1、二次函数与一元二次方程专题（原卷版） 考点1：二次函数与一元二次方程的根之间关系【基础题】1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-2,0)，(5,0)，则一元二次方程 ax+bx+c=0的两个解是( )A. x1=-2，x2=5 B. x1=2，x2=-5 C.x1=-2，x2=-5 D.x1=2，x2=52.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是 ( ) A. x1=1,x=-1 B. x1=1,x=2 C. x1=1,x=0 D. x1=1,x=3 3已知二次函数y=ax2+2a
2、x-3的部分图像如图，由图像可知关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=( )A. -1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 4.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ).A. (2，-3) B. (2，1) C. (2，3) D. (3，2)5.关于x的一元二次方程x2xn=0没有实数根，则抛物线y=x2-x-n的顶点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6.已知二次函数y=-x2+bx+c的顶点为(1，5)，那么关于x的一元二次方程-x2
3、+bx+c-4=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. a0 B. b2-4ac0 C. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=5，x2=-1D.不等式ax2+bx+c0的解集是0x58.【经典】已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:以下结论正确的是( )A. 抛物线y=ax2+bx+c的开口向下 B. 当x0时，x的取值范围是0x0)经过第四象限中的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )。A.
4、有两个大于1的不相等实数根 B.有两个小于1的不相等实数根C.有两个实数根，其中一个大于1，另一个小于1D.没有实数根【经典+数形结合思想】3.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m，n(mn)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且 ab则a，b，m，n的大小关系是( ) A. mabn B. a m n b C. ambn D. ma nb4.若x1，x2(x1x2)是关于x的方程(x+1)(3-x)+p2=0(p为常数)的两根，下列结论中正确的是( )A.
5、x1-13x2 B.x1-13x2 C.-1x13x2 D.-1x1x235.【经典】抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图像如图4所示，则以下结论:b2-4ac0;a+b+c0;c-a=2;方程ax+bx+c-2=0有两个相等的实数根,其中正确结论的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；4a+2b+c0；一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1；使y3成立的x的取值范围是x0其中正确的个数有（
6、）A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个7.已知二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图象关于y轴对称，则此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B、C构成的ABC的面积是_【经典+函数与方程+图象平移】8.抛物线y=a(x-12)2+k经过A(-3，0)，B(m，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x-32)2+k=0 的解是_。【经典+函数与方程+增减性求最值】9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-3(m0)与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为(3,0).(1)求点B的坐标及m的值;(2)画出函数的图象;(3)当-2x3时，结合函数图象直接写出y的取值范围.【经典
7、+根的判别式+割补法】10.已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x。(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点，当k=-2时,求OAB的面积。考点2：二次函数与一元二次方程根的判别式之间关系【基础题】1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的公共点的个数为（ ）A.0 B. 1 C. 2 D. 32.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )A. m-1 B. 0m1 C. m1【易错题+漏掉二次项系数】3.抛物线y=ax2+3x-1与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）。A. a0 B. a-49C.
8、 a94D. a-94,且a0【易错题+分类讨论】4.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点.则k的取值范围是( ) 。A.k4 B. k4 C. k4且k3 D. k4且k3【2022山东潍坊】5.抛物线y=x2+x+c 与x轴只有一个公共点，则c的值为( )A.-14 B. 14 C. -4 D.4【易错题+分类讨论】6.若函数y=(m-1)x2-6x+32m的图象与x轴有且只有一个公共点，则m的值为( )A. -2或3 B. -2或-3 C. 1或-2或3 D. 1或-2或-3【易错题+分类讨论】7已知函数ykx2x1的图象与x轴只有一个交点，则交点坐标为_【易错题+分类
9、讨论】8.若函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）A. b1，且b0 B. b1 C. 0b1 D. b1【2020山东青岛+根的判别式】9.抛物线y=2x2+2(k-1)x-k（k为常数）与x轴交点的个数是_10.抛物线y=-x2+6x-4与坐标轴的公共点个数为 。【经典+交点坐标+数形结合思想】11.已知二次函数y1=x2+bx-3的图象与直线y2=x+1交于点A(-1，0)， C(4, m).(1)b= ，m= 。(2)将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线解析式.【根的判别式+数形结合思想】12已知二次函数y=x
10、2-2mx+m2+3（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？【提高题】1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的公共点个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2【经典+恒成立问题】2.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（ ） A. a0，b2-4ac0B. a0，b2-4ac0C. a0，b2-4ac0D. a0，b2-4ac03.已知A=x2+a，B=2x，若对于所有的实数x，A的值始终比B的值大
11、，则a的值可能是( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【分类讨论思想】4.在平面直角坐标系中，已知ab，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则( ) A. M=N-1或M=N+1 B. M=N或M=N+1 C. M=N-1或M=N+2 D. M=N或M=N-1【经典+函数与方程+分类讨论思想】5已知关于x的函数y=（k1）x2+4x+k的图象与坐标轴只有2个交点，那么k的值为 。【新定义题目】6.定义:若两个函数图象与x轴有一个共同点的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”.如 y=x2-4与y=(x+1)(x-
12、2)的图象与x轴的共同交点为(2，0)，那么这两个函数就是“共根函数”. 若y=2x2-4x与y=x2-3x+m-1为“共根函数”，则m的值为( )A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3【数形结合思想】7.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx-m=0有实数根,则m的最小值为 ( ) A. 3 B. -3 C. 32 D. -32【数形结合思想】8.二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象如图所示，若lax2+bx+c|=k(k0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A. k-3 C. k3 【2021贵州铜仁+数形结合思想】9.已知抛物线y=a(x-h
13、)2+k与x轴有两个交点 A(-1,0),B(3,0),抛物线y=a(x-h-m)2+k与x轴的一个交点是(4,0),则m的值是( )。 A. 5 B. -1 C. 5或1 D. -5或-1【经典+函数与方程+数形结合思想*】10.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根，则t的取值范围是( )。 A.2t2 C. 6t11 D. 2t6【2021山东淄博 函数与方程+根的判别式+配方】11对于任意实数a，抛物线yx2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 【2019山东威海 待定系数法+函数与方
14、程】12：在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像时，甲写错了一次项的系数，列表如下：x-10123Y甲63236乙写错了常数项，列表如下：x-10123Y乙-2-12714通过上述信息，解决下列问题：（1）求原二次函数y=ax2+bx+c(a0)的表达式；（2）对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)，当x时，y的值随x的值的增大而增大；（3）若关于x的方程ax2+bx+c= k(a0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【过定点问题+根的判别式】13.下列关于二次函数y=x2-（m+1)x+m(m为常数)的结论:该函数图像是开口向上的抛物线;该函数图像一定经过点(1，0);该函数图
15、像与x轴有两个公共点;该函数图像的顶点在函数y=-(x-1)2的图像上.其中所有正确结论的序号是 。【过定点问题+分类讨论思想】14已知函数y=mx2-6x+1 (m是常数)(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值【函数与方程+韦达定理】15.抛物线y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的解分别为x1，X2，则x1+x2的值为( ) A. 2 B. 1 C. -1 D. -216.若抛物线y=x2-x-k与x轴的两个交点都在x轴正半轴上,则k的取值范围是 。17.已知二次函数y
16、=x2+2mx+m2-1(m为常数).(1)求证:不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点:(2)若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围。18.已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4 (1)探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数为2，1，0 (2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12+x22=5与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式19.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2(1)求k的取值范围;(2)试说明x10，x20;(3)若抛物
17、线y=x2-(2k-3)x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OAOB-3，求 k的值.【抛物线与x轴交点间距离+数形结合】20抛物线y=ax2+bx+c(a0)满足条件：（1）4a-b=0；（2）a-b+c0；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2以下有四个结论：a0；c0；a+b+c0；c4ac3，其中所有正确结论的序号是【抛物线与x轴交点间距离+韦达定理】21已知：关于x的方程：mx2-(3m-1）x+2m-2=0（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2-(3m-1）x+2m-2的图象与x轴
18、两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式【二次函数+根的判别式+斜边中线定理】22已知抛物线y=12x2-x+k与x轴有两个不同的交点 (1)求k的取值范围； (2)设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式【综合提升】【2021山东潍坊+分类讨论+数形结合思想】1.在直角坐标系中,若三点A（1,2）,B（2,2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线yax2+bx-2（a0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论不正确是（ ）A. 抛物线的对称轴是直线x= 12B. 抛物线与x轴的交点坐标是（-12, 0）和（2,0）C. 当t-
19、1 2时,关于x的一元二次方程ax2+bx-2t有两个不相等的实数根D. 若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n0,则h0【2020武汉-数形结合思想】2.抛物线y=ax+bx+c(a，b，c为常数，a0)经过A(2，0)，B(-4,0)两点，下列四个结论:一元二次方程ax+bx+c=0的根为x1=2，x2=-4若点C(-5,y1)，D(，y2)在该抛物线上，则 y10)的根为整数，则p的值只有两个.其中正确的结论是 (填写序号)。【经典+二次函数与方程+数形结合】3.已知函数y=-x2+2x(x0）-x(x0） 的图象如图所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的
20、取值范围为 .【2021四川广元+数形结合】将二次函数=-x+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为( )A. -214或-3 B. -134或-3 C. 214或-3 D. 134或-3【数形结合思想】如图，抛物线y=-12x2-7x+452与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=12x+m与C1、C共有3个不同的交点，则m的取值范围是( ) A. -458m-52B. -298m-12C. -298m-52D. -458m-12
21、考点3 利用二次函数求一元二次方程近似解1.如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值:根据表中数据判断，方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是( )A.6x6.17 B.6.17x6.18 C.6.18x6.19 D.6.19x6.202.如图，点A(2.18,-0.51)和 B(2.68，0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象上，则方程ax2+bx+c=0的一个近似解可能是( )A. 2.18 B. 2.68 C. -0.51 D. 2.453.【经典】下表是一组二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值:那么方程ax2+bx+c=0的一个近似根是( )A. 1 B. 1.1 C. 1.2 D. 1.34.【易错题】根据如表的对应值，可判断关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a0)必有一个根满足( )A2x1.5 B0.5x0C0x0.5D1x1.5【函数+方程+近似解+不等式】5.关于抛物线y=ax2-2x+1(a0)，给出下列结论:当a0时，抛物线与直线y=2x+2没有交点:若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点(0，0)与(1，0)之间;若抛物线的顶点在点(0，0)，(2，0)，(0，2)所围成的三角形区域内(包括边界)，则a1其中正确结论的序号是 。13
