。222)()()(zzyyxxrzyxo),(zyxP),(zyxQ首先，把Q点当做固
15、定点，则其坐标为常数。rxxzzyyxxxxxr222)()()()(221ryyyrrzzzr0rkrzzjryyirxxr若把P点当做固定点，则：00rrkrzzjryyirxxr嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场25例3.若空间任一点P(x,y,z)到原点的距离r，证明：31rrr证明：321)1(1rrrrrrrdrdr若a为常矢量，证明：ara)(zayaxazkyjxikajaiarazyxzyx)()(kajaiazayaxazayaxarazyxzyxzyx)()(嘉兴学院机电工程学院矢量场的散度矢量场的散度VdVsSFF0limdiv在直角坐标系中在直
16、角坐标系中zFyFxFkFjFiFkzjyixzyxzyx)()(divFF散度运算法则：散度运算法则：BABAAAABAABBA散度的定义为散度的定义为2022年11月24日星期四26工程电磁场具有线性性满足莱布尼兹律是标量函数为常数,嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场27散度标量的意义：散度标量的意义：散度是源于矢量场a的一个标量场，这个场精确刻画了矢场a在任一点的聚散程度；定义表明，散度值并不依赖于坐标系的选择。例1.由坐标原点指向P(x,y,z)的位置矢量：zkyjxir试计算矢量场r的散度。解：3)()(zkyjxizzjyixr嘉兴学院机电工程学院2022年
17、11月24日星期四工程电磁场28例2.位于原点的点电荷q所激发的场强：为由原点到计算点的位置矢量。示空间各点的散度。rrrqE,2解：033)3(33)(334333332rqrqrrrrqrqrrqrqrqrrrqrrqE嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场29例3.计算矢量场kxzxyzjyzyiyzxa)3()()23(222解：先求矢量在场中任一点处的散度：xzxyzyxxzxyzzyzyyyzxxa636)3()()23(22222将A(0,0,0)、B(1,2,3)、C(1,0,2)三点处的坐标代入：（汇聚）（发散）不聚不散2;11)(;0CBAaaa在A(0
18、,0,0)、B(1,2,3)、C(1,0,2)三点处的散度。嘉兴学院机电工程学院高斯散度公式高斯散度公式dVdV)(FSFs即：即：dVzFyFxFdxdyFdxdzFdydzFVzyxzyxs2022年11月24日星期四30工程电磁场高斯公式的物理意义是明显的：某闭合曲面的通量，等于该曲面所包围体积里的散度。嘉兴学院机电工程学院矢量场的旋度矢量场的旋度 矢量场的旋度定义为：矢量场的旋度定义为：0max0limnSdlFFrotFls在直角坐标系中：在直角坐标系中：zxyyzxxyzzzyyxxzyxyFxFxFzFzFyFeFeFeFezeyexeeeFF)()(rot 2022年11月24
19、日星期四31工程电磁场zyxzyxFFFzyxeeeF嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场32旋度，是导源于矢量场a的另一矢量场，它全面地描绘了矢量场的涡旋特性。例1.?r解：zkyjxir0)()()(zyxxyjxzzxizyyzzyxzyxkjir嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场33例2.已知方向矢量n与x、y、z轴分别成45、60和60度角。试计算矢场 在A(-1，-3，-2)点绕n方向的方向旋度。ykzjiya6432注：矢量a绕n方向的方向旋度定义为：na解：先写出旋度矢量的一般表示式：ykizjiyzyzyxkji62)60()00
20、()46(6432 a矢量a在A点处的旋度：2i+18k矢量a在A点绕n的旋度：414.10)60cos60cos45(cos)182(kjikinaA嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场34例3.若C为常矢量，r是位置矢量，求：)(rCkxCyCjzCxCiyCzCCCCzyxkjirCyxxzzyzyx)()()()(CkCjCiCkCCjCCiCCxCyCzCxCyCzCzyxkjirCxyxzzyyxxyxxzzy2)(2)()()()(嘉兴学院机电工程学院旋度公式：旋度公式：BABAAAA BAABBAABBA斯托克斯公式斯托克斯公式SFlFldSd即即 Sxy
21、zxyzzlyxdxdyyFxFdzdxxFzFdydzzFyFdzFdyFdxF2022年11月24日星期四35工程电磁场是标量函数为常数,物理含义：物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。嘉兴学院机电工程学院矢量场的几个基本定理矢量场的几个基本定理 格林第一定理的数学表达式为格林第一定理的数学表达式为dVdV2Ss格林第二定理的数学表达式为格林第二定理的数学表达式为dVdV22Ss2022年11月24日星期四36工程电磁场嘉兴学院机电工程学院亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 21AAA在空间有限区域在空间有限区域V内
22、的任一个矢量场内的任一个矢量场A，若已知，若已知它的散它的散度，旋度和边界条件（即限定区域度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合面的闭合面S上矢量场上矢量场分布），则该矢量场就被唯一确定。分布），则该矢量场就被唯一确定。0(1A)1A和一个无散场分量（和一个无散场分量（02 A）之和，即）之和，即一般的矢量场一般的矢量场A有散度，又有旋度。根据亥姆霍有散度，又有旋度。根据亥姆霍兹定理，兹定理，这个矢量场可以分解这个矢量场可以分解成一个无旋场分量成一个无旋场分量 或或2022年11月24日星期四37工程电磁场嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场1重要的场论公式重要的场论公式
23、(1)()0 1.1.两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。(2)()0F 任何矢量场的旋度的散度恒为零。嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场1在圆柱坐标系中：2222221)(1zrrrrr在球坐标系中：22222222111()(sin)sinsinRRRRRR在广义正交曲线坐标系中：2231 31 21 231112223331()()()h hhhhhhh huhuuhuuhu2.2.拉普拉斯算子拉普拉斯算子 2()在直角坐标系中：2222222zyx嘉兴学院机电工程学院2022年11月24日星期四工程电磁场1)()AAA AAA)()()()()()A BABBA ABBA ()A BBA AB ()()()A BAB BABAAB 3.3.常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式
