1、变化率与导数、导数的计算 1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数 一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是(2)导函数 当x变化时，f(x)称为f(x)的导函数，则f(x)注意f(x)及f(x0)的区别，f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在点x0处的函数值 导数研究在xx0处及其附近函数的改变量y与自变量的改变量x之比的极限，它是一个局部性的概念，若 存在，则函数yf(x)在xx0处就有导数，否则就没有导数.2导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的 ，过点P的切线方程为：斜率yy0f
2、(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式(1)c (c为常数)；(2)(xn)(nN*)；(3)(sinx)；(4)(cosx)；(5)(ex)；(6)(ax)；(7)(lnx)；(8)(logax).0nxn1cosxsinxexaxlna 4导数运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)关于导数的加减法则，可推广到有限多个的情况，如f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)等.5复合函数的导数 设函数u(x)在点x处有导数u(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数yf(u)，则复合函数yf(x)在点x处也有导数，且
3、yx或写作fx(x)yuuxf(u)(x)答案：B 解析：yx22x，y|x11.切线的倾斜角为.答案：B 3设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根且f(x)2x2，则yf(x)的表达式是_ 解析：根据题意，知方程f(x)0有两个相等实根，可设f(x)a(xb)2，f(x)2a(xb)2a(xb)2x2.2a2,2ab2.a1，b1.f(x)(x1)2.答案：f(x)(x1)2 4函数y 的导数为_【例1】一物体在某一受力状态下的位移s(t)(单位：m)与运动时间t(单位：s)的关系为：s(t)t3(t0)(1)利用导数的定义求s(t)；(2)求该物体在t2秒时的瞬时速度v(2)
4、(1)会根据定义求导数(2)注意导数的意义的应用，如导数的几何意义是切线的斜率；位移关于时间t的导数为瞬时速度；速度v(t)关于时间t的导数为加速度.变式迁移 1用导数的定义求函数yx2axb(a，b为常数)的导数 思路分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆(2)设u2x3，则y(2x3)5 由yu5与u2x3复合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u42 10u410(2x3)4.解：(1)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4.或y(3x34x)(2x
5、1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)2 24x39x216x4.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.【例3】已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线y x 3垂直，求切点坐标与切线的方程 解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上 f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.
6、切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用xx0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键由导数的几何意义可知，点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)变式迁移 3(2009江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310 x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_ 解析：由曲线C：yx310 x3，得y3x210.又根据导数的几何意义，得3x2102，所以x2.又点P在第二象限内，所以x2，即点P的横坐标为2.将x2代入曲线方程，得y15，所以点P的
7、坐标为(2,15)故填(2,15)答案：(2,15)答案：C 变式迁移 4如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,答案：22 1根据导数的定义，求函数yf(x)在点x0处导数的方法 2曲线的切线(1)准确理解曲线的切线，需注意的两个方面 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线可能与曲线有2个以上的交点 曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧(2)曲线的切线的求法 若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解 点P(x0，y0)是切点的切线方程yy0f(x0)(xx0)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1.第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程 曲线“在点P处的切线”是以点P为切点，而“过点P的切线”，点P可能是切点，也可能不是切点，点P也可能不在已知曲线上，切线可能不只一条.
