1、-2-从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.-3-题型一题型二题型三题型四1.在解决线线平行、线面平行问题,若题目中已出现了中点,则可考虑在图形中取中点,构成中位线进行证明.2.要证线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,再利用线面平行的判定定理证明
2、.3.要证线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行.4.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.5.用向量方法证明线线、线面平行或垂直的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面内相异三点(其中,l1与l2不重合,与不重合,l1不在内),则-4-题型一题型二题型三题型四(1)l1l2ab存在实数,使b=a(a0);l1l2abab=0.(2)l1ae1存在实数,使e1=a(a0);l1ae1=0存在非零实数1,2,使-5-题型一题型二题型三题型四例1在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA平面A
3、BCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.求证:EF平面DCP.-6-题型一题型二题型三题型四证明:(方法一)取PC的中点M,连接DM,MF.MFDE,MF=DE,四边形DEFM为平行四边形,EFDM.EF平面DCP,DM平面DCP,EF平面DCP.-7-题型一题型二题型三题型四(方法二)取PA的中点N,连接NE,NF.E是AD的中点,N是PA的中点,NEDP.又F是PB的中点,N是PA的中点,NFAB.ABCD,NFCD.NENF=N,NE平面NEF,NF平面NEF,DP平面PCD,CD平面PCD,平面NEF平面PCD.EF平面NEF,EF平面DCP.-8-题型一题型二题型三
4、题型四(方法三)取BC的中点G,连接EG,FG.在正方形ABCD中,E是AD的中点,G是BC的中点,GECD.又F是PB的中点,G是BC的中点,GFPC.又PCCD=C,GE平面GEF,GF平面GEF,PC平面PCD,CD平面PCD,平面GEF平面PCD.EF平面GEF,EF平面DCP.-9-题型一题型二题型三题型四(方法四)PA平面ABCD,且四边形ABCD是正方形,AD,AB,AP两两垂直,以A为原点,AP,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,-10-题型一题型二题型三题型四对点训练对点训练1如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EFAC,AB=
5、,CE=EF=1.求证:(1)AF平面BDE;(2)CF平面BDE.-11-题型一题型二题型三题型四证明：(1)设AC与BD交于点G,EFAG,EF=1,AG=AC=1,四边形AGEF为平行四边形,AFEG.EG平面BDE,AF平面BDE,AF平面BDE.(2)连接FG,EFCG,EF=CG=1,CE=1,平行四边形CEFG为菱形,CFEG.四边形ABCD为正方形,BDAC.又平面ACEF平面ABCD,平面ACEF平面ABCD=AC,BD平面ACEF,CFBD.又BDEG=G,CF平面BDE.-12-题型一题型二题型三题型四1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义:判断两个平面没有公共点.(
6、2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.-13-题型一题型二题型三题型四-14-题型一题型二题型三题型四例2如图,CC1平面ABC,平面ABB1A1平面ABC,四边形ABB1A1为正方形,ABC=60,BC=CC1=AB=2,点E在棱BB1上.(1)若F为A1B1的中点,E为BB1的中点,证明:平面EC1F平面A1BC;-15-题型
7、一题型二题型三题型四(1)证明:平面ABB1A1平面ABC,BB1BA,平面ABB1A1平面ABC=AB,BB1平面ABC.又CC1平面ABC,BB1CC1.四边形CC1EB为平行四边形,C1EBC.又BC平面A1BC,C1E平面A1BC,C1E平面A1BC.BE=EB1,A1F=FB1,EFA1B.又A1B平面A1BC,EF平面A1BC,EF平面A1BC.又C1EEF=E,C1E平面EC1F,FE平面EC1F,平面EC1F平面A1BC.-16-题型一题型二题型三题型四(2)解:在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=12,AB2=AC2+BC2,ABC为直角
8、三角形,且ACB=90,ACBC.由CC1平面ABC,得CC1AC,CC1BC,CA,CB,CC1两两垂直.-17-题型一题型二题型三题型四-18-题型一题型二题型三题型四化简得122-6+5=0.由于0),则F(1,2,h).所以BF平面ADE.-39-题型一题型二题型三题型四-40-题型一题型二题型三题型四-41-1.线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.2.用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况建立空间直角坐标系,建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征,尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线,若找不到,要想法去构造.用空间向量解决的主要立体几何问题有平行、垂直、求角、求距离等.
