1、11级15班 雷寅排列组合与概率初步排列组合与概率初步 引入：两个基本原理分类计数原理（亦称加法原理）做一件事，完成它可以有 n 类方案，在第 一类方案中有 m1 1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 2 种不同的方法，在 第n 类办法中有 mn n 种不同的方法 那么 完成这件事共有 Nm1 1 十 m2 2 十 十 mn n 种不同的方法 A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有a+b+ca+b+c种种分步计数原理（亦称乘法原理）做一件事，需要分成 n 个步骤，做第一 步有 m1 1 种不同的方法，做第二步有 m2 2 种不同的方
2、法，做第 n 步有 mn n 种 不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1 1m2 2mn n 种不同的方法那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有a ab b种种从从A A地到地到B B地须经由地须经由C C地转车地转车A地B地C地火车有a班次汽车有b班次有何区别？(o?)备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法 都能实现目的A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同A地B地C地火车有a班次汽车有b班次Example 书架
3、上层放有书架上层放有 6 6 本不同的数学书，下层本不同的数学书，下层放放 有有 5 5 本不同的语文书本不同的语文书 1 1）从中任取一本，取法种数有（）从中任取一本，取法种数有（）A.5 B.6 C.10 D.11 A.5 B.6 C.10 D.11 2 2）从中任取数学书与语文书各一本，）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？有多少的取法？A.5 B.6 C.10 D.30 A.5 B.6 C.10 D.30排列组合排列 所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的
4、一个排列排列数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排 列数，用符号 A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!此外规定0!=1Example 有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成4位位数互不相同的密码，共有多少个不同的密码？A(9，4)=9!/5!Example 有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成位数互不相同的四位数，共有多少个不同的密码？8A(8，3)A(9，4)-A(8，3)组合 组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序 从n个不同元素中，任取
5、m(mn)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合组合数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!m!)C(n,m)=C(n,n-m)Example 从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会，则不同的选法有多少种？C(4，2)C(3，2)二项式定理（a+b)n=C（n，0）anb0+C（n，1）a(n-1）b1+C（n，n）a0bn二项式定理（a+b)n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数C（n，r）(r0，1，2，n)叫做
6、二项式系数。二项式定理 二项展开式的通项公式（简称通项）为C（n，r）(a)(n-r)br，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式 展开式的系数列Example (x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为 22C(10,2)-1=179排列组合综合例题排列组合综合例题 打包法 插空法 反面法打包法打包法 在解决某几个元素要求相邻问题时，可在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素整体考虑将相邻元素视为一个大元素Example 有有8 8个不同的球，其中红球个不同的球，其中红球3 3个，
7、黑球个，黑球2 2个，个，白球白球3 3个，若将这些球排成一列，则红个，若将这些球排成一列，则红球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的 排法共有多少种？排法共有多少种？A(3,3)A(2,2)A(5,5)Example 若有若有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相，五个人排成一排照相，A A和和B B不不 能相邻，则不同的排法有多少种？能相邻，则不同的排法有多少种？C(3,1)A(2,2)A(3,3)+A(3,2)A(2,2)A(2,2)+A(3,3)A(2,2)插空法插空法 插空法一般用于解决间隔问题（要求某插空法一般用于解决间隔问题（要求
8、某些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的问题），解决此类问题，可以先将其他的问题），解决此类问题，可以先将其他的元素排号，再将指定的不相邻元素插入元素排号，再将指定的不相邻元素插入他们的空隙及两端位置他们的空隙及两端位置Example 若有若有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相，五个人排成一排照相，A A和和B B不不 能相邻，则不同的排法有多少种？能相邻，则不同的排法有多少种？A(3,3)A(4,2)反面法反面法 含含“至多至多”、“至少至少”的排列组合问题是的排列组合问题是需需要分类的，有时从反面思考，能够简化运要分类的，有时从反面思考
9、，能够简化运算算Example 在一批共在一批共100100件产品中，有件产品中，有3 3件次品，件次品，9797件件 正品，某次质检过程中须从这批产品正品，某次质检过程中须从这批产品中抽检中抽检3 3件，则抽到次品的抽法有多少种？件，则抽到次品的抽法有多少种？C(100,3)-A(97,3)组合中的分组问题组合中的分组问题 非平均分组与分配 平均分组与分配 部分平均分组与分配非平均分组与分配非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了请了9位评委老师位评委老师(1)若将若将9位评委老师分成三组进行打分，使位评委老师分成三组进行打分，使一组一组
10、2人、一组人、一组3人、一组人、一组4人的不同分法共人的不同分法共有多少种？有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)非平均分组与分配非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了请了9位评委老师位评委老师(2)若将若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处西三个位置进行打分，使一处2人，一处人，一处3人，一处人，一处4人的不同分法有多少种？人的不同分法有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)A(3,3)非平均分组与分配非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀某高中在一
11、次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了请了9位评委老师位评委老师(3)若将若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边西三个位置进行打分，使东边2人，南边人，南边3人，西边人，西边4人的不同分法有多少种？人的不同分法有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)非平均分组与分配非平均分组与分配总结：若总结：若n个元素分成个元素分成m组，组，m1,m2,.,mm为各组的元素个数且各不相等，则非平均为各组的元素个数且各不相等，则非平均非组的方法种数非组的方法种数N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3).C(mm,mm);不定向分不
12、定向分配的分法种数配的分法种数M=NA(m,m);定向的非平定向的非平均分配问题与非平均分组一样均分配问题与非平均分组一样平均分组与分配平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(1)若将若将9位评委老师平均分成三组打分，则位评委老师平均分成三组打分，则不同分法有多少种？不同分法有多少种？C(9,3)C(6,3)C(3,3)/A(3,3)平均分组与分配平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(2)若将若将9位评委老师平均分成三组，并分到位评委
13、老师平均分成三组，并分到东、西、南三个位置打分，则不同分法东、西、南三个位置打分，则不同分法有多少种？有多少种？C(9,3)C(6,3)C(3,3)平均分组与分配平均分组与分配总结：总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题，而实际中不含排列问题，隐含了排列问题，而实际中不含排列问题，故要除以组数的全排列数，而第二问则直故要除以组数的全排列数，而第二问则直接得出了答案。也可以理解为接得出了答案。也可以理解为(2)问问的答案为的答案为(1)问的答案乘以组数的全排列数问的答案乘以组数的全排列数部分平均分组与分配部分平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈
14、大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(1)若将若将9位评委老师平均分成四组打分，一位评委老师平均分成四组打分，一组组3人，其余每组人，其余每组2人，则不同分法有多人，则不同分法有多少种？少种？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)部分平均分组与分配部分平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(2)若将若将9位评委老师分到东、南、西、北四位评委老师分到东、南、西、北四处打分，一处处打分，一处3人，其余每处人，其余每处2人，则不人，则不同分法有多少种？同分
15、法有多少种？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)A(4,4)部分平均分组与分配部分平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(3)若将若将9位评委老师分到四处打分，使东位评委老师分到四处打分，使东边边3人，其余每处人，其余每处2人，则不同分法有多人，则不同分法有多少种？少种？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)部分平均分组与分配部分平均分组与分配总结：部分平均分组问题先按总结：部分平均分组问题先按“非平均分组非平均分组”列式后再除以等分组的阶乘；部分均匀分列式后再除以等分组的阶乘；
16、部分均匀分配问题可以遵循先分组后排列的原则配问题可以遵循先分组后排列的原则概率相互独立事件事件事件A A是否发生对事件是否发生对事件B B发生的概率没有影发生的概率没有影响，则称两个事件响，则称两个事件A A、B B相互独立相互独立二项分布用用表示随机试验的结果表示随机试验的结果如果事件发生的概率是如果事件发生的概率是P,P,则不发生的概则不发生的概 率率q=1-pq=1-p，N N次独立重复实验中发生次独立重复实验中发生K K次的概次的概率是率是P(=K)=C(n,k)P(=K)=C(n,k)pk pk (1-p)(n-(1-p)(n-k)k)Example 随机抛掷随机抛掷100100次硬
17、币，恰有次硬币，恰有5050次正面朝上次正面朝上的概率是多少？的概率是多少？C(100，50)(1/2)50(1-1/2)50几何分布几何分布（几何分布（Geometric distributionGeometric distribution）是离）是离散型散型概率分布。其中一种定义为：在第概率分布。其中一种定义为：在第n n次伯努次伯努 利试验中，试验利试验中，试验k k次才得到第一次成功的机次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前率。详细的说，是：前k-1k-1次皆失败，第次皆失败，第k k次成功的概率次成功的概率P(=K)=(1-p)k P(=K)=(1-p)k p pExample 随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出第一次现正面的概率是多少？第一次现正面的概率是多少？(1-1/2)9(1/2)
