1、误差理论与数据处理第五章最小二乘法处理5-5-1 1第五章 线性参数的最小二乘法处理 5-5-2 2教学目标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用。5-5-3 3教学重点和难点v最小二乘法原理v线性参数的最小二乘法v组合测量 5-5-4 4第一节最小二乘法原理 最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一
2、组数据 ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为 x12,nx xx12,n 测得值落入的概率 ix,iix xdx221exp()22iiiivpdx5-5-5 5测得值 同时出现的概率为 12,nx xx211exp()2(2)niiniiiiivPpdx最可信赖值满足 22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw权因子 最小二乘法原理最小二乘法原理 虽然是在正态分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。误差理论与数据处理第五章最小二乘法处理5-5-6 6第二节正规方程及精度估计 误差理论与数
3、据处理第五章最小二乘法处理5-5-7 7一、等精度测量线性参数最小二乘法处理 5-5-8 8线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijjijya xv测量残差方程组 含有随机误差Ax=yy-Ax=v矩阵形式111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12nvvvv5-5-9 9T()()Miny-Axy-Ax最小二乘法原理式 求导TTA Ax=A y正规方程组 正规方程组解 1TxCA yTA AC正规方程正规方程 5-5-1010标准差的估计标准差的估计 1 1、直接测量
4、结果的标准差估计、直接测量结果的标准差估计 2iivsnt2iiiwvsnt（加权）未知量个数方程个数残差2 2、待求量的标准差估计、待求量的标准差估计 xjjjd直接测量量的标准差1TA A对角元素误差传播系数 3 3、待求量与的相关系数、待求量与的相关系数 ijijiijjdd d1TA A元素5-5-1111组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量 1x2x3x测得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy 待解的数学模型 待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量组合测量，指直接测量一组被
5、测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。5-5-1212【例【例8-8-】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘法求及其标准偏差。123,x xx10.3y 20.4y 30.5y 40.3y 123,x xx【解】【解】列出测量残差方程组 y-Ax=v0.30.40.50.3y100010101011A1234vvvvv11223134230.30.40.5()0.3()xxxxxx 矩阵形式5-5-1313正规方程组 TTA A
6、x=A y100101020101001010211010011112011TCA A0.310100.80.401010.70.500110.20.3T A y1232010.80210.71120.2xxx 5-5-1414正规方程组解 1TxCA y1 0.250 -0.500 0.250 -0.500-0.500 -0.500 0.7500.7501.000C0.750 0.250 -0.5000.80.325 0.250 0.750 -0.5000.7-0.425-0.500 -0.500 1.0000.2 0.1501230.325,0.425,0.150 xxx 即5-5-151
7、5标准差的计算代入残差方程组，计算 12340.025vvvv 222212340.0025vvvv0.002543s 1110.0433xs d 2220.0433xs d 3330.050 xs d 误差理论与数据处理第五章最小二乘法处理5-5-1616 二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 5-5-1717线性测量方程组线性测量方程组的一般形式为 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijjijya xv测量残差方程组 含有随机误差Ax=yy-Ax=v矩阵形式111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12
8、nvvvv5-5-1818T()()Miny-Axy-Ax最小二乘法原理式 求导TTA Ax=A y正规方程组 正规方程组解 1TxCA yTA ACT()w()Miny-Axy-AxwwTTAAx=Ay1(TTwwxAA)Ay不等权正规方程正规方程 5-5-1919标准差的估计标准差的估计 1 1、直接测量结果的标准差估计、直接测量结果的标准差估计 2iivsnt2iiiwvsnt（加权）未知量个数方程个数残差2 2、待求量的标准差估计、待求量的标准差估计 xjjjd直接测量量的标准差对角元素误差传播系数 3 3、待求量的相关系数、待求量的相关系数 ijijiijjdd d元素1wAAT1w
9、AAT误差理论与数据处理第五章最小二乘法处理5-5-2020第三节组合测量的最小二乘法处理 5-5-2121组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量 1x2x3x测得值1y2y3y4y11221332340.3()0.4()0.5()0.3()xyxyxxyxxy 待解的数学模型 待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量组合测量，指直接测量一组被测量的不同组合值，从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被测量的最佳估计值。5-5-2222【例【例8-38-3】要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。
10、试用最小二乘法求及其标准偏差。123,x xx123,x xx11.015L 20.985L 31.020L 42.016L 51.981L 63.032L 0123xxx123LLLLLL1234565-5-2323计算步骤【解】【解】列出测量残差方程组 L-Ax=v1.01250.9851.0202.0161.9813.302L100010001110011111A123456vvvvvvv1112223334412552366123vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx5-5-2424解出11TTTxC A LA AA L10.5000.25000.2500.5000.25000.
11、2500.500C 1.0150.9851001016.0631.020010111 8.0142.016001011 6.0331.9813.032TA L0.5000.25006.0631.0280.2500.5000.250 8.014 0.98300.2500.500 6.033 1.013x 1231.028,0.983,1.013xxx即计算结果计算结果5-5-2525代入残差方程组可得 11122233344125523661231.015 1.0280.0130.9850.9830.0021.020 1.0130.0072.016(1.0280.983)0.0051.981(0.983 1.013)0.0153.032(1.0280.983 1.013)0.008vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx 2222221234560.000536vvvvvv估计的标准差 0.0005360.01363s 1110.010 xs d 2220.010 xs d 3330.010 xs d 估计的标准差
