1、 对称问题对称问题（1）对称点对称点两点两点A、B关于点关于点M对称对称两点两点A、B关于直线关于直线l对称对称（2）对称曲线对称曲线两曲线两曲线C1、C2关于直线关于直线l（或点（或点M）对称）对称M为线段为线段AB的中点的中点.l为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线.P关于直线关于直线l（或点（或点M）的对称点都在）的对称点都在C2上，反之亦然上，反之亦然.点点M（或直线（或直线l）的对称点仍在）的对称点仍在C上上.C1上任一点上任一点曲线曲线C关于点关于点M（或直线（或直线l）对称）对称C上任一点关于上任一点关于对称问题：对称问题：1两点之间的中心对称两点之间的中心对称 如果点如果点
2、P1(x1,y1),P2(x2,y2),关于点关于点M(a,b)对称，对称，那么点那么点M是线段是线段P1P2的中点，的中点，根据中点坐标公式有：根据中点坐标公式有：121222xxayyb这三个点这三个点“知二求一知二求一”.2两点之间的轴对称两点之间的轴对称 设点设点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线关于直线l:y=kx+b对称，对称，则直线则直线l垂直且平分线段垂直且平分线段P1P2，可知线段可知线段P1P2垂直于对称轴垂直于对称轴且线段且线段P1P2的中点在对称轴上，的中点在对称轴上，21211212122yykxxyyxxkb 于是有：于是有：通过这一关系式我们可以求解通
3、过这一关系式我们可以求解对称点或对称轴对称点或对称轴.练习练习1.求点求点M(1,2)关于直线关于直线l1:2xy+2=0对称的点对称的点M的坐标的坐标.解：解：(1)设设 00(,),Mxy 则则MM的中点的中点 0012(,).22xy 000012220222211xyyx 00314,.55xy 3 14(,).55M 练习练习2.求直线求直线l1:2xy+2=0关于定点关于定点M(1,2)对称的直对称的直线线l的方程；的方程；解解1：在直线在直线 2xy2=0上取两点上取两点P1(1,0)，P2(0,2)，设它们关于点设它们关于点M(1,2)对称点对称点Q1(x1,y1),Q2(x2
4、,y2),则中点公式得则中点公式得11101,222xy 113,4xy 22021,222xy 222,2xy Q1(3,4),Q2(2,2),故所求直线方程为故所求直线方程为 y2=2(x2)即即 2x y20.练习练习2.求直线求直线l1:2xy+2=0关于定点关于定点M(1,2)对称的直对称的直线线l的方程；的方程；解解2：在直线在直线 2xy2=0上取一点上取一点P1(1,0)，设它们关于点设它们关于点M(1,2)对称点对称点Q1(x1,y1),则中点公式得则中点公式得11101,222xy 113,4xy Q1(3,4),故所求直线方程为故所求直线方程为 y4=2(x3)即即 2x
5、 y20.又又 l1/l 练习练习2.求直线求直线l1:2xy+2=0关于定点关于定点M(1,2)对称的直对称的直线线l的方程；的方程；解解3：由中点坐标公式得由中点坐标公式得设直线设直线l上任一点上任一点P(x,y)关于关于M(1,2)的对称点为的对称点为Q(x0,y0),则则Q必在直线必在直线l1上上,M为线段为线段PQ的中点，的中点，001222xxyy 0024xxyy 点点Q 在直线在直线l1:2xy+2=0上上，2(2)(4)20 xy 2x0 y0+2=0220 xy 即即故直线故直线l的方程为的方程为:220.xy 练习练习3.求直线求直线l1:2x+y4=0关于直线关于直线l
6、:3x+4y1=0对对称的直线称的直线l2的方程的方程.，上取一点上取一点：在直线在直线)02(0421Ayxl )(00yxBlA，的对称点的对称点关于关于设设 0143042yxyx由由.)23(1，交点交点与与得得Ell 23yx，上上也在直线也在直线，又又2)23(lE 0120422334200000yxxy则则)5854(，B5433)58(2)2(2 xyl 的方程为：的方程为：故直线故直线.016112 yx即即解解1：1ll2lE.A.B1ll2lE)()(2yxPlPlyxP ，的对称点的对称点关于关于上任一点，上任一点，为直线为直线，设设.P.P 01242334yyxx
7、xxyy则则 258724256247yxyyxx解解2:上上：在直线在直线，042)(1 yxlyxP04287242562472 yxyx.0161122的方程的方程为所求直线为所求直线即即lyx 042 yx的直线方程。的直线方程。截得的线段长为截得的线段长为和和行直线：行直线：且被两条平且被两条平，求经过点求经过点503430743)32(yxyxP.P5ABC 2243|37|AC解：解：如图如图5|AB2，中中在在1|BCABCRt k设所求直线斜率为设所求直线斜率为2)43(1)43(kk则则21121 kk或或.016211042 yxyx或或故所求直线方程为：故所求直线方程为
8、：.2tan ABC5 练习练习4.0723,052在在直直线线方方程程即即行行反反射射，求求反反射射线线所所遇遇到到直直线线射射入入光光线线沿沿着着直直线线 yxyx 0723052yxyx)21(，反射点反射点 M由由得得在直线在直线052 yx设点设点P关于直线关于直线0723 yx的对称点的对称点则则0720225300 yx123)5(000 xy)1332,1317(P反反射射线线所所在在直直线线方方程程为为.033229 yx巩固巩固1.解：解：取点取点P(-5,0)MPP),(00yxP 变式变式.如图，已知如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点，从点P(2,0)射出的光射
9、出的光线经直线线经直线AB反向后再射到直线反向后再射到直线OB上，最后经直线上，最后经直线OB反反射后又回到射后又回到P点，则光线所经过的路程是点，则光线所经过的路程是 .由已知得直线由已知得直线AB的方程为的方程为 解：解：40 xy 设点设点P关于直线关于直线AB的对称点为的对称点为(,)P m n，01224022nmmn 则则(4,2)P又点又点P关于直线关于直线y轴的对称点为轴的对称点为(2,0)P，故光线所经过的路程等于故光线所经过的路程等于 2262P P 2 10.P P.(1)函数函数 的最小值为的最小值为 .(2)函数函数 的最大值为的最大值为 .2222413yxxxx2
10、2244221yxxxx 巩固巩固2.(1)函数函数 的最小值为的最小值为 .(2)函数函数 的最大值为的最大值为 .2222413yxxxx22244221yxxxx 2222(1)(01)(2)(03)yxx 解：解：(1)它表示它表示x轴上的点轴上的点P(x,0)到两点到两点A(1，1),B(2，3)的距离之和，的距离之和，又点又点A关于关于x轴的对称点为轴的对称点为A(1，1)，则则 yPAPBPAPBA B 22(21)3(1)17,xyOBA.PA.17.maxy 故当点故当点A、P、B共线时，共线时，巩固巩固2.(2)函数函数 的最大值为的最大值为 .22244221yxxxx
11、解：解：2222(2)(0)(1)(0)yxxxx 而而P在直线在直线y=x上且上且B关于直线关于直线y=x的对称点为的对称点为B(0,1)，表示点表示点P(x,x)到点到点A(2,0)的距离与到点的距离与到点B(1,0)的距离之差，的距离之差，则则yPAPBPAPB AB 5.xyOBA.P.B5.maxy 故当点故当点P、B、A共线时，共线时，5xyO.CMNPQd巩固巩固3.巩固巩固4.解解：102030由由10，20，30得得:5.证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.证明证明:如图，以直角三角形的直角顶点如图，以直角三角形的直角顶点
12、C为原点，为原点，直角边直角边OA、OB所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系.分别以分别以设设A(a,0)，B(0,b)，AB的中点为的中点为M，则则(,),22abM22|()()22abCM 221,2ab 22|,ABab 221|.2MAMBab 所以直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等所以直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.ACMBOxy6.已知已知AO是是ABC边边BC的中线，求证：的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2).证明证明:如图，以如图，以BC边的中点为原点边的中点为原点,边边BC所在直线为所在直线为x轴轴建立
13、直角坐标系建立直角坐标系.设设C(c,0)，A(a,b)，则则B(c,0).|AB|2(a2c2)b2；|AC|2(a2c2)b2；|OA|2a2b2；|OC|2c2.|AB|2|AC|2(a2c2)b2(a2c2)b2 2(a2b2c2)2(|AO|2|OC|2)2(a2b2c2).所以所以|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2).CBAyOx 7.已知已知ABC的顶点的顶点A(5,1)，AB边上的中线边上的中线CM所在直线方程为所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高边上的高BH所在直线方所在直线方程为程为x-2y-5=0.求：求：（1）顶点）顶点C的坐标；（的坐标；（2）直线）
14、直线BC的方程的方程.ABCxyOM解：解：（1）由题意得：）由题意得：直线直线AC的方程为的方程为)5(21 xy即即0112 yx解方程组解方程组 0520112yxyx得得 C(4,3).8.已知已知ABC的顶点的顶点A(5,1)，AB边上的中线边上的中线CM所在直线方程为所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高边上的高BH所在直线方所在直线方程为程为x-2y-5=0.求：求：（1）顶点）顶点C的坐标；（的坐标；（2）直线）直线BC的方程的方程.ABCxyOM解：解：（2）设）设B(x0,y0)，).21,25(00 yxM则则052125200 yx由由M在直线在直线CM上得：上得
15、：即即01200 yx解方程组解方程组 0520120000yxyx得得 B(1,3).故直线故直线BC的方程：的方程：(4,3).0956 yx练练1(1)求下列的对称点或对称直线的方程：求下列的对称点或对称直线的方程：点点A(1,1)关于点关于点B(1,1)对称的点为对称的点为 ；点点A(1,2)关于直线关于直线xy2=0对称的点为对称的点为 ；直线直线xy2=0关于点关于点A(1,2)对称的直线为对称的直线为 ；直线直线xy2=0关于直线关于直线xy1=0对称的直线为对称的直线为 ；直线直线2xy2=0关于直线关于直线xy1=0对称的直线为对称的直线为 .解：解：设所求的对称点为设所求的
16、对称点为(,),A xy 则则112112xy 13xy (1,3).A 点点A(1,2)关于直线关于直线xy2=0对称的点为对称的点为 ；解：解：设所求的对称点为设所求的对称点为(,),A xy 则则1220222111xyyx 03xy (0,3).A 直线直线xy2=0关于点关于点A(1,2)对称的直线为对称的直线为 ；解：解：在直线在直线 xy2=0上取两点上取两点P1(2,0)，P2(0,2)，设它们关于点设它们关于点A(1,2)对称点对称点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),则中点公式得则中点公式得11201,222xy 114,4xy 22021,222xy 222,2xy
17、Q1(4,4),Q2(2,2),故所求直线方程为故所求直线方程为 y=x.直线直线xy2=0关于点关于点A(1,2)对称的直线为对称的直线为 ；解解2：设设P(x,y)为所求直线为所求直线l上任一点，上任一点，则点则点P关于点关于点A(1,2)的对称点为的对称点为(2,4)Qxy 由点由点Q在直线在直线 xy2=0上得上得(2)(4)20 xy 即即0 xy xyO.Al l.PQ为所求对称直线方程为所求对称直线方程.直线直线xy2=0关于直线关于直线xy1=0对称的直线为对称的直线为 ；解：解：由已知可设所求的直线为由已知可设所求的直线为:0lxyC C=0或或C=221122c 由由得得(
18、舍去舍去):0.lxy 故所求直线为故所求直线为直线直线2xy2=0关于直线关于直线xy1=0对称的直线为对称的直线为 .解：解：22010 xyxy 由由得其交点得其交点A(1,0)在直线在直线2xy2=0上取一点上取一点B(0，2)，设点设点B关于直线关于直线xy1=0的对称点为的对称点为(,),B m n 则则0210222(1)10mnnm 31mn (3,1).B 1,2ABk 10(1)2yx 所求的直线所求的直线 即即11:.22lyx 练练2.光线由点光线由点P(2，3)射到直线射到直线xy=1上，反射后过点上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线方程为，则反射光线方程为 .解：解：xyOPQP设点设点P关于直线关于直线xy=1的对称点为的对称点为(,)P m n，则所求的反射光线经过两点则所求的反射光线经过两点P、Q，由由解得解得31223122nmmn 43mn (4,3)P 故所求的反射光线方程为故所求的反射光线方程为 311(1)41yx 即即4510.xy 2.“启迪有方启迪有方”3.3.23.3.4点到直线的距离和两条平行直线的距离点到直线的距离和两条平行直线的距离 课后作业课后作业
