1、考点51 直线与圆锥曲线1.直线与圆锥曲线的位置关系有_、_和_.2.判断直线与圆锥曲线的位置关系方法相交相切相离3.计算直线与圆锥曲线的相交弦长联立 ax2+bx+c=0，当a0，0时，由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，则弦长 =|x1x2|=.（其中k为直线的斜率，x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根）4.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题：常用中点坐标公式、韦达定理、点差法等.5.关于对称性问题：可根据点的对称性的求法类推.y 消去直线方程圆锥曲线方程caba21k21k212124xxx x1.直线y=x+2与抛物线y2=4x的公共点个数为（）A.1个B.2个C.0个D.
2、无法确定2.经过椭圆 +=1的一个焦点，且垂直于y轴的弦长为（）A.B.C.D.3.过双曲线 =1的右焦点，作垂直于实轴的直线，与双曲线交于A，B两点，则|AB|长为（）A.kB.C.k2D.28x 29y 438316332324x 2yk2k22k由 得x2+4=0，=160）有内接直角三角形OAB，直角顶点在原点，一条直角边所在直线方程是y2x，直角三角形的斜边长为 求p的值解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12x1，OAOB，5 3，221.2yx 22221111222,2,1=2,=,2ypxypxyxyx与21218,=24.=pxpxypyp，2284=84=5 3
3、22ppApBppABppp，2 39.13p【思路点拨】利用直线OA、OB的方程与抛物线方程联立，可以求出点A、B的坐标，再斜边AB的长结合距离公式建立关于p的方程，即可求出参数p的值【变式训练4】等边三角形ABC的三个顶点在抛物线y22x上，其中点A与原点重合，求三角形ABC的边长解：依题kOBtan30 kOCtan150 且BCx轴，OB方程为y由y y22x得x6，yB（6，），C（6，），ABC边长|AB|AC|BC|33，33，33x，33x，2 3.2 32 34 3.1直线与圆锥曲线的题目最常见的步骤是：联立方程组消元(消x或y)得到一元二次方程，再根据题意，结合韦达定理和弦
4、长公式解决有关交点个数、弦长、中点等相关问题2点差法是解直线与圆锥曲线相交问题的一种常用方法，其适用范围是必须有关于弦的中点问题，可以根据已知中点坐标求其他条件，也可以根据其他条件求中点的轨迹方程3直线与抛物线有一个公共点时，包括与对称轴平行的直线与抛物线相切的直线；直线与双曲线有一个公共点时，包括与渐近线平行的直线和与双曲线相切的直线A.基础训练一、选择题一、选择题1.若一条直线经过双曲线 =1的左焦点且与双曲线有一个交点，则该直线的斜率为（）A.3B.C.D.2.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|等于（）A.8B
5、.6C.4D.23.已知点P（4，2）是直线l被椭圆 +=1所截得的弦的中点，则直线l的方程是（）A.x2y=0B.x+2y4=0C.2x+3y+4=0D.x+2y8=029x 23y 13333236x 29y 焦点弦的弦长|AB|=|x1+x2|+p=8.DAD设弦端点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，且 =8，=2，即x1+x2=4，y1+y2=4.由 作差得 （）+（）=0，8（x2x1）=4（y2y1），即 =，即kAB=，点斜式方程为y2=（x4），即x+2y8=0.122xx122yy221122221,3691369yxyx13622x12x1922y12y136
6、192121yyxx121212过焦点且与双曲线有一个交点的直线即与双曲线的渐近线平行的直线.渐近线方程为y=x，直线斜率为 .33334.过点（0，1）且与抛物线x2=2y只有一个公共点的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5.点P是椭圆 +=1上一点，F1，F2是其焦点，若F1PF2=，则F1PF2面积为（）A.B.C.20D.216.抛物线y=x2上的点到直线2xy=4的距离最短的点的坐标是（）A.B.（1，1）C.D.（2，4）2100 x 264y 364336233331,2143,292如图所示.由于点（0，1）在抛物线的对称轴上，过点（0，1）与抛物线只有一个交点的直线只
7、有一条.a=10，b=8，c=6，|PF1|+|PF2|=2a=20，|F1F2|=2c=12，F1PF2=.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos ，即144=|PF1|2+|PF2|2|PF1|PF2|=（|PF1|+|PF2|）23|PF1|PF2|=4003|PF1|PF2|，|PF1|PF2|=，SF1PF2=|PF1|PF2|sin =.332563123 122563326433AAB设点（x0，）到直线2xy4=0的距离d=，当x0=1时，d最大=，此时点坐标为（1，1）.00245xy200245xx20135x（）35520 x二、
8、填空题二、填空题7.直线y=x+1与椭圆2x2+3y2=6的交点个数为_.8.已知点M（3，4），若抛物线y2=4x的焦点为F，则线段MF的中点坐标为_.9.已知双曲线 =1，被点Q（8，3）平分的弦所在直线的斜率为_.10.已知抛物线y2=2px（p0），过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，垂足为点M，N，则MFN=_.216x 29y 2（2，2）9032焦点F（1，0），MF的中点坐标为（2，2）.由定义知|AM|=|AF|，|BN|=|BF|，AMF=AFM，BFN=BNF.又AMx轴BN，AMF=AFM=MFO，BNF=BFN=NFO，MFN=MFO+NFO
9、=90.由 得5x2+6x3=0.=3645（3）0，有两个交点.221,236yxxy设弦的端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则 =8，=3，x1+x2=16，y1+y2=6.由 作差得 （）=（），即 （x2+x1）（x2x1）=（y2+y1）（y2y1），=，即k=.122xx122yy221122221,1691169yxyx11622x21x1922y21y116192121yyxx3232三、解答题三、解答题11.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为 的直线l：（1）求该直线方程；（2）设直线l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，求AOB的面积.4x1+x2=6，|AB
10、|=|x1+x2|+p=6+2=8.解：（1）F（1，0），k=tan =1，y=x1，即xy1=0.4（2）由 得x26x+1=0，2=1=4y xyx，O（0，0）到直线xy1=0的距离d=112=222，SAOB=8 =2 .1222212.已知过双曲线x2 =1的左焦点F作倾斜角为 的直线l交双曲线于A，B两点，求弦AB的长.23y 6解：a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4，a=1，b=，c=2，3F（2，0），k=tan =，633即直线方程为y=（x+2）.33由 得8x24x13=0，3=+233=3yxxy22（），x1+x2=，x1x2=，12183|AB|=3.522
11、445bb（）（）21k212124xxx xB.能力提升1.直线y=x3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_.48由 得x210 x+9=0，x1=1，x2=9，y1=2，y2=6，A（1，2），B（9，6），|AP|=x1+=1+1=2，|BQ|=x2+=9+1=10，|PQ|=|y2y1|=8，S梯形APQB=（|AP|+|BQ|）|PQ|=128=48.23,4yxyx2p2p12122.直线y=kx1与双曲线y2x2=1有一个交点，则k的值为_.3.AB为过抛物线y=x2焦点的弦，且|AB|=1，则弦AB的中点M到x轴的距离为_.114y=kx1过定点（0，1），即双曲线y2x2=1的一个顶点，y=kx1与双曲线有一个交点时即与渐近线平行，k=1.焦点弦|AB|=|y1+y2|+p=|y1+y2|+=1，|y1+y2|=，=，即AB中点到x轴距离为 .121212|2|yy 14144在抛物线y4x2上求一点P，使P点到直线y4x5的距离最短则P点到直线4xy50的距离为200,4.p xx解：根据题意，设22200000144|445|44+5|2,171717xxxxxd0111.22xdp当时 最小，此时，
