1、数值计算数值计算 数控编程工作的一个重要内容数控编程工作的一个重要内容数值计算的主要内容数值计算的主要内容编写加工程序中的数值计算是编程工作的一个重编写加工程序中的数值计算是编程工作的一个重要部分，如果计算有误要部分，如果计算有误(方法和计算错误方法和计算错误)，就不能获，就不能获得零件要求的加工轮廓，从而出现废品，造成浪费。得零件要求的加工轮廓，从而出现废品，造成浪费。数值计算的主要内容为：数值计算的主要内容为：1 1、基点计算、基点计算2 2、节点计算、节点计算3 3、列表曲线的数学处理、列表曲线的数学处理4 4、刀具中心位置计算、刀具中心位置计算 5 5、辅助计算、辅助计算结束直线、圆弧
2、平面轮廓的基点计算直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-1)RABDCEaO一个零件的轮一个零件的轮廓曲线可能由不同廓曲线可能由不同的几何元素构成，的几何元素构成，如直线、圆弧、非如直线、圆弧、非圆曲线等。基点就圆曲线等。基点就是构成零件轮廓的是构成零件轮廓的各相邻几何元素的各相邻几何元素的交点或切点，如右交点或切点，如右图所示。显然，相图所示。显然，相邻基点间只能是一邻基点间只能是一个几何元素。个几何元素。直线、圆弧平面轮廓的基点计算直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-2)由于一般数控机床都有具有直线和圆弧插补由于一般数控机床都有具有直线和圆弧插补功能，故对由直线和圆弧组成的平面轮廓，都可功能，故
3、对由直线和圆弧组成的平面轮廓，都可以通过调用数控系统的直线或圆弧插补功能来加以通过调用数控系统的直线或圆弧插补功能来加工。此时，需计算出零件上的所有基点坐标。零工。此时，需计算出零件上的所有基点坐标。零件轮廓上的基点可根据零件图上的尺寸标注或通件轮廓上的基点可根据零件图上的尺寸标注或通过较简单的计算间接求得。过较简单的计算间接求得。直线、圆弧平面轮廓的基点计算直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-3)例例1如右图中的基如右图中的基点点A、B、D、E的坐标，的坐标，可以通过零件图的标注直可以通过零件图的标注直接获得，而接获得，而C点为下列两点为下列两圆方程的交点，联解两圆圆方程的交点，联解两圆方程即
4、可得方程即可得C点的坐标。点的坐标。RABDCEaO2(xO2,y02)OO1(xO1,y01)2222221221121DOyyxxRyyxxOOOO直线、圆弧平面轮廓的基点计算直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-4)例例2下图中的下图中的基点基点A、B、C、D的坐标，可以通过的坐标，可以通过零件图的标注直接零件图的标注直接获得，而获得，而E、F点的点的坐标需要经过计算坐标需要经过计算获得。获得。R20R20ABDCEO OFO O1 1O O2 2O O3 3101030302020X XY Y直线、圆弧平面轮廓的基点计算直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-5)F F点坐标的计算：点坐标的计算
5、：R20R20A AB BD DC CE EO OF FO O1 1O O2 2O O3 3101030302020X XY YG G作辅助线作辅助线 O OGOFGOF则则OGOGGFGF1010且且OOOO3 32020故故 OOOO3 3G G3030所以有：所以有：X XF F=20=20cos30cos30=17.321=17.321Y YF F=20=20sin30sin30=10=10继续直线、圆弧平面轮廓的基点计算直线、圆弧平面轮廓的基点计算(6-6)E E点坐标的计算：点坐标的计算：R20R20A AB BD DC CE EO OF FO O1 1O O2 2O O3 310
6、1030302020X XY Y作辅助线作辅助线 FHOOFHOO3 3则有：则有：Y YE E=20+10=30=20+10=30 X XE E=X=XF F-FI-FI=X=XF F-EI-EItg30tg30=X=XF F-(Y-(YE E-Y-YF F)tg30tg30 =17.321-(30-10)=17.321-(30-10)tg30tg30 =5.774 =5.774返回返回I IH H作辅助线作辅助线 EIFHEIFH节点计算节点计算(2-1)(2-1)由于一般数控装置只具有直线插补和圆弧插由于一般数控装置只具有直线插补和圆弧插补功能，当零件轮廓曲线两基点间的几何要素为补功能，
7、当零件轮廓曲线两基点间的几何要素为非直线、非圆弧非直线、非圆弧的其它曲线时，则数控机床不能的其它曲线时，则数控机床不能直接进行加工。为了加工这样的零件轮廓表面，直接进行加工。为了加工这样的零件轮廓表面，需将其分割成若干段，每段需将其分割成若干段，每段用直线或圆弧来代替用直线或圆弧来代替原曲线。这些用来代替原曲线的直线和原曲线。这些用来代替原曲线的直线和/或圆弧或圆弧称为称为逼近曲线逼近曲线，而这些直线或圆弧间的交，而这些直线或圆弧间的交(切切)点点称为称为节点节点。节点计算节点计算(2-2)(2-2)数控机床在运用逼近曲线进行加工时，除需数控机床在运用逼近曲线进行加工时，除需计算基点外，还应计
8、算逼近曲线上所有节点的坐计算基点外，还应计算逼近曲线上所有节点的坐标，并通过调用直线插补标，并通过调用直线插补(G01)G01)或圆弧插补或圆弧插补(G02G02或或G03)G03)功能来完成整个零件的加工。功能来完成整个零件的加工。选用逼近曲线的形状，一方面取决于数控系选用逼近曲线的形状，一方面取决于数控系统所具备的插补功能，另一方面应考虑在保证加统所具备的插补功能，另一方面应考虑在保证加工精度的前提下，节点数量尽量少，编程计算简工精度的前提下，节点数量尽量少，编程计算简单。单。逼近线段中最大的误差逼近线段中最大的误差应小于允差值，一应小于允差值，一般取零件相应公差的般取零件相应公差的1/5
9、1/51/101/10。直线逼近节点计算直线逼近节点计算1 1、直线逼近的节点计算、直线逼近的节点计算 常用的直线逼近方法有等距离直线逼近、等常用的直线逼近方法有等距离直线逼近、等步长直线逼近和等误差直线逼近等。步长直线逼近和等误差直线逼近等。以下介绍等步长和等误差直线逼近法。以下介绍等步长和等误差直线逼近法。等步长法节点计算等步长法节点计算(7-1)(7-1)等步长法节点计算等步长法节点计算Y YX Xy=f(x)y=f(x)O OR Rminmina a、求曲线的最小曲率半径、求曲线的最小曲率半径R Rminmin已知曲线为已知曲线为y=f(x),y=f(x),则则 xfxfR 2/321
10、求求dR/dxdR/dx，并令并令dR/dx=0dR/dx=0，则可求得则可求得R Rminmin继续gg等步长法节点计算等步长法节点计算(7-2)(7-2)等步长逼近法节点计算等步长逼近法节点计算Y YX Xy=f(x)y=f(x)O OR Rminminggg gf fa a、求插补步长、求插补步长h h作过作过点点gg的切线及与其相距的切线及与其相距 的平行线，与曲线的平行线，与曲线y=f(x)y=f(x)交于点交于点f f、g g，fgfg的距离为的距离为h h。O O为曲线的曲率中心为曲线的曲率中心,连接连接fOfO和和gOgOO Oh h由于由于很小，可以将曲线很小，可以将曲线fg
11、fgg g看成是半径为看成是半径为R Rminmin的一段的一段圆弧。故有：圆弧。故有：(h/2)h/2)2 2=R=Rminmin2 2-(R-(Rminmin-)-)2 2=2=2R Rminmin-2 2h(8Rh(8Rminmin)1/21/2继续等步长法节点计算等步长法节点计算(7-3)(7-3)等步长逼近法节点计算等步长逼近法节点计算Y YX Xy=f(x)y=f(x)O Oa a、求插补节点坐标、求插补节点坐标继续b b以曲线起点以曲线起点a a为圆心，为圆心，h h为半径为半径作圆，与曲线作圆，与曲线y=f(x)y=f(x)交于点交于点b b，点点b b即为求得的第一个节点。即
12、为求得的第一个节点。即：联解下列方程即可：即：联解下列方程即可：y=f(x)y=f(x)(x-xx-xa a)2 2+(y-y+(y-ya a)2 2=8R8Rminmin以以b点为圆心，重复步骤，即可求得曲线上的所有节点。点为圆心，重复步骤，即可求得曲线上的所有节点。等误差法节点计算等误差法节点计算(7-4)(7-4)等误差法节点计算等误差法节点计算等误差直线逼近方等误差直线逼近方法，即使所有逼近线段法，即使所有逼近线段的误差的误差相等。此法虽相等。此法虽然计算较烦，但程序段然计算较烦，但程序段少，故应用较多。其计少，故应用较多。其计算步骤如下：算步骤如下：设零件轮廓上两相设零件轮廓上两相邻
13、基点间的曲线为邻基点间的曲线为y=f(x)y=f(x)，如右图所示，如右图所示，且逼近曲线段的编程允且逼近曲线段的编程允差为差为。Y YX XY=f(x)Y=f(x)O O继续等误差法节点计算等误差法节点计算(7-5)(7-5)Y YX XT TY=f(x)Y=f(x)O O 等误差法节点计算等误差法节点计算 确定编程允差确定编程允差的圆方的圆方程，即以起点程，即以起点a(xa(xa a,y,ya a)为圆为圆心，心，为半径作圆：为半径作圆：a a222aayyxx 求圆与曲线的公切线求圆与曲线的公切线PTPT的斜率的斜率k k：PTPTxxyykP P继续等误差法节点计算等误差法节点计算(7
14、-6)(7-6)Y YX XT TY=f(x)Y=f(x)O O 等误差法节点计算等误差法节点计算因直线因直线PTPT为圆弧与曲线为圆弧与曲线的公切线，且点的公切线，且点P(xP(xP P，y yP P)、点点T(xT(xT T，y yT T)分别在圆和曲线分别在圆和曲线上，故有：上，故有：a aP PTTaPaPTPTPTaPaPPTPTxfyyyxxxfxxyyyyxxxxyy222(圆切线方程圆切线方程)(曲线切线方程曲线切线方程)(圆方程圆方程)(曲线方程曲线方程)联解四方程，联解四方程，即可求得即可求得x xP P、y yP P、x xT T、y yT T的的值，进而求得值，进而求得
15、斜率斜率k k。继续等误差法节点计算等误差法节点计算(7-7)(7-7)Y YX XT Ta a1 1l lY=f(x)Y=f(x)O O继续 等误差法节点计算等误差法节点计算 求弦长的方程求弦长的方程 a aP P过点过点a a作直线作直线PTPT的平行线的平行线l l，与曲线与曲线交于交于a a1 1点。点。则直线则直线aaaa1 1方程为：方程为：aaxxkyy 求求a a1 1点坐标：点坐标：联解右列方程，即可求得联解右列方程，即可求得a1(xa1(xa1a1、y ya1a1)的坐标的坐标。aaxxkyyxfy 以以a a1 1点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的点为起点，重复前述
16、步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值所有节点坐标值。圆弧逼近节点计算圆弧逼近节点计算(3-1)(3-1)R RA A A AO Oa1a1(a1a1,a1a1)Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续当采用圆弧逼近曲线时，当采用圆弧逼近曲线时，不但要计算出各逼近圆弧的不但要计算出各逼近圆弧的节点坐标值，还需计算逼近节点坐标值，还需计算逼近圆弧的圆心坐标及半径。圆弧的圆心坐标及半径。圆弧逼近节点计算圆弧逼近节点计算(3-2)(3-2)R RA A A AO Oa1a1(a1a1,a1a1)Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续曲线
17、用圆弧逼近时，有曲线用圆弧逼近时，有曲率圆法曲率圆法、三点圆法三点圆法和和相切相切圆法圆法等方法。三点圆法是通等方法。三点圆法是通过已知三个节点求圆，并作过已知三个节点求圆，并作为一个圆程序段；相切圆法为一个圆程序段；相切圆法是通过已知四个节点分别作是通过已知四个节点分别作两相切的圆，编写两个圆弧两相切的圆，编写两个圆弧程序段。这两种方法都必须程序段。这两种方法都必须先用直线逼近方法求出各节先用直线逼近方法求出各节点，再求出各圆，计算较烦点，再求出各圆，计算较烦琐。以下仅介绍曲率圆法。琐。以下仅介绍曲率圆法。圆弧逼近节点计算圆弧逼近节点计算(3-3)(3-3)R RA A A AO Oa1a1
18、(a1a1,a1a1)Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续曲率圆法是一种等误差曲率圆法是一种等误差的圆弧逼近法，这种方法在的圆弧逼近法，这种方法在决定轮廓曲线上的逼近节点决定轮廓曲线上的逼近节点的坐标值时，是使各段圆弧的坐标值时，是使各段圆弧与各相应轮廓曲线间的逼近与各相应轮廓曲线间的逼近误差误差相同。相同。曲率圆法节点计算曲率圆法节点计算(5-1)(5-1)R RA A A AO Oa1a1(a1a1,a1a1)Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续曲率圆法的步骤如下：曲率圆法的步骤如下：设零件轮廓上两相邻基点设零件轮廓上
19、两相邻基点间的曲线为间的曲线为y=f(x)y=f(x)，如右图如右图所示，且逼近曲线的编程允所示，且逼近曲线的编程允差为差为。曲率圆法节点计算曲率圆法节点计算(5-2)(5-2)Y YX XY=f(x)Y=f(x)O OR RA A O OA A(A A,A A)继续 求曲线起点求曲线起点A(xA(xA A,y,yA A)的曲率半径的曲率半径R RA A及曲率中心坐及曲率中心坐标标O OA A（A A，A A）。）。曲率半径曲率半径R RA A为：为：AAAxfxfR 2321曲率中心坐标为：曲率中心坐标为：AAAAAAAAAxfxfyxfxfxfx2121)(A A 曲率圆法节点计算曲率圆法
20、节点计算(5-3)(5-3)R RA A+A AY YX Xa a1 1(x(xa1a1,y,ya1a1)Y=f(x)Y=f(x)O OO OA A(A A,A A)半径为半径为继续 求第一个节点求第一个节点a a1 1。以以O OA A(A A，A A)为圆心，为圆心，R RA A为半径作圆弧与曲线为半径作圆弧与曲线f f（x x）相交于相交于a a1 1，a a1 1即为所即为所求的第一个节点。求的第一个节点。联解右列方程，即可求联解右列方程，即可求得得a a1 1(x(xa1a1,y,ya1a1)坐标：坐标：方程中，对所作圆弧的方程中，对所作圆弧的半径半径R RA A，如曲线曲率递，如曲
21、线曲率递减，取半径为减，取半径为R RA A+；如曲线如曲线曲率递增，取半径为曲率递增，取半径为R RA A-。)()()()(1111222aaAAaAaxfyRyx曲率圆法节点计算曲率圆法节点计算(5-4)(5-4)R RA A A AO O1 1(1 1,1 1)Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=f(x)O OR RA A 继续 求逼近圆弧的半径及求逼近圆弧的半径及圆心坐标值圆心坐标值O O1 1(1 1，1 1)。以以R RA A为逼近圆弧的半径，为逼近圆弧的半径，则逼近圆弧圆心的求法为：则逼近圆弧圆心的求法为：分别以分别以A(xA(xA A,y,yA A)、a a1 1(x(x
22、a1a1,y,ya1a1)为圆心，以为圆心，以R RA A为半径画圆，为半径画圆，则其交点即为逼近圆弧圆心则其交点即为逼近圆弧圆心O O1 1(1 1,1 1)。222222)()()()(111111AaaAAARyxRyx联解左列方程，即可得联解左列方程，即可得圆心坐标值圆心坐标值O O1 1(1 1，1 1)：以以a a1 1点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上点为起点，重复前述步骤，即可求得曲线上的所有节点坐标值的所有节点坐标值。曲率圆法节点计算曲率圆法节点计算(5-5)(5-5)R RA A+R RA A A AO O1 1(1 1,1 1)Y YX Xa a1 1Y=f(x)Y=
23、f(x)O OR RA A O OA A(A A,A A)半径为半径为曲率圆法节点曲率圆法节点计算整个过程为：计算整个过程为：返回返回列表曲线节点的计算列表曲线节点的计算(5-1)(5-1)在上述逼近曲线的数学处理中，基本思想在上述逼近曲线的数学处理中，基本思想是将曲线用直线或圆弧来逼近，求出节点后用是将曲线用直线或圆弧来逼近，求出节点后用直线插补或圆弧插补编程，从而在一定的编程直线插补或圆弧插补编程，从而在一定的编程允差范围内获得零件曲线轮廓。在这种方法中，允差范围内获得零件曲线轮廓。在这种方法中，节点计算是关键，而轮廓曲线方程是节点计算节点计算是关键，而轮廓曲线方程是节点计算的必要条件。的
24、必要条件。列表曲线节点的计算列表曲线节点的计算(5-2)(5-2)所谓列表曲线，是指已给出曲线上某些点所谓列表曲线，是指已给出曲线上某些点的坐标值，但没有给出方程。在数控机床加工的坐标值，但没有给出方程。在数控机床加工中，这种零件是经常遇到的，如汽轮机叶片、中，这种零件是经常遇到的，如汽轮机叶片、飞机机冀、机身、船体结构、凸轮、模具等。飞机机冀、机身、船体结构、凸轮、模具等。这些零件的图纸上往往只给出有限个点的尺寸这些零件的图纸上往往只给出有限个点的尺寸（位置），而并不知道轮廓曲线的解析表达式。（位置），而并不知道轮廓曲线的解析表达式。因此，用上述逼近曲线的数学处理方法，并不因此，用上述逼近曲
25、线的数学处理方法，并不能解决加工这种零件的编程问题。能解决加工这种零件的编程问题。列表曲线节点的计算列表曲线节点的计算(5-3)(5-3)对于列表曲线的处理，一般的思想方法是：对于列表曲线的处理，一般的思想方法是：根据已知的几个列表点，在相邻点的区间内构根据已知的几个列表点，在相邻点的区间内构造出一个简单的近似函数造出一个简单的近似函数y=y=i i(x)(x)来代替该区来代替该区间内的列表曲线间内的列表曲线(称为称为一次拟合一次拟合)，然后再用上，然后再用上述逼近方法对曲线述逼近方法对曲线y=y=i i(x)(x)求逼近直线或圆弧求逼近直线或圆弧的节点的节点(称为称为二次拟合二次拟合)，用以
26、编制该区间内的，用以编制该区间内的程序，重复程序，重复(n-1)n-1)次这样的过程次这样的过程(n n个点的个点的n-1n-1个个区间区间)，就可编制出列表曲线的全部轮廓加工程，就可编制出列表曲线的全部轮廓加工程序。序。列表曲线节点的计算列表曲线节点的计算(5-4)(5-4)构造区间内的函数构造区间内的函数y=y=i i(x)x)，应满足下列条应满足下列条件：件：列表点在曲线列表点在曲线y=y=i i(x)x)上，即列表点满足函上，即列表点满足函数关系；数关系；在区间内及端点处，在区间内及端点处，y=y=i i(x)x)有一阶及二阶有一阶及二阶连续导数，这可保证连续点处轮廓曲线是光滑连续导数
27、，这可保证连续点处轮廓曲线是光滑的；的；y=y=i i(x)(x)是低于三次的多次项，以保证是低于三次的多次项，以保证二次拟合时计算简单。二次拟合时计算简单。列表曲线节点的计算列表曲线节点的计算(5-5)(5-5)近似函数近似函数y=y=i i(x)(x)称为称为插值函数插值函数，对于不，对于不同的构造插值函数的方法，有不同的列表曲线同的构造插值函数的方法，有不同的列表曲线的拟合方法。常用的方法有的拟合方法。常用的方法有牛顿插值法牛顿插值法、双圆双圆弧法弧法、样条函数样条函数(SPLINE)SPLINE)法法等。等。双圆弧法节点计算概述双圆弧法节点计算概述(2-1)(2-1)双圆弧法双圆弧法原
28、则上是在两个相邻的列表点之原则上是在两个相邻的列表点之间用一个间用一个(直线直线)或两个几何元素或两个几何元素(圆弧圆弧)来逼近来逼近轮廓曲线，即插值函数为直线或圆弧。显然，轮廓曲线，即插值函数为直线或圆弧。显然，这样的处理使一次拟合即可运用直线或圆弧段这样的处理使一次拟合即可运用直线或圆弧段插补程序来获得加工轮廓曲线，避免了二次拟插补程序来获得加工轮廓曲线，避免了二次拟合，使编程简单。基于此因素，使双圆弧法成合，使编程简单。基于此因素，使双圆弧法成为对列表曲线进行数学处理中应用最广泛的方为对列表曲线进行数学处理中应用最广泛的方法。法。双圆弧法节点计算概述双圆弧法节点计算概述(2-2)(2-2
29、)采用双圆弧法对列表曲线进行处理时，除采用双圆弧法对列表曲线进行处理时，除需已知被逼近曲线段的两个给出列表点外，还需已知被逼近曲线段的两个给出列表点外，还必须有其两侧的两个列表点必须有其两侧的两个列表点(即不少于给出四个即不少于给出四个列表点列表点)，并根据这四个列表点的相互关系，确，并根据这四个列表点的相互关系，确定逼近的几何元素是直线还是圆弧。定逼近的几何元素是直线还是圆弧。直线元素的逼近直线元素的逼近YX4O321如右图所示，如果给出的如右图所示，如果给出的四个列表点四个列表点P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4中，中，通过相邻两点的连线与通过相邻两点的连线与X X轴的
30、轴的夹角分别为夹角分别为、，若满足若满足00085.0)sin(00085.0)sin(则则P P2 2和和P P3 3点之间或用直线点之间或用直线段段P P2 2P P3 3来逼近。来逼近。内切双圆弧元素逼近内切双圆弧元素逼近(7-1)(7-1)Y YX XO OP1P4P P2 2P P3 3继续在一般情况下，当给在一般情况下，当给出四个列表点出四个列表点P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4时，时，P P2 2、P P3 3之间可用双圆之间可用双圆弧来逼近。根据四个点的弧来逼近。根据四个点的不同分布情况，可分别采不同分布情况，可分别采用用内切内切和和外切外切双圆弧来逼双圆
31、弧来逼近列表曲线。近列表曲线。内切双圆弧逼近内切双圆弧逼近 当列表点当列表点P P1 1、P P4 4在点在点P P2 2、P P3 3连线同一侧时，如右图所连线同一侧时，如右图所示，示，P P2 2、P P3 3点之间的轮廓曲点之间的轮廓曲线可用两个内切圆弧来逼近。线可用两个内切圆弧来逼近。内切双圆弧元素逼近内切双圆弧元素逼近(7-2)(7-2)Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3继续N N1 1N NN N2 2 内切双圆弧的构成内切双圆弧的构成 设设P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4如右图所如右图所示。过示。过P P2 2点作点作P P1
32、 1P P2 2P P3 3的角的角平分线平分线P P2 2A A2 2及其垂线及其垂线P P2 2M M；过过P P3 3点作点作P P2 2P P3 3P P4 4的角平分的角平分线线P P3 3A A3 3及其垂线及其垂线P P3 3M M；过过P P2 2点点再作再作P P3 3P P2 2M M的角平分线的角平分线P P2 2N N1 1；过过P P3 3点作角点作角P P2 2P P3 3PMPM的角平的角平分线分线P P3 3N N2 2；P P2 2N N1 1与与P P2 2N N2 2相交相交于于N N点。点。A2A2M MA3A3内切双圆弧元素逼近内切双圆弧元素逼近(7-
33、3)(7-3)继续 内切双圆弧的构成内切双圆弧的构成 过过N N点作点作P P2 2P P3 3连线的垂线连线的垂线NPNP，NPNP与与P P2 2A A2 2和和P P3 3A A3 3分别交于分别交于O O2 2、O O3 3点；分别以点；分别以O O2 2、O O3 3点为圆点为圆心，心，O O2 2 P P2 2、O O3 3 P P3 3为半径作为半径作圆弧圆弧C C2 2、C C3 3，两圆弧必内切两圆弧必内切于于N N点（因在二圆心的连线点（因在二圆心的连线上），且上），且P P2 2M M主主 P P3 3M M也分别也分别在在P P2 2点和点和P P3 3点与点与C C2
34、 2和和C C3 3相切。相切。C C2 2、C C3 3即为所求列表点即为所求列表点P P2 2、P P3 3之间轮廓曲线的逼近双圆之间轮廓曲线的逼近双圆弧。弧。Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P内切双圆弧元素逼近内切双圆弧元素逼近(7-4)(7-4)继续 双圆弧的半径及圆心坐标计算双圆弧的半径及圆心坐标计算 内切双圆弧逼近曲线的内切双圆弧逼近曲线的两两圆弧半径为：圆弧半径为：Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O
35、 O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P2cos2sin2cos2cos12cos2sin2cos2sin12322LRLR其中：其中：R R2 2圆弧圆弧C C2 2的半径；的半径；L L2 2圆弧圆弧C C3 3的半径；的半径；R R3 3列表点列表点P P2 2、P P3 3之间的距离；之间的距离；、意义如图示。意义如图示。内切双圆弧元素逼近内切双圆弧元素逼近(7-5)(7-5)继续 双圆弧的半径及圆心坐标计算双圆弧的半径及圆心坐标计算 双圆弧的圆心坐标双圆弧的圆心坐标O O2 2（x xO2O2，y yO2O2）、）、O O3 3（x
36、 xO3O3，y yO3O3）为：为：Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P2sin2cos2cos2sin333333222222RyyRxxRyyRxxpopopopo显然，列表点显然，列表点P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4都是给定的，都是给定的，即各坐标点即各坐标点P P1 1（x xP1P1，y yP1P1）、）、P P2 2（x xP2P2，y yP2P2）、）、P P3 3（x xP3P3，y yP3P3）、）、P P4 4（x
37、 xP4P4，y yP4P4）已知，故可已知，故可求得求得L L2 2、。内切双圆弧元素逼近内切双圆弧元素逼近(7-6)(7-6)继续L L2 2、为：为：Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P4343123231121212232232ppppppppppppppppxxyytgxxyytgxxyytgyyxxL内切双圆弧元素逼近内切双圆弧元素逼近(7-7)(7-7)继续双圆弧逼近节点（切点）的坐标计算计算双圆弧逼近节点（切点）的坐标计算计算 节点节点N N的
38、坐标的坐标N N（x xN N，y yN N）为下列方程组的解：为下列方程组的解：Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3N N1 1N NN N2 2C C3 3C C2 2A2A2M MA3A3P P232323222222RyyxxRyyxxONONONON重复上述过程，就可获得重复上述过程，就可获得全部列表点之间双圆弧逼近全部列表点之间双圆弧逼近的圆心坐标、半径及其节点的圆心坐标、半径及其节点坐标。于是，零件轮廓列表坐标。于是，零件轮廓列表曲线的编程问题就可用各相曲线的编程问题就可用各相邻点之间的两个圆弧段程序邻点之间的两个圆弧段程序段
39、得到解决。段得到解决。外切双圆弧元素逼近外切双圆弧元素逼近(5-1)(5-1)Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3 外切双圆弧逼近外切双圆弧逼近 当列表点当列表点P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4分布情况如右图所示，即分布情况如右图所示，即点点P P1 1、P P4 4在在P P2 2、P P3 3连线的两连线的两侧时，侧时，P P2 2、P P3 3点之间的轮廓点之间的轮廓曲线可用两个外切双圆弧曲线可用两个外切双圆弧来逼近。来逼近。外切双圆弧元素逼近外切双圆弧元素逼近(5-2)(5-2)Y YX XO OP1P P4 4P P2 2P P3
40、3O O2 2O O3 3 外切双圆弧的构成外切双圆弧的构成设设P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4如右图所示。如右图所示。过过P P2 2点作点作P P1 1P P2 2P P3 3的角平分线的角平分线P P2 2A A2 2及其垂线及其垂线P P2 2M M；过过P P3 3点作点作P P2 2P P3 3P P4 4的的角平分线角平分线P P3 3A A3 3及其垂线及其垂线P P3 3N N；从圆从圆心在心在P P2 2A A2 2上并在上并在P P2 2点与点与P P2 2M M相切的相切的圆，以及圆心在圆，以及圆心在P P3 3A A3 3上并在上并在P P3 3
41、点与点与P P3 3N N相切的圆中，选取彼此相切的相切的圆中，选取彼此相切的两个圆弧两个圆弧C C2 2、C C3 3，使使C C2 2、C C3 3在在P P点点相切，且相切，且P P点到点到 P P2 2点的弧长等于点的弧长等于P P点到点到P P3 3点的弧长。点的弧长。C C2 2、C C3 3即为所求即为所求列表点列表点P P2 2、P P3 3之间轮廓曲线的逼近之间轮廓曲线的逼近双圆弧。双圆弧。A2A2A3A3M MN NC C3 3C C2 2P P外切双圆弧元素逼近外切双圆弧元素逼近(5-3)(5-3)Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2
42、 2O O3 3 双圆弧的半径及圆心坐标计算双圆弧的半径及圆心坐标计算 外切双圆弧逼近曲线的半径为：外切双圆弧逼近曲线的半径为：C C3 3C C2 243sin43sin2sin4cos2cos43sin43sin2sin4cos2cos2322LRLR其中：其中：L L2 2、意义同内切双圆弧。意义同内切双圆弧。P P外切双圆弧元素逼近外切双圆弧元素逼近(5-4)(5-4)Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3 双圆弧的半径及圆心坐标计算双圆弧的半径及圆心坐标计算 双圆弧的圆心坐标双圆弧的圆心坐标O O2 2 （x xO2 O2，y yO
43、2O2）、）、O O3 3（x xO3 O3，y yO3O3）为：为：C C3 3C C2 22cos2sin2cos2sin333333222222RyyRxxRyyRxxpopopopo其中：其中：L L2 2、意义同内切双圆弧。意义同内切双圆弧。P P外切双圆弧元素逼近外切双圆弧元素逼近(5-5)(5-5)Y YX XO OP P1 1P P4 4P P2 2P P3 3O O2 2O O3 3返回返回 双圆弧逼近节点（切点）的坐标计算双圆弧逼近节点（切点）的坐标计算 节点节点P P的坐标的坐标P P（x xP P，y yP P）为下列方程组的解：为下列方程组的解：C C3 3C C2
44、2 重复上述过程，就可获重复上述过程，就可获得全部列表点之间的双圆弧得全部列表点之间的双圆弧逼近的圆心坐标、半径及其逼近的圆心坐标、半径及其节点坐标。节点坐标。232323222222RyyxxRyyxxOPOPOPOPP P刀具中心位置计算刀具中心位置计算(5-1)根据计算所得零件轮廓各基点和坐标及圆根据计算所得零件轮廓各基点和坐标及圆心坐标，再利用数控系统刀具补偿功能（心坐标，再利用数控系统刀具补偿功能（G41G41、G42G42）并输入刀具半径，即可编制出相应的零件并输入刀具半径，即可编制出相应的零件加工程序，完成零件的加工。加工程序，完成零件的加工。刀具中心位置计算刀具中心位置计算(5
45、-2)当数控系统不具备刀具半径自动补偿功能，当数控系统不具备刀具半径自动补偿功能，且用圆形车刀或铣刀加工时，就不能直接按零件且用圆形车刀或铣刀加工时，就不能直接按零件轮廓尺寸提供的基点坐标值编程，而要经过一定轮廓尺寸提供的基点坐标值编程，而要经过一定的数学运算，以补偿刀具半径的影响。对于没有的数学运算，以补偿刀具半径的影响。对于没有刀具半径自动补偿功能的数控系统，其零件加工刀具半径自动补偿功能的数控系统，其零件加工程序的编制最常采用刀具中心轨迹基点来编程。程序的编制最常采用刀具中心轨迹基点来编程。刀具中心位置计算刀具中心位置计算(5-3)RABDCEedcbaO右右图中，图中，a、b、c、d、
46、e即为刀具中即为刀具中心轨迹的基点。心轨迹的基点。刀具中心轨迹刀具中心轨迹是零件轮廓的等距是零件轮廓的等距线，两线的法向距线，两线的法向距离即为刀具半径离即为刀具半径r r。刀具中心位置计算刀具中心位置计算(5-4)RABDCEedcbaO根据几何关系可根据几何关系可知：零件轮廓为直线，知：零件轮廓为直线，且直线方程为：且直线方程为：0cByAx则其等距线方程为：则其等距线方程为：22BArcByAx式中：式中：r r 为刀具半径；等号右边的正负号决定方为刀具半径；等号右边的正负号决定方法为：对于相同的法为：对于相同的x x值，等距线上的值，等距线上的y y值大于原线值大于原线的的y y值时取
47、正，反之取负。如直线平行于值时取正，反之取负。如直线平行于y y轴，等轴，等距线的距线的x x值大于原线的值大于原线的x x值时取正，反之取负。值时取正，反之取负。刀具中心位置计算刀具中心位置计算(5-5)零件轮廓为圆，零件轮廓为圆，且圆方程为：且圆方程为：RABDCEedcbaO222RyyxxOO222rRyyxxOO则其等距线方程为：则其等距线方程为：式中：式中：r r 为刀具半径；为刀具半径；等号边项的正负号决定等号边项的正负号决定方法为：对于外凸圆弧取正；内凹圆弧取负。方法为：对于外凸圆弧取正；内凹圆弧取负。根据等距线方程，则可求得刀具中心轨迹的基点。根据等距线方程，则可求得刀具中心
48、轨迹的基点。过渡过渡(5-1)(5-1)加工时，当刀具由零件轮廓的一个几何表面向加工时，当刀具由零件轮廓的一个几何表面向相邻的几何表面加工时，存在刀具中心轨迹的过度相邻的几何表面加工时，存在刀具中心轨迹的过度问题。常用的过渡方式有：问题。常用的过渡方式有：由零件轮廓表面的等距线的交（切）点（即基点）由零件轮廓表面的等距线的交（切）点（即基点）直接过渡。直接过渡。过渡过渡(5-2)(5-2)r r r r r r R1+r R+r R2-r CABabc如下图所示，通过计算，求出零件表面的等距线如下图所示，通过计算，求出零件表面的等距线（即刀具中心轨迹）的交（切）点，并将该交（切）（即刀具中心轨
49、迹）的交（切）点，并将该交（切）点作为该轮廓表面加工的起（讫）点来编程，即基点点作为该轮廓表面加工的起（讫）点来编程，即基点的直接过渡。的直接过渡。过渡过渡(5-3)(5-3)r r r r r r R1-r R-r R2+r CABa1b2c2a2b1c1 基点用圆弧过渡基点用圆弧过渡如下图所示，当零件轮廓两相邻表面相交而不相如下图所示，当零件轮廓两相邻表面相交而不相切时，除可以采用直接过渡外，还可以采用圆弧过渡。切时，除可以采用直接过渡外，还可以采用圆弧过渡。基点处采用圆弧过渡时，其刀具的运动距离小于采用基点处采用圆弧过渡时，其刀具的运动距离小于采用直接过渡时刀具的运动距离，故加工效率较高
50、。直接过渡时刀具的运动距离，故加工效率较高。过渡过渡(5-4)(5-4)在进行上述刀具中心轨迹编程的数学处理时，在进行上述刀具中心轨迹编程的数学处理时，其基本问题就是：利用零件轮廓曲线的参数和刀具其基本问题就是：利用零件轮廓曲线的参数和刀具半径半径r r的值，计算出刀具中心轨迹的基点参数，再利的值，计算出刀具中心轨迹的基点参数，再利用这些参数编制成零件的加工程序。用这些参数编制成零件的加工程序。当因材料、工艺变化或刀具磨损需要更换刀具当因材料、工艺变化或刀具磨损需要更换刀具时，则必须重新对刀具中心轨迹进行数学处理，并时，则必须重新对刀具中心轨迹进行数学处理，并重新编制程序。重新编制程序。过渡过
