1、2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第7章第1节第第7 7章章 预测理论与应用预测理论与应用 7.1 7.1 基本概念与预测初步基本概念与预测初步 7.2 7.2 基于基于MAMA模型的预测模型的预测 7.3 7.3 基于基于ARAR模型的预测模型的预测 7.4 7.4 预测准确性度量指标预测准确性度量指标7.1 7.1 基本概念与预测初步基本概念与预测初步 7.1.1 7.1.1 基本概念基本概念 预测集：预测集：考虑一个时序变量y，拥有历史数据从1到T。假定没有任何其他信息，那么对y的未来预测所依据的信息集可以写成：这种信息集称为单变量信息集。121,TTTTyyyy
2、如果还有其他变量x也影响y的未来走势，那么就形成多变量信息集，即：121121,TTTTTTTy yyy x xxx 预测期预测期 预测期（forecasting horizon）是指当期与预测对应的日期之间的时间间隔。预测分析中经常使用“向前h-期预测”这样的表述，其中h就表示预测期。图图7-17-1预测期为预测期为4期的点预测期的点预测 23242526272829302468101214161820222426样本内历史数据样本外预测：预测期为4期 最优预测最优预测 最优预测（optimal forecast）是指在给定信息集下，预测结果能够最小化预测损失（假定存在损失函数）。在一般情况
3、下，可以证明给定信息集下的条件期望就是最优预测，即E(yT+h|T)。7.1.2 7.1.2 预测初步：基于时间趋势模型的预测初步：基于时间趋势模型的预测预测（1）线性时间趋势模型）线性时间趋势模型 如果我们考虑变量yt对时间t进行计量回归，并且考虑带有常数项c，那么对应的线性时间趋势模型就是ttyctttyct 其中表示随机扰动项，暂时假设为独立同分布；是回归模型的斜率系数，其正负决定了y是增长趋势还是减弱趋势序列，其大小决定了趋势序列的陡峭程度。另外，在模型中，t的取值完全和时间一一对应。在初始时点t=1，在第二个时点t=2，以此类推。如果样本为T，那么t的取值就是（1，2，T-1，T）。
4、ttyct图图7-2 7-2 基于不同参数取值的时间基于不同参数取值的时间趋势序列趋势序列-60-40-20020406080102030405060708090100y1=10+0.6*t+ey2=-20-0.3*t+e趋势时间基于基于EViews的程序：的程序：基于基于GAUSS的程序的程序：图图7-37-3-8,000-4,00004,0008,00012,00040,00060,00080,000100,000120,000140,000160,0001951196119711981199120012011残差CLF实际值拟合值 美国平民劳动力人口与线性时间趋势模型拟合结果美国平民劳动
5、力人口与线性时间趋势模型拟合结果 图7-3描绘了美国平民劳动力人口数量（Civilian Labor Force，以CLF表示）的原始序列，同时报告了以CLF作为因变量的线性时间趋势模型回归后（使用OLS回归）的拟合序列。从图7-3中不难看出，CLF似乎可以大致用线性趋势模型来刻画其动态路径。从拟合结果来看，在1980年之后的区间内线性趋势模型对CLF的拟合程度相对之前更高。图图7-47-4（2 2）非线性时间趋势模型）非线性时间趋势模型 图7-4描绘的从1995年1月至2015年6月上海证券交易所证券交易总额的月度时间序列，从中我们就看到非常明显的非线性走势。二次型时间趋势模型是非线性趋势模
6、型中比较简单和常见的类型之一，其模型可以写成 因为上面的模型中时间趋势项的最高阶是二次方的形式，所以这样的模型称为二次型时间趋势模型。212ttyctt图图7-57-5-2,000-1,00001,0002,0003,00001,0002,0003,0004,0005,0006,00019961998200020022004200620082010残差序列上交所证券交易总额实际值拟合值（10亿元）上交所证券交易总额与二次型时间趋势模型拟合结果上交所证券交易总额与二次型时间趋势模型拟合结果 需要说明的是，单纯从拟合效果来判定模型设立形式并不一定是最合适的选择，因为计量模型设立的另外一个重要原则是
7、简约（parsimony）。对于非线性时间趋势模型更是如此。（3 3）基于时间趋势模型的预测分析）基于时间趋势模型的预测分析 假定我们现在处于时刻T，我们的预测期是h，那么根据线性时间趋势模型，我们可以写出h期以后序列y的点预测值对应的表达式，即()T hT hycTh实践中的预测结果实际上可以写成()T hycTh 获得了点预测值之后，还可以进一步计算其对应的置信区间。以95%的置信区间为例，置信区间上限界为 ，其中 表示回归模型中扰动项的标准差估计值。1.96T hy 上述过程以线性时间趋势模型为例，但对于非线性时间趋势模型，我们仍然可以用类似的过程来进行预测。7.2 7.2 基于基于MA
8、MA模型的预测模型的预测 MA(2)模型可以写成 其中WN表示“服从正态分布的白噪音”，即“高斯白噪音”（Gaussian white noise）。),0(22211WNyttttt T+1时刻的点预测值就可以写成 继续对T+2期进行预测 11121TTTTy 1,1121()0TTTTTTyP y 22112TTTTy 2,222()00TTTTTTyP y 依此类推的话，对于T+2期以上（我们用T+h表示）的点预测值应该都为0，即 预测误差就是指实际值与预测值之间的差，即,()0T h TT hTyP y,Th TThTh Teyy 从T+1时刻开始一直到T+h时刻对应的预测误差分别可以
9、写成如下形式：1,12,211,1122(1)(2).(2)TTTTTTTT h TT hT hT heheheh 进一步得到预测误差对应的方差表达式，即22122221222212(1).(1),(for all 2)hh 对于如下形式的MA（q）过程),0(211WNytqtqttt 对于hq的情形，y的点预测值则变成,0Th Ty,0Th Ty,0Th Ty对于无穷阶MA过程其中，0tit iiyb20202,1),0(iitbbWN01111=T+h=T+hThThThhThTybbbb 下标加总下标加总01111=T+h=T+hThThThhThTybbbb 下标加总下标加总,011
10、1100011T h TT hT hhThThThTybbbbbb,11111110()()T h TT hT h TT hT hhThThThThiT h iieyybbbbbb 从而，1,0()()0hTh TiTh iiE eEb 122,0var()hTh Tiieb7.3 基于基于AR模型的预测模型的预测 AR(1)可以写成),0(21WNyytttt),0(21WNyytttt11TTTyy1,TTTyy212TTTyy2,1,TTTTyy 从以上过程我们可以看出，基于AR模型的预测，实质上是运用了所谓的“链式法则”（Chain Rule），一环一环地套下去，可以获得未来任意一期的预测值。将AR（1）写成MA()的形式，即，对比得出，222-1-2(1)+tttttyLL iib 可以得到AR(1)模型对应的预测误差项的方差及其标准差表达式112222,00var()hhiTh Tiiieb112222,00var()hhiTh Tiiieb表表7-1 预测准确度的预测准确度的常用度量指标常用度量指标7.4 7.4 预测准确定的度量指标预测准确定的度量指标
