1、2005-11-5第五章第五章 李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫稳定性分析5.1 5.1 几个稳定性概念几个稳定性概念5.2 5.2 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论5.3 5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用李亚普诺夫方法在线性系统中应用5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统李雅普诺夫方法在非线性系统中应用中应用2005-11-55.1 5.1 几个稳定性概念几个稳定性概念000(,)()xf x tttx tx定义定义5.1.1 5.1.1 自治系统自治系统:零输入作用的系统零输入作用的系统其中，其中，x x为为n n维状态向量，维状态向量，f(.,.)f(.,.)为维向量函数。为维向
2、量函数。定义定义5.1.2 5.1.2 受扰运动：系统状态的零输入响应受扰运动：系统状态的零输入响应.定义定义5.1.3 5.1.3 平衡状态：平衡状态：如果对于所有的总存在着如果对于所有的总存在着(,)0ef x t 则称则称 为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。ex2005-11-5，且，且A A非奇异，则原点是系统唯一非奇异，则原点是系统唯一如果如果(,)ef x tAx的平衡状态的平衡状态，1/222212nxxxxx称为称为 向量的欧氏范数向量的欧氏范数定义定义5.1.45.1.4 欧氏范数欧氏范数：定义定义5.1.5 5.1.5 稳定稳定系统系统(5.1.1)(5.1.1)中，中，
3、0对对 ,若若0(,)0t 使得使得00(,),exxt 0tt时时,有有2005-11-5 00e(;,-x t x t）则称则称 为李雅普诺夫意义下稳定的。为李雅普诺夫意义下稳定的。ex定义定义5.1.6 5.1.6 渐近稳定渐近稳定：如果如果ex是李雅普诺夫意义稳定的，是李雅普诺夫意义稳定的，和和0(,)t 并且对于并且对于0,总总0(,)0,Tt 00e00(;,-x,(,)t x tttTt）使得使得ex则称则称 是渐近稳定的。是渐近稳定的。ex0(,)t 若若 ，则称，则称 为大范围为大范围(全局全局)渐近稳渐近稳定。定。2005-11-5 定义定义5.1.7 5.1.7 一致稳定
4、（渐近稳定）：一致稳定（渐近稳定）：0tex若若 的稳定性（渐近稳定）不依赖于的稳定性（渐近稳定）不依赖于 ，则称其，则称其为一致稳定（渐近稳定）。为一致稳定（渐近稳定）。2005-11-5图图5.1（a a）、）、(b)(b)、(c)(c)分别表示平衡状态为稳定、分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。定义定义5.1.8 5.1.8 不稳定不稳定:定义定义5.1.9 5.1.9 正定函数：正定函数：()V xx1 1）存在存在(0)0V2 2）0 x 3 3）当）当()S0 x()S0 0对于某个实数对于某个实数 和和
5、，在超球域，在超球域 内始终存在状态内始终存在状态 ，使得从该状态开始的，使得从该状态开始的受扰运动要突破超球域受扰运动要突破超球域2005-11-5()V x0(V(x)0)时，时，则称则称 是正定的（正半定的）。是正定的（正半定的）。()V x如果条件如果条件3 3）中不等式的符号反向，则称）中不等式的符号反向，则称 是负定的（负半定的）。是负定的（负半定的）。()V x 例例5.1.1 5.1.1 1 1）正定的正定的 2 2）半正定的半正定的 3 3）负定的负定的 4 4）半负定的半负定的 5 5）不定的不定的2212()V xxx212()()V xxx2212()V xxx 212
6、()(32)V xxx 2122()V xx xx2005-11-5定义定义5.1.10 5.1.10 二次型：二次型：()V xPP塞尔维斯特（塞尔维斯特（SylvesterSylvester）定理：）定理：为正定的充要条件是为正定的充要条件是 的所有顺序主子行列式的所有顺序主子行列式都是正的。如果都是正的。如果 的所有主子行列式为非负的的所有主子行列式为非负的（其中有的为零），那么（其中有的为零），那么 为半正定的。为半正定的。()TV xx Px()V x()V x如果如果 是正定的（半正定的），则是正定的（半正定的），则 将是负定将是负定的的 (半负定的半负定的)。例例5.1.2 5.
7、1.2 证明下列二次型函数是正定的。证明下列二次型函数是正定的。22212312231 3()104224V xxxxx xx xx x2005-11-51123231012()141211TxV xx Pxxxxxx解：二次型解：二次型 可以写为可以写为()V x,010 04111001011612401121412110因为因为0)(xV所以所以2005-11-55.2 5.2 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论5.2.1 5.2.1 李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一方法01111ynnnnyfyfyfyfA1111ennnnx xffxxffxx)()(2yoyGex)(xfx
8、设设 ，为孤立平衡点。为孤立平衡点。exxy（1 1）平衡点平移：令）平衡点平移：令)(exyfy则yyGAyy)()(exyf将将 在原点展开得在原点展开得 ，2005-11-5定理定理5.2.15.2.1Ayy(2)(2)近似线性化：近似线性化：exRe()0iA如果如果 ,则则 渐近稳定，渐近稳定，exRe()0A如果存在如果存在 ，则，则 不稳定；不稳定；()G y来决定。来决定。exRe()0A如如 ，则，则 的稳定性由高阶导的稳定性由高阶导数项数项,sin02110221ubxaxaxxx0010aa例例5.2.1 5.2.1 已知非线性系统已知非线性系统2005-11-5其中其中
9、 常数，试分析其平衡状态的稳定性。常数，试分析其平衡状态的稳定性。uU,2,1,0k,02exkUabxe2arcsin001知系统有平衡点知系统有平衡点2011200sin0 xaxa xbU解解:求平衡状态：由求平衡状态：由0k 下面仅对下面仅对 情况进行研究，其它情况类似情况进行研究，其它情况类似2005-11-51111ennnnx xffxxAffxx 11010aconxae计算计算2410211econxaaa01012econxaaIA由特征方程由特征方程 ，得，得010,0,aa设设 则则2005-11-5ex1cos0ex 当当 时，系统在时，系统在 渐近稳定；渐近稳定；2
10、111011111(4cos)()022eaaaxaa1cos0ex时，ex系统在系统在 不稳定不稳定;0cos1ex如果如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。其稳定性靠一次近似不能判断。2005-11-5 (,),(0,)0 xf x tftt5.2.2 5.2.2 直接法直接法定理定理5.2.2 5.2.2 假设系统的状态方程为假设系统的状态方程为(,)V x t如果存在一个具有连续偏导数的标量函数如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：并且满足条件：(,)V x t1 1）是正定的；是正定的；(,)V x t2 2）是负定的。是负定的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。
11、那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。2005-11-5(,)V x t,x 如果随着如果随着有有则在原点处的平衡则在原点处的平衡 状态状态是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。(,)0V x t(,)0V x t 0t定理定理5.2.3 5.2.3 如果如果并且对于任意并且对于任意00 x(,)V x t和和不恒等于零则系统在不恒等于零则系统在原点渐近稳定原点渐近稳定.(,)0V x t(,)0V x t 定理定理5.2.4 5.2.4 如果如果则原点不稳定则原点不稳定22121122221212()()xxx xxxxx xx 例例5.2.2 5.2.2 已知系统已知系统试用李雅普
12、诺夫第二方法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。2005-11-5原点处是大范围渐近稳定的原点处是大范围渐近稳定的222112212()222()0V xx xx xxx 0ex 解解:显然，原点显然，原点 是唯一平衡点，是唯一平衡点，2212()0V xxx取取 ，则，则()V x x 又因为当又因为当时，有时，有所以系统在所以系统在2112221212()()xxxxxxxx x 例例5.2.3 5.2.3 已知系统已知系统试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。2005-11-50ex 解解:系统具有唯一的平衡点系统具有唯一的平衡点2212(
13、)0V xxx 取取 222112212()222()0V xx xx xxx 则则()V x因为除原点处外，因为除原点处外，不会恒等于零。不会恒等于零。()V x x 当当时，时，所以系统在其原点所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。处大范围渐近稳定。112212xxxxxx 例例5.2.4 5.2.4 系统的状态方程为系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。试确定系统在其平衡状态的稳定性。2005-11-522112212()222()0W xx xx xxx2212()0W xxx0,ex 解解:系统具有唯一的平衡点系统具有唯一的平衡点取取则则于是知系统在原点处不稳定。于是知系统在
14、原点处不稳定。2005-11-51 1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。唯一的。2 2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。性的信息。3 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。4 4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳出该系统稳 定性方面的任何结论。定性方面的任何结论。5.2.3 5.2.3 几点说明几点说明2005-11-55 5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状）李雅普诺夫函数只
15、能判断其定义域内平衡状态的稳定性。态的稳定性。6 6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。在的。2005-11-55.3 5.3 李亚普诺夫方法在线性系统中应用李亚普诺夫方法在线性系统中应用5.3.1 5.3.1 稳定性分析稳定性分析xAx 定理定理4.3.1:4.3.1:系统在原点全局渐近稳定的系统在原点全局渐近稳定的TA PPAQ 充要条件为方程充要条件为方程,有唯一正定对称解有唯一正定对称解.xAx证明：充分性：考虑系统证明：充分性：考虑系统,nxR1,n nA
16、RA其中其中()()TTTTTTTTV xx Px x Pxx A Px x PAxx A P PA xx Qx()TV xx PxTPPo令令()0,V x 0ex 0,Q 如果如果 则大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。必要性：略。必要性：略。2005-11-50111xx1112111212221222010110111101pppppppp例例5.3.1:5.3.1:分析下列系统稳定性分析下列系统稳定性11121222ppPpp 解：令解：令TA PPAI 得得则由则由2005-11-511111112222212221232120 122112ppppppppp 111212223122
17、112ppPpp 解上述矩阵方程，有解上述矩阵方程，有即得即得2005-11-511121112223135220 detdet012412ppPpp因为因为可知可知P P是正定的。因此系统在原点处是大范是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。围渐近稳定的。2005-11-5,TG PGPQ 0Q(1)()x kGx k1,nn nxRGRG设设则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程0P 存在唯一正定对称解存在唯一正定对称解()(1)()TV x kV x kV x kx Qx 如果如果沿任一解沿任一解Q的序列不恒等于零，则的序列不恒等于零，
18、则 可取半正定的。可取半正定的。定理定理 5.3.25.3.22005-11-5111211121222122200.500.5100.510.5101pppppppp1122(1)()00.5(1)()0.51x kx kx kx k例例5.3.2 5.3.2 试确定系统试确定系统在原点的稳定性在原点的稳定性,得得QI解解:在李雅普诺夫方程中在李雅普诺夫方程中,取取由此解出由此解出2005-11-511121222524027270401002727ppPpp5.3.2 5.3.2 利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题 (1)(1)问题描述问题描述 ：从而
19、系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的.2005-11-5 使使 极极小小 J(1)(1)设设 调节参数调节参数00(),(),xAxx tx0,TtJx Qxdt0Q 使使 极小。极小。J()A(2)(2)必须逐渐稳定，否则问题无解必须逐渐稳定，否则问题无解。TA PPAQ 0,Q 0P(3)由由知存在知存在,使得使得T(),V xx Px1()。TV xx Q x 令令 于是有于是有00()()()tJV x dtV xV x t 由由 ,知知()0V x T000()()()JV x txt Px t2005-11-5(4)(4)注意到注意到 和
20、和 的函数，调节的函数，调节 使使 最小。最小。PJ例例5.3.3 5.3.3 给定系统的状态方程为给定系统的状态方程为011 (0)120 xxx 试确定阻尼比试确定阻尼比0的值，使系统的性能指标的值，使系统的性能指标T0 x Qxdt，其中，其中 10 00Q达到最小值。达到最小值。2005-11-5111211121222122201011012120pppppppp解得解得1112122211421124ppPpp于是有于是有TA PPAQ 解解:由由 ，知，知2005-11-55.4 5.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用李雅普诺夫方法在非线性系统中应用22112211(0)(0)
21、()(0)(0)(0)(0)44TJxPxxxxx0,J再令再令*12于是得于是得14J12(0)1,(0)0 xx将将 代入上式，知代入上式，知 。5.4.1 5.4.1 克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法定理定理5.4.1 5.4.1 设系统的状态方程为设系统的状态方程为()(0)0 xf xf2005-11-5 ()f x111122221212()nnnnnnfffxxxfffxxxF xfffxxx令令()()()F xFxF x(1,2,)ix in()f xnXR式中的式中的 ，设，设 对对可微。可微。系统的雅克比矩阵为系统的雅克比矩阵为2005-11-5 0 x 证证:显然显然
22、()0V x。因为。因为 121212()()1,2,iiiniiniiinfffdxdxdxdfxf xdtxdtxdtxdtfffxinxxx()0F x0 x 那么那么渐近稳定。如果随着渐近稳定。如果随着，范围渐近稳定。范围渐近稳定。x()()fx f x，有，有，那么，那么大大()F x()Fx其中其中 为为 的共轭转置矩阵，如果的共轭转置矩阵，如果2005-11-5 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()V xfx f xfx f xF x f xf xfxF x f xfxFxF xf xfx F x f x()0F x()0V x 当当时，有时，
23、有。所以所以0 x 渐近稳定渐近稳定x()()()V xfx f x在在时时，0 x 大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。()()()()f xF x xF x f x所以所以2005-11-5 解解:由由222210 ()11 321()()()0126F xxF xFxF xx 0 x 1122122xxxxxx 平衡状态的稳定性。平衡状态的稳定性。例例5.4.1 5.4.1 利用克拉索夫斯基定理确定下列系统在利用克拉索夫斯基定理确定下列系统在2005-11-5 x 221122()()()fx f xxxxx 且且时，有时，有0 x 所以所以是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。更为普遍的克拉索夫斯基定理可表述如下：更为普遍的克拉索夫斯基定理可表述如下：设系统的状程态方为设系统的状程态方为()(0)0 xf xf0 x PQ0 x 其平衡状态其平衡状态为渐近稳定的条件是，存在为渐近稳定的条件是，存在和和，能在所有的，能在所有的正定的赫米特矩阵正定的赫米特矩阵2005-11-5 ()F xF PPFQ()()()V xfx Pf x则系统在平衡状态大范围渐近稳定。则系统在平衡状态大范围渐近稳定。x()V x 当当时，若有时，若有，()F x时，使得下式中的矩阵时，使得下式中的矩阵 为负定的为负定的李雅普诺夫函数为李雅普诺夫函数为
