1、第 1 页 共 12 页 第第 2 章章 稳态热传导稳态热传导 课堂讲解 【2-5】对于无限大平板内的一维导热问题，试说明在三类边界条件中，两侧边界条件的 哪些组合可以使平板中的温度场获得确定的解？ 【解】两侧面的第一类边界条件；一侧面的第一类边界条件和第二类边界条件；一侧面 的第一类边界条件和另一侧面的第三类边界条件；一侧面的第一类边界条件和另一侧面的第 三类边界条件。 【2-12】在某一产品的制造过程中，厚为 1.0mm 的基板上紧贴了一层透明的薄膜，其厚 度为 0.2mm。薄膜表面上有一股冷却气流流过，其温度为 20，对流换热表面传热系数为 40 W/(m2K)。同时，有一股辐射能透过薄
2、膜投射到薄膜与基板的结合面上，如附图所示。基板 的另一面维持在温度 t1=30。生成工艺要求薄膜与基板结合面的温度 t0应为 60，试确定 辐 射 热流 密度 q 应为 多 大？ 薄膜 的 导热 系 数 f=0.02W/(mK) ， 基 板的 导 热系数 f=0.06W/(mK)。投射到结合面上的辐射热流全部为结合面所吸收。薄膜对 60的热辐射是 不透明的。 【解】由薄膜与基板结合面向基板另一面的稳态导热的热流密度为： 2 11 mW0081 001. 0 306006. 0 tq 由于薄膜对 60的热辐射是不透明的，则从薄膜与基板的结合面通过薄膜向冷却气流传 热，无辐射换热 2 3 2 2
3、2 mW1142.86 40 1 02. 0 102 . 0 2060 1 h t q 辐射热流密度 q 应为 2 21 mW2942.8686.11421800qqq 课后作业 【2-4】一烘箱的炉门由两种保温材料 A 及 B 组成，且 A=2B（见附图） 。已知 A=0.1W/(mK)，B=0.06W/(mK)，烘箱内空气温度 tf1=400，内壁面的总表面传热系数 h1=50W/(m2K)。为安全起见，希望烘箱炉门的外表面温度不得高于 50。设可把炉门导热 作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。环境温度 tf2=25，外表面总传热系数 h2=9.5W/(m2K)。 【解】炉门外表面
4、向环境散热的热流密度为 2fw2 tthq 烘箱内空气到炉门外表面的热流密度为 第 2 页 共 12 页 BA B 1 wf1 B B A B 1 wf1 B B A A 1 wf1 121 211 h tt h tt h tt q BA 1 wf1 B 12 1 hq tt BA 12fw wf1 2 BA 12fw2 wf1 B 12 11 12 1 htt tt hhtth tt 1 2fw 2ff1 2fw 2fw2ff1 2fw 2fw2fwwf1 2fw wf1 tt tt tt tttt tt tttttt tt tt BA 12fw 2ff1 2 B 12 1 1 1 htt
5、tt h wB tf是单调减函数 由于要求 tw50，则 BA 12f 2ff1 2 B 12 1 1 C50 1 ht tt h m0.0396 06. 0 1 1 . 0 2 50 1 1 2550 25400 95 1 B m0 . 0 7 9 30 3 9 6. 022 BA 【2-11】提高燃气进口温度是提高航空发动机效率的有效方法。为了是发动机的叶片能 承受更高的温度而不至于损坏，叶片均用耐高温的合金制成，同时还提出了在叶片与高温燃 气接触的表面上涂以陶瓷材料薄层的方法，如附图所示，叶片内部通道则由从压气机来的空 气予以冷却。陶瓷层的导热系数为 1.3W/(mK)，耐高温合金能承受
6、的最高温度为 1250K，其 导热系数为 25W/(mK)。在耐高温合金与陶瓷层之间有一薄层粘结材料，其造成的接触热阻 为 10-4m2K/W。如果燃气的平均温度为 1700K，与陶瓷层的表面传热系数为 1000W/(m2K)， 冷却空气的平均温度为 400K，与内壁间的表面传热系数为 500W/(m2K)，试分析此时耐高温 合金是否可以安全地工作？ 【解】热流密度为 q h R h tt h R h tt q i A o f2f1 i2 2 A 1 1 o f2f1 1111 q为可能的最大热流率。 设耐高温合金与粘结材料界面的温度为 t2， 在此热流率下的的温差为 A 1 1 o 2f1
7、1 R h qtt 2A o f1A 1 1 o f12 11 tR h qtR h qtt 所以，t2为耐高温合金可能的最高温度。 第 3 页 共 12 页 K1250K1238.7 1 11 A o i A o f2f1 f12 R h h R h tt tt 从而，此时耐高温合金可以安全地工作。 【2-17】一蒸汽锅炉炉膛中的蒸发受热面管壁受到温度为 1000的烟气加热，管内沸水 温度为 200，烟气与受热面管子外壁间的复合换热表面传热系数为 100W/(m2K)，沸水与 内壁间的表面传热系数为 5000W/(m2K)，管壁厚 6mm，管壁 =42W/(mK)，外径为 52mm。 试计算
8、下列三种情况下受热面单位长度上的热负荷： (1) 换热表面是干净的； (2) 外表面结了一层厚为 1mm 的烟灰，其 =0.08W/(mK)； (3) 内表面上有一层厚为 2mm 的水垢，其 =1W/(mK)。 【解】 mm26 2 52 o r；mm20626 oi rr (1) ii i o oo f2f1 ii i o oo f2f1 1 ln 1 2 2 1 2 ln 2 1 hr r r hr ttl hl rl r r hlr tt W12539.3 5000020. 0 1 42 20 26 ln 100026. 0 1 20010002 1 ln 1 2 ii i o oo f
9、2f1 hr r r hr tt l l (2) mm27126 oo rr ii i o o o o oo f2f1 ii i o o o o oo f2f1 1 lnln 1 2 2 1 2 ln 2 ln 2 1 hr r r r r hr ttl hl rl r r l r r hlr tt W5855.9 5000020. 0 1 42 20 26 ln 08. 0 26 27 ln 100027. 0 1 20010002 1 lnln 1 2 ii i o o o o oo f2f1 hr r r r r hr ttl l l (3) mm18220 ii rr iii i i
10、i i o o o o oo f2f1 iii i i i o o o o oo f2f1 1 lnlnln 1 2 2 1 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 hr r r r r r r hr ttl hl rl r r l r r l r r hlr tt W5209.7 5000018. 0 1 1 18 20 ln 42 20 26 ln 08. 0 26 27 ln 100027. 0 1 20010002 1 lnlnln 1 2 iii i i i o o o o oo f2f1 hr r r r r r r hr tt l l 【2-24】颗粒状散料的表观导热系数常用圆球导
11、热仪来测定。如附图所示内球内安置有 一电加热器，被测材料安装在内外球壳间的夹套中，外球外有一水夹层，其中通以进口温度 恒定的冷却水。用热电偶测定内球外壁及外球内壁的平均温度。在一次实验中测得以下数据： 第 4 页 共 12 页 di=0.15m；do=0.25m；ti=200，to=40，电加热功率 P=56.5W。试确定此颗粒材料的表观导 热系数。 如果由于偶然的事故，测定外球内壁的热电偶线路遭到破坏，但又急于要获得该颗粒表 观导热系数的近似值，试设想一个无需修复热电偶线路又可以获得近似值的测试方法。球壳 内用铝制成，其厚度约为 34mm。 【解】根据题意 oi 21 11 4 rr tt
12、KmW0.14987 402004 225. 0 1 215. 0 1 5 .56 4 11 21 oi tt rr 如果电偶损坏，可近似测量水的出入口温度，取其平均值代替球外壳温度计算。 【2-34】设一平板厚为 ，其两侧表面分别维持在温度 t1及 t2。在此温度范围内平板的局 部导热系数可以用直线关系式 btt1 0 来表示。试导出计算平板中某处当地热流密度的 表达式，并对 b0、b=0 及 b0 的三种情况画出温度分布的示意性曲线。 【解】根据题意： 【2-42】一具有内热源 外径为 r0的实心圆柱，向四周温度为 t的环境散热，表面传热 系数为 h。试列出圆柱体中稳态温度场的微分方程式及
13、边界条件，并对 为常数的情形进行 求解。 【解】由圆柱坐标系中的导热微分方程，得 z t z t rr t r rr t c 2 11 0 1 r t r rr 0 d d d d1 r t r rr 0 d d d d r r t r r 边界条件为：0r，0 d d r t ； 0 rr ， f d d tth r t 设 为常数，则 0 d d d d r r t r r 对于 为常数的情形，积分一次，得： 1 2 2 1 d d Cr r t r 根据 r=0 处的边界条件，得0 1 C，则 0 2 1 d d r r t 或 r r t 2 1 d d 第 5 页 共 12 页 再积
14、分一次，得 2 2 4 1 Crt 由 r=r0处的边界条件，得 f2 2 00 4 1 2 1 tCrhr f2 2 0 0 4 1 2 1 tCr h r f 2 0 0 2 4 1 2 1 tr h r C 从而，温度场为 f 0 22 0f 2 0 0 2 2 1 4 1 4 1 2 1 4 1 t h r rrtr h r rt 【2-45】一厚为 的大平板具有均匀内热源 ，x=0 及 x = 处的表面分别与温度为 tf1、 tf2的流体进行对流换热， 表面传热系数分别为 h1及 h2。 试导出平板中温度分布的解析表达式， 并据此导出温度最高点的位置。对于 h1=h2、tf1=tf2
15、及 h1=h2、tf2tf1的情形定性地画出平板中 的温度分布曲线。 【解】由直角坐标系中的导热微分方程，得 z t zy t yx t x t c 0 x t x 0 d d d d x t x 由于 fw w d d tth n t 其中，n 为换热表面外法线。从而边界条件为： 0x， f11 d d tth x t f11 d d tth x t (a) x， f22 d d tth x t (b) 设 为常数，则 0 d d d d x t x 0 d d 2 2 x t 对于 为常数的情形，积分一次，得： 第 6 页 共 12 页 1 d d cx x t 21 2 2 cxcxt
16、代入边界条件(a)，得 f121 2 11 2 tcxcxhcx f121 2 11 00 2 0tcchc f11211 thchc f11211 thchc 代入边界条件(b)，得 f221 2 21 2 tcxcxhcx f221 2 21 2 tcchc f222212 2 2 1 2 thchch h c f22 2 2 2212 2 th h chch f22 2 2 2212 f11211 2 th h chch thchc 第 7 页 共 12 页 21 12 1f2f 2121 211f2f21 2121 211f2f2112121 2121 1f2f211 2 21 1 1
17、1 11 2 2 2 2 22 2 hh hh tt hhhh hhtthh hhhh hhtthhhhhhh hhhh tthhh hh c 21 1 1 12 1f2f 1 1 2121 2f21f11f21 2 2 1 1 12 11 11 2 2 2 hh h h hh tt h t hhhh thththh h c h tc f f 由此得平板中的温度分布为 21 1 1 12 1f2f 1 1 21 12 1f2f 2 11 11 2 211 11 2 22 hh h h hh tt h tx hh hh tt xt f 令0 d d x t ，则 0 11 11 2 2d d 2
18、1 12 1f2f hh hh tt x x t 从而，得温度最高点的位置为 21 12 1f2f 0 11 11 2 2 hh hh tt x 第 8 页 共 12 页 当 h1=h2、tf1=tf2时， 2 0 x，温度分布如下图中 a 曲线所示； 当 h1=h2、tf2tf1时， 2 0 x，温度分布如下图中 b 曲线所示。 【2-53】过热蒸气在外径为 127mm 的钢管内流过，测蒸气温度套管的布置如附图所示。 已知套管外径 d=15mm，壁厚 =0.9mm，导热系数 =49.1W/(mK)。蒸气与套管间的表面传 热系数 h=105W/(m2K)。为使测温误差小于蒸气与钢管壁温度差的
19、0.6，试确定套管应有的 长度。 【解】可以将此问题看成是一维稳态等截面直肋的导热问题，采用肋片分析中的各项假 定，故 mH tt tt ch f0 fH 其中，换热周长 dP 套管截面积 dA c 故 H h H A hP mH c 0 根据题意，应满足 %6 . 0 f0 fH tt tt 006. 0 ch 1 H h 006. 0 1 ch H h ch、arcch 在0, +)上是单调增函数，故 0.006 1 charcH h m0.119 109 . 01 .49 105 0.006 1 charc 0.006 1 charc 3 h H 第 9 页 共 12 页 【2-76】刚
20、采摘下来的水果，由于其体内葡萄糖的分解而具有“呼吸”作用，结果会在 其表面析出 CO2水蒸气，并在体内产生热量。设在通风的仓库中苹果以如附图所示的方式堆 放，并有 5的空气以 0.6m/s 的流速吹过。苹果每天的发热量为 4000J/kg。苹果的密度 =840kg/m2，导热系数 =0.5W/(mK)；空气与苹果间的表面传热系数 h=6W/(m2K)。试计算 稳态下苹果表面及中心的温度。每个苹果可按直径为 80mm 的圆球处理。 【解】对于有内热源的一维球的稳态导热，由球坐标系中的导热微分方程，得 t r t rr t r rr t csin sin 1 sin 11 222 2 2 0 1
21、2 2 r t r rr 0 d d d d1 2 2 r t r rr 22 d d d d r r t r r 边界条件为：0r，0 d d r t ；Rr ， f d d tth r t 积分一次，得： 根据 r=0 处的边界条件，得0 1 C，则 32 3d d r r t r 或 r r t 3d d 再积分一次，得 2 2 6 Crt 由 r=R 处的边界条件，得 f2 2 63 tCRhR f2 2 63 tCRR h f 2 2 63 t R h R C 从而，球内温度分布为 f 22 f 2 2 36636 t h R rRt R h R rt 当 r=R 时，得球表面的温度
22、 fs 3 t h R t 当 r=0 时，得球中心的温度 f 2 c 36 t h RR t 需要指出的是，球表面的温度可以由稳态热平衡得出： fs 23 4 3 4 tthRR fs 3 t h R t 由苹果每天的发热量 VVQ 3 mW38.89 360024 8404000 Q 苹果表面的温度 C 5.0865 63 2 08. 0 89.38 3 fs t h R t 第 10 页 共 12 页 苹果中心的温度 C 107. 55 63 2 08. 0 89.38 5 . 06 2 08. 0 89.38 36 2 f 2 c t h RR t 将【2-45】改为对称型的温度分布，
23、以便于求解 一厚为 2 的大平板具有均匀内热源 ，x=- 及 x = 处的表面分别与温度为 tf1、tf2的流 体进行对流换热，表面传热系数分别为 h1及 h2。试导出平板中温度分布的解析表达式，并据 此导出温度最高点的位置。对于 h1=h2、tf1=tf2及 h1=h2、tf2tf1的情形定性地画出平板中的温 度分布曲线。 【解】由直角坐标系中的导热微分方程，得 z t zy t yx t x t c 0 x t x 0 d d d d x t x 由于 fw w d d tth n t 其中，n 为换热表面外法线。从而边界条件为： x， f11 d d tth x t f11 d d tt
24、h x t (a) x， f22 d d tth x t (b) 设 为常数，则 0 d d d d x t x 0 d d 2 2 x t 对于 为常数的情形，积分一次，得： 1 d d cx x t 21 2 2 cxcxt 代入边界条件(a)，得 f121 2 11 2 tcxcxhcx f121 2 11 2 tcchc 第 11 页 共 12 页 f112111 2 1 1 2 thchch h c f11 2 1 2111 2 th h chch 代入边界条件(b)，得 f221 2 21 2 tcxcxhcx f221 2 21 2 tcchc f222212 2 2 1 2 t
25、hchch h c f22 2 2 2212 2 th h chch f22 2 2 2212 f11 2 1 2111 2 2 th h chch th h chch 21 1f2f 12 2121 1f2f2121 1 11 2 11 2 hh tt hh hhhh tthhhh c 2121 f22f112f1f2121 2 2 2 2 2hhhh ththtthhhh c 由此得平板中的温度分布为 2121 f22f112f1f2121 2 2121 1f2f2121 2 2 2 222hhhh ththtthhhh x hhhh tthhhh xt 令0 d d x t ，则 0 11 2 11 d d 21 1f2f 12 hh tt hh x x t 从而，得温度最高点的位置为 第 12 页 共 12 页 21 1f2f 12 0 112 11 hh tt hh x 当 h1=h2、tf1=tf2时，0 0 x； 当 h1=h2、tf2tf1时，0 0 x。
