1、2022-11-24第五章第五章 真空中的恒定磁场真空中的恒定磁场1 磁感应强度磁感应强度 磁场的高斯定理磁场的高斯定理2 毕奥毕奥 沙伐尔定律及其应用沙伐尔定律及其应用3 安培环路定理及其应用安培环路定理及其应用4 磁场对载流导线的作用磁场对载流导线的作用5 洛伦兹力公式与霍尔效应洛伦兹力公式与霍尔效应5-1：磁感应强度：磁感应强度 磁场的磁场的 高斯定理高斯定理一、基本磁现象：一、基本磁现象：1、基本磁现象：、基本磁现象：（1）磁性：）磁性：磁极（磁极（N极，极，S极）极）同性相斥同性相斥 异性相吸。异性相吸。（2）铁磁性：）铁磁性：铁、钴、镍等及某些合金铁、钴、镍等及某些合金有被磁铁吸有
2、被磁铁吸引的性质，被称为引的性质，被称为铁磁性铁磁性。（3）磁极与电荷：）磁极与电荷：磁铁的磁铁的两个极不能被分割两个极不能被分割为独立的为独立的N极与极与S极。这是磁极与电荷的基本区别。极。这是磁极与电荷的基本区别。2、电流与磁性：、电流与磁性：（1）载流导线载流导线附近的附近的磁针磁针会发生会发生偏转偏转。（2）介质对磁场介质对磁场的作用会有的作用会有影响影响，一切物质一切物质都可称为都可称为磁介质磁介质。（3）安培假说：一切磁现象的）安培假说：一切磁现象的根源是电流根源是电流。任何物质中的分。任何物质中的分子都存在有回路电流子都存在有回路电流,称为称为分子电流分子电流.分子电流相当于一个
3、分子电流相当于一个基基元磁铁元磁铁,物质对外物质对外显出磁性显出磁性,就是物质中的就是物质中的分子电流分子电流在外界作在外界作用下用下趋向沿同一方向排列趋向沿同一方向排列的结果的结果.-安培分子电流假说安培分子电流假说3、磁场的对外表现：、磁场的对外表现：（1）磁场对磁场内的运动电荷，或载流导线）磁场对磁场内的运动电荷，或载流导线(或线圈或线圈)会有会有力力(或力矩或力矩)的作用。的作用。（2）载流导体载流导体在磁场内在磁场内移动移动时，时，磁场磁场的作用力会对载流导的作用力会对载流导体体作功作功。（3）磁场能使处于）磁场能使处于磁场内磁介磁场内磁介质发生质发生磁化磁化。18182020年年
4、奥斯特奥斯特 磁针的一跳磁针的一跳电流的磁效应电流的磁效应 指南针的发明与使用指南针的发明与使用,是中华民族对全人是中华民族对全人类的伟大贡献之一类的伟大贡献之一.用用 表示表示叉乘积叉乘积,或称矢量积或称矢量积,其被定义为其被定义为:力力 矩矩 sinFrM b)大小为大小为:xyzMrF oAA点对点对O点的位置矢量是点的位置矢量是 rA点受力点受力 F定义定义:是力是力 对对O点的力矩点的力矩.FrMFa)相乘的结果相乘的结果 是一个矢量是一个矢量M力矩的方向力矩的方向预备知识介绍预备知识介绍:二二.磁感应强度磁感应强度1)载流线圈的磁矩载流线圈的磁矩:nSIpm例例:一点电荷一点电荷q
5、以速率以速率v沿半径为沿半径为R的的圆周运动圆周运动.求求:该闭合电流的磁矩的该闭合电流的磁矩的大小大小.mp 可以利用可以利用检验线圈检验线圈来定义磁感强度来定义磁感强度.为此为此,要求要求检验线圈的面积检验线圈的面积S和电流和电流I0都都要很小要很小.RvqI2In解解:2RSqvRRRqvpm21222)2)磁感应强度的定义磁感应强度的定义:实验表明实验表明:检验线圈在磁场中所受到磁力矩的作用检验线圈在磁场中所受到磁力矩的作用 具有以下特点具有以下特点:则定义则定义B的大小为的大小为 A)当检验线圈当检验线圈磁矩磁矩沿空间沿空间某一方向某一方向时时,其所受其所受磁磁力矩为零力矩为零且线圈
6、处于且线圈处于稳定平衡状态稳定平衡状态。规定这时检验线。规定这时检验线圈磁矩的方向为该点的圈磁矩的方向为该点的磁感应强度磁感应强度B B的方向的方向.B)当检验线圈在磁场中时所受当检验线圈在磁场中时所受磁力矩的大小磁力矩的大小会会随其磁矩沿空间指向的不同而不同随其磁矩沿空间指向的不同而不同,但会有一个但会有一个极大极大值值 Mmax 且有且有:BpMmmax单位单位:TmpMmax三、磁场的高斯定理三、磁场的高斯定理1、磁感应线、磁感应线 磁通量磁通量2.2.与形成磁场的电流相互套连与形成磁场的电流相互套连.磁感应磁感应线特点线特点1.无头无尾的闭合曲线。任意两条磁无头无尾的闭合曲线。任意两条
7、磁感应线不会相交感应线不会相交SBmdd SmSBd dSBmcosd 规定：规定：方向方向：磁感应磁感应线上每一点的线上每一点的切线方向切线方向为该点为该点磁感强磁感强度的度的矢量的方向矢量的方向 大小大小：对磁场中任一点，通过：对磁场中任一点，通过垂直于该点垂直于该点磁感强度磁感强度矢量方向矢量方向单位面积上的单位面积上的磁感应磁感应线条数线条数，等于该点，等于该点磁感强度磁感强度大小大小I直线直线电流电流的磁的磁感线感线圆电流的磁感线圆电流的磁感线I通电螺线管的磁感线通电螺线管的磁感线II+q+无限长均无限长均匀带电直匀带电直线的电场线的电场电偶极子的电场电偶极子的电场无限大均匀带电平面
8、电场无限大均匀带电平面电场2、磁场磁场的高斯定理的高斯定理磁力线磁力线（磁（磁感应线）为感应线）为无头无尾的无头无尾的闭合曲线闭合曲线0SdBS磁场为涡旋磁场为涡旋场，无源场场，无源场尾尾首首不从封不从封闭曲面闭曲面中出来中出来是不能是不能和和“尾尾”会合会合的的磁力线磁力线特点：特点：1、该封闭曲面的磁通量使用高斯定理很容易求出。、该封闭曲面的磁通量使用高斯定理很容易求出。021mSmS22RBmS21RBmS例：例：求均匀磁场中求均匀磁场中半球面的磁通量半球面的磁通量RO1S2SB解：解：1、球面上各点的磁场强度是相等的。、球面上各点的磁场强度是相等的。2、球面各点处的法线方向与磁感强、球
9、面各点处的法线方向与磁感强度方向的夹角是不同的。度方向的夹角是不同的。SSmSBSBdcosd分析：分析：结论：直接进行上述积分的运结论：直接进行上述积分的运算是有一定难度的。算是有一定难度的。方法：考虑半球面和它的底面一方法：考虑半球面和它的底面一起构成的一个封闭曲面。起构成的一个封闭曲面。2、底面为一个平面，在匀强磁场中的磁通量也容易、底面为一个平面，在匀强磁场中的磁通量也容易求出。求出。5-2：毕奥：毕奥 沙伐尔定律及其应用沙伐尔定律及其应用一、毕奥一、毕奥 沙伐尔定律：沙伐尔定律：dBIdlrr024IIdlPr0真空中的磁导率真空中的磁导率BdIdl电流元电流元r位置矢量方向由电流元
10、指向场点位置矢量方向由电流元指向场点270/104AN大大小小方方向向sin420rIdldB 讨论讨论库仑定律库仑定律与与毕奥毕奥 沙伐尔定律沙伐尔定律的比较的比较静电场静电场恒定磁场恒定磁场产生原因产生原因静止电荷静止电荷稳恒电流稳恒电流基本公式基本公式点电荷场强点电荷场强电流元磁场电流元磁场2rIdldB 2rdqdE 大小大小方向方向 rlId系数确定系数确定rdq库仑的实验库仑的实验电流产生磁场电流产生磁场的有关实验的有关实验二、毕奥二、毕奥 沙伐尔定律的应用：沙伐尔定律的应用：例例1 1 直线电流（直线电流（L L，I I）的磁场的磁场I1）选电流元）选电流元lIdlIdBdBd的
11、方向的方向sin420rIdldB yx0204rrlIdBdrxsin4dd20rlIBBsinrx l)(xctgl2sinddxl 12222sin1xrxctg)cos(cos4210 xIBIyx0 x121.无限长载流直导线无限长载流直导线当当 L （xL)1 0 2 讨论讨论xIB202.场点在直电场点在直电流延长线上流延长线上B 0Idlr0P21dsin40 xIB21dsin40 xI 例例2.真空中一无限长载流直导线真空中一无限长载流直导线LL 在在A点处折成直角点处折成直角,在在LAL 平面内平面内,求求R、S两点处的磁感应强度的大小两点处的磁感应强度的大小.RSALL
12、aaaa 解解:对于对于R点点,LA的两端相对于的两端相对于R点所对应的点所对应的01432所以所以LA在在R点的磁感应强度点的磁感应强度B1的大小为的大小为43cos0cos401aIB22140aI方向：方向：AL 两端相对于两端相对于R点所对应的点所对应的412RSALLaaaaAL 在在R点的磁感应强度大小为点的磁感应强度大小为cos4cos402aIB22140aI故故R点的磁感应强度大小为：点的磁感应强度大小为：方向：方向：方向：方向：21BBBR2240aI43cos0cos401aIB22140aI对于对于S点点:LA在在S点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度LA 两端相对于两
13、端相对于S点所对应的点所对应的01432方向：方向：RSALLaaaaAL 两端相对于两端相对于S点所对应的点所对应的431222140aIcos43cos402aIBAL 在在S点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度S点磁感应强度点磁感应强度21BBBsaI420方向：方向：方向：方向：RSALLaaaa)cos(cos4210 xIB直线电流的磁场公式：直线电流的磁场公式：如何确定如何确定1 1和和2 2的取值？的取值？例例3 求圆电流中心的磁感强度求圆电流中心的磁感强度 RIRRI224020RIo解：任取电流元解：任取电流元Idl在场点在场点O的磁感强度方向垂直纸的磁感强度方向垂直纸面向
14、外大小为面向外大小为204 RIdldB各电流元的磁场方向相同各电流元的磁场方向相同 大小直接相加大小直接相加)(204IRIdlB)(204IdlRIIdlB磁场方向磁场方向RIB240若写若写该式可帮助该式可帮助确定确定 的值的值0dBIdlrr024B应用举例应用举例:已知氢原子中的电子作圆周运动。已知氢原子中的电子作圆周运动。smv/102.26mr101053.0求：轨道中心处磁场的磁感强度。求：轨道中心处磁场的磁感强度。O解：解：revI2rIB20204revB)(13 T方向如图方向如图evr讨论：一段圆弧圆电流在其曲率中讨论：一段圆弧圆电流在其曲率中心处的磁场。心处的磁场。r
15、RIab20d4drrlIB方向方向 20d4dRlIB 204RabIB I dl当圆弧长度为当圆弧长度为2 R时时圆电圆电流在其圆心处的磁场为：流在其圆心处的磁场为：RIB2020d4RlIBbadlRIBba204例例4:Ia宽度为宽度为 a 的无限长金属平板，均匀通电流的无限长金属平板，均匀通电流I。x0将板细分为许多无限长直导线将板细分为许多无限长直导线每根导线宽度为每根导线宽度为 d x 通过的电流通过的电流为为dI,则有：则有：xaIdIdxdIB2do解：建立坐标系解：建立坐标系x所有所有dB 的方向都一样：的方向都一样：dadaxxIB 2do求：图中求：图中P点的磁感应强度
16、。（点的磁感应强度。（P与板共面）与板共面）axxI 2do ddaaI ln2o Pd5-3 安培环路定理及其应用安培环路定理及其应用一、安培环路定理：一、安培环路定理：1、无限长直线电流的情况：、无限长直线电流的情况：环路在垂直于直导线的平面内时环路在垂直于直导线的平面内时(1)电流从环路中穿过：电流从环路中穿过：rIB20a)环路为同心圆环路为同心圆LldBl dlBL dlrId20 I0b)任意形状环路任意形状环路Ll dBl drdBlBdcosrd dBr d20 II0Il dB/lrId20d20IB电流反向电流反向B反向反向I0l drBBl dBL(2)电流不从环路中穿过
17、电流不从环路中穿过:dldBLBrdBrdMNNM0MNl dBl dBMNNMrIB202、安培环路定理：、安培环路定理：（1）安培环路定理：）安培环路定理：磁感应强度磁感应强度沿任一闭合回路沿任一闭合回路积分一周积分一周，等于等于穿过以该闭合回穿过以该闭合回路为周界的曲面的所有路为周界的曲面的所有电流代数电流代数和和的的 倍倍0iiLIldB0（2）电流）电流正负号正负号的规定：的规定：穿过以闭合回穿过以闭合回路为周界的曲路为周界的曲面的电流的正面的电流的正、负、负按右手螺按右手螺旋法则规定旋法则规定：I1I2I3L2L13201dIIlBL 2102dIIlBL iiLIrB内0d 3、
18、讨论、讨论但对环流有贡献只有包围在内但对环流有贡献只有包围在内(套连）的电流套连）的电流（1 1）是空间是空间全部电流全部电流产生的产生的磁场磁场B（2）环流为零时，磁感应强度不一定为零环流为零时，磁感应强度不一定为零（3 3）稳恒磁场性质的基本方程稳恒磁场性质的基本方程涡旋场涡旋场 iiLIrB内0d 0SdBS无源场无源场二、安培环路定理的应用：二、安培环路定理的应用：用来求解具有对称性的电流分布所产生的的磁场用来求解具有对称性的电流分布所产生的的磁场例例1求：无限长直线电流的磁场求：无限长直线电流的磁场I解：对称性分析解：对称性分析磁感应线是与电流垂磁感应线是与电流垂直平面上的同心圆。直
19、平面上的同心圆。rIlBL0drB 2rIB 20 l dBBl/d选环路选环路LB例例2:求：均匀密绕螺线环的磁场求：均匀密绕螺线环的磁场（总匝数总匝数N，电流强度电流强度I）解：对称性分析：管内以解：对称性分析：管内以r 为半径的圆上各点所处的物理环为半径的圆上各点所处的物理环 境完全相同境完全相同 磁感应线是一组同心圆磁感应线是一组同心圆LlBd120RrRNI0 （r=其它）其它）lB drB 2rNI20B0与环的横截与环的横截面形状无关面形状无关12RrR（其它）（其它）讨论：若讨论：若)(212121RRrRR1-RrR 2有有常数rNn2nIB0 r2R1R其它rrB20120
20、2RrRrBNII 21BlIdF5-4：磁场对载流导线的作用磁场对载流导线的作用一、一段载流导线上的力一、一段载流导线上的力安培力安培力lId电流元电流元BBlIdFd2电流元电流元所在处所在处的磁场的磁场1)电流元受磁场的作用力电流元受磁场的作用力 -安培力公式安培力公式:2)一段载流导线受磁场的作用力一段载流导线受磁场的作用力:13、若处处、若处处 （不一定均匀）（不一定均匀）F=0Bld/BlIF dd sinIBlF BldIFl 0/FBlIBlFBl 2、均匀磁场中的闭合线圈、均匀磁场中的闭合线圈 F=0Il直导线直导线任意导线任意导线Il ll 长度矢量长度矢量说明：说明：1、
21、B 二、匀强磁场中载二、匀强磁场中载流导线的受力：流导线的受力：llld12B 均匀磁场中放置一半径为均匀磁场中放置一半径为R R的半圆形导线，电的半圆形导线，电流强度为流强度为I I，导线两端连线与磁感强度方向夹角导线两端连线与磁感强度方向夹角 =30，求此段圆弧电流受的磁力。，求此段圆弧电流受的磁力。I例例1:1:2R长度矢量长度矢量l解：解：Bl IFl方向方向 sinIlBF Rl2o30 IRBF 例例2:求图示半圆在均匀磁场中所受的磁场力求图示半圆在均匀磁场中所受的磁场力yxOlId解解:方法一：取电流元如图所示方法一：取电流元如图所示,则有则有:BlIdFd大小大小:IdlBdF
22、 方向如图所示方向如图所示由对称性由对称性:0 xFLydFFFcos2/2/cosIdlBIBR2方向沿方向沿y轴正向轴正向.方法二：利用前面给出的公式：方法二：利用前面给出的公式：Bl IFIlI F 的方向沿的方向沿y轴正方向。轴正方向。F的大小为：的大小为：IBRIlBF22sin与方法一的结果完全相同。与方法一的结果完全相同。2/2/cosdIRB三、非匀强磁场的情况：三、非匀强磁场的情况：例例3:3:一长直电流一长直电流I I旁边垂直放一长度为旁边垂直放一长度为L L的直线电流的直线电流i i，其近端与长直电流相距为其近端与长直电流相距为a,a,求：电流求：电流i i受的力。受的力
23、。adxxIi解解:XxIB20BidlFd各各dFdF的方向是相同的的方向是相同的iBdxFLaadxxiILaa20aLaiIFln20BFd力力F F的方向是向上的。的方向是向上的。例例4:载有电流载有电流I1的长直导线边有的长直导线边有一与之共面的载有电流为一与之共面的载有电流为I2的三的三角形导线，求角形导线，求I1作用于三角形各作用于三角形各边的磁场力？边的磁场力？解：电流解：电流I1在三角形区域产生的磁在三角形区域产生的磁场为：场为：x2IB10 方向：垂直纸面向里方向：垂直纸面向里I1I2XYOxbABCLAB边受力为边受力为:ABBIF21ABIbI2102tan2210Lb
24、II故故:iLbIIFtan22101BC受力受力:LbbBdxIF22dxIxILbb2102bLbIIln2210jbLbIIFln22102AC边受到的力边受到的力:取微元取微元l dI2则则:Bl dIFd2AC上各电流元受力上各电流元受力方向一致方向一致33210233LLdlxIIdFFbbLxdxIIcos2210bLbIIlncos2210I1I2XYOxbABCLl dI2lcoscosdxdlxLblibLbIIFsinlncos22103jbLbIIcoslncos2210ibLbbLIIFFFFtanln2210321合力是否为零合力是否为零?是否与前面的讨论的结论矛盾
25、是否与前面的讨论的结论矛盾?iLbIIFtan22101jbLbIIFln22102ibLbIIFtanln22103jbLbIIln2210bLbIIFlncos22103方向斜向下方与方向斜向下方与X轴的夹角为轴的夹角为(+/2)/2)rIIf 221021I1I2r11lId22lIdB21B12 rIB 22012 12Fd 方向方向121112ddBlIF 121012d2dlrIIF 方向方向 11212dldFfrII 221021Fd同流向，同流向，相吸引；相吸引；逆流向，逆流向，相排斥。相排斥。rIB 21021 方向方向212221ddBlIF 212021d2dlrIIF
26、 方向方向 电流强度安培的定义：电流强度安培的定义：r=1m=210-7Nm-12112ff21II =1A四、平行电流间的相互作用力四、平行电流间的相互作用力 安培的定义安培的定义:dlv一、导体中的电流一、导体中的电流qnvsI q 载流子电量载流子电量n 载流子数密度载流子数密度v 载流子飘移速度载流子飘移速度s 导线的横截面积导线的横截面积 5-5：洛伦兹力公式与霍尔效应洛伦兹力公式与霍尔效应电流元中的电流元中的载流子数载流子数nsdldN 电势差电势差=UBlIdFd电流元受磁场的作用力电流元受磁场的作用力 -安培力公式安培力公式:qnvsI nsdldN BlqnSvdFdBdNv
27、qFdBvqdNFdf洛仑兹力公式洛仑兹力公式二、洛伦兹力公式：二、洛伦兹力公式：Bd-霍耳电压霍耳电压UH/VIvmFeFBveFmEeFeBvEBvvBE lvBUHenvSI ldS dIBneUH1dIBRH三、霍尔效应：三、霍尔效应：金属导体的（载流金属导体的（载流子带负电荷）子带负电荷）Bd-/VIvmFeF载流子带正电载流子带正电荷时的情况荷时的情况一、安培环路定理的应用：一、安培环路定理的应用：用来求解具有对称性的电流分布所产生的的磁场用来求解具有对称性的电流分布所产生的的磁场例例1求：无限长直线电流的磁场求：无限长直线电流的磁场I解：对称性分析解：对称性分析磁感应线是与磁感应
28、线是与电流垂直平面上的同心圆。电流垂直平面上的同心圆。rIlBL0drB 2rIB 20 l dB0rBBl/d选环路选环路LB 5-6：恒恒 定定 磁磁 场场 习习 题题 课课例例 2:无限长直圆柱形载流导线（无限长直圆柱形载流导线（R，I 均匀均匀 分布）分布）的磁场的磁场I解：对称性分析解：对称性分析0磁场是磁场是轴对称分布轴对称分布：1）磁感应线为垂直于对称轴的）磁感应线为垂直于对称轴的同心圆。同心圆。2）同一条磁感应线上各点的磁感应强度的大小相等）同一条磁感应线上各点的磁感应强度的大小相等。电流分布电流分布的对称性的对称性磁场分布磁场分布的对称性的对称性结论：结论：1dI2dI1dB
29、dB2dBr选回路为同心圆选回路为同心圆 r rBdI0 Rr rB 2 rI 20 B Rr 220rRI Rr 202RIr Rr r0BRabcd 二、磁场作用在载流线圈上的力矩二、磁场作用在载流线圈上的力矩1.均匀磁场均匀磁场l1l2IB0l0 FBIlFab2 sin1BIlFbc BIlFcd2 sin1BIlFbda 向前向前向后向后向下向下向上向上B cdFabF?Mne cos2121lFMab cos1lFab cos12BlIl cosISBM sinISBM B cdFabF ne sinISBM BeSIMnnmeSIP线圈线圈磁矩磁矩BPMm最小0/MBPm最大BPMBPmm0 稳定稳定平衡平衡 非稳定非稳定平衡平衡以上结论对任意形状平面线圈成立以上结论对任意形状平面线圈成立磁力矩力图使磁矩转向磁力矩力图使磁矩转向磁场的方向磁场的方向
