1、14.2.2异面直线异面直线所成角所成角 习题课习题课预备知识预备知识角的知识角的知识正弦定理正弦定理a=2RsinA a=2RsinAS ABC=21bc sinA余弦定理余弦定理ABCbcacosA=bcacb2222 ABCbca二、数学思想、方法、步骤：二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化化归与转化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。2.2.方法：方法：3.3.步骤：步骤：求异面直线所成的角：求异面直
2、线所成的角：作（找）证 点 算1.1.数学思想：数学思想：平移平移 构造可解三角形构造可解三角形1、在正方体、在正方体AC1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，求异面直线的中点，求异面直线CM和和D1N所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1MN巩固练习巩固练习:2、在正方体、在正方体AC1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，求异面直线的中点，求异面直线A1M和和D1N所成的角？所成的角？ABDCA1B1D1C1M巩固练习巩固练习:取取BBBB1 1的中点的中点MM，连，连O O1 1MM，则，则O O1 1MM D D1 1B B，如图，连如图，连B B1 1
3、D D1 1与与A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 A A1 1O O1 1MM就是异面直线就是异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角（或其补角所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：解：为什么？为什么？,55cos11MOA解法二解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法把空间图形补成熟悉的把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异的在于易于发现两条异面直线的关系。面直线的关系。F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二解法二：3,52,51111ECEACA在
4、在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11ECAA1C1与与BD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的长方体B1F，55例2A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。ABCDEFG解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是
5、AD的中点，故EG/AF，所以GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。.4321aAFEG.43232121aABDFFG.47)21()43(2222aABABFCFGCG.32cosGECEGC中用余弦定理得在异面直线AF、CE所成角的余弦值是 32例2A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。ABCDEFP另解另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，AP/EC。故PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。,23aAF.27120cos222aPCFCP
6、CFCPF.32aECAP.32cos,PAFPAF得中应用余弦定理异面直线AF、CE所成角的余弦值是 32练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEF假设EF与PC不是异面直线,则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC,PPBCPEPBCPAPBCP A B CEPBC平面平面即平面共面平面这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异
7、面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEFMMEF为EF与PC所成的角或其补角1111,22/MEPCMFABMEFPCABEMMFMEPCMFAB中EF与PC所成的角为45练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。（1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。ABCPEFM1111,22/MEPCMFABMEFPCABEMMFMEPCMFAB中222EFEMMF练习2如图，a、b为异面直线，直线a上的线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm，E、F分别为AD、BC的中
8、点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数ABCDEFabADCBFE例例2 2、在三棱锥、在三棱锥A-A-BCDBCD中中AD=BC=2aAD=BC=2a，E E，F F分别是分别是ABAB，CDCD的中的中点点EF=EF=，求，求ADAD和和BCBC所成的角所成的角a3MEMF=120EMF=120AD和和BC所成的角为所成的角为60 切记切记:别忘了角的范围别忘了角的范围!PABCMN3、空间四边形、空间四边形P-ABC中，中，M，N分分别是别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=4，MN=3，求求PA与与BC所成的角？所成的角？EADCBA1D1C1B1变题变题:已知正方体已
9、知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为a.a.O O为底面中心，为底面中心，F F为为DDDD1 1中点中点E E在在A A1 1B B1 1上上,求求AFAF与与OEOE所成的角所成的角OEFNADCBA1D1C1B12 2、若、若M M为为A A1 1B B1 1的中点，的中点，N N为为BBBB1 1的中点，的中点，求异面直线求异面直线AMAM与与CNCN所成的角；所成的角；NMFE例例4、如图，在三棱锥如图，在三棱锥DABC中，中，DA平面平面ABC，ACB=90，ABD=30，AC=BC，求异，求异面直线面直线AB 与与CD所成
10、的角的余弦值。所成的角的余弦值。ABCD四面体四面体ABCD的棱的棱长均为长均为a,E，F分别分别为棱为棱BC，AD的中点，的中点，（1）求异面直线）求异面直线CF和和BD所成的角的余所成的角的余弦值。弦值。（2）求）求CF与与DE所所成的角。成的角。思考题ABCDEFPQ（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：1 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围：（1）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（2）当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为（3）当当 cos =0 时，所成角为时，所成角为 3、当异面直线当异面直线垂直垂直时，还可应用线面垂直的有时，还可应用线面垂直的有 关知识关知识解决。解决。90o（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角
