1、方差分析概述方差分析概述单因素方差分析单因素方差分析多因素方差分析多因素方差分析协方差分析协方差分析在科学实验中常常要探讨在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结不同实验条件或处理方法对实验结果的影响果的影响。通常是比较不同实验条件下。通常是比较不同实验条件下总体均值总体均值间的差异间的差异举例举例u医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；医学界研究几种药物对某种疾病的疗效；u农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响u不同饲料对牲畜体重增长的效果等不同饲料对牲畜体重增长的效果等u不同广告形式、地区规模等因素对广告效
2、果的影响等不同广告形式、地区规模等因素对广告效果的影响等 都可以使用方差分析方法去解决都可以使用方差分析方法去解决方差分析方差分析是检验多个总体均值是否相等的一种方法是检验多个总体均值是否相等的一种方法。本质上是。本质上是研研究分类型自变量对数值型因变量的影响。究分类型自变量对数值型因变量的影响。方差分析概念方差分析概念控制因素控制因素(控制变量控制变量)：在方差分析中，所要检验的对象称为因素。其常为一个或多个离散型的分类变量。水平：水平：因素的不同类别或不同取值为因素的不同水平。因素的每一个水平可以看作一个整体。观测因素（观测变量观测因素（观测变量）：在进行方差分析时，每个控制因素水平下得到
3、的样本数据。几个基本概念几个基本概念方差分析中判断总体均值是否相等判断总体均值是否相等一般是通过对数据变异来源的分析判断得到。变异来源有两种情况：控制因素控制因素和随机因素随机因素。控制因素：控制变量不同而造成的变异。随机误差：在同一因素下的观察值由于抽样的随机性造成的误差（抽样误差）。方差分析基本原理方差分析基本原理数据变异用离均差平方和表示。组内误差组内误差（随机误差随机误差）数据误差数据误差 随机误差随机误差 组间误差组间误差 系统误差系统误差 衡量同一水平下样本数据的误差衡量控制变量不同造成的变差方差分析的核心是方差可分解方差可分解。这里的方差是指通过计算各观测值偏离均值的平方和再除以
4、n-1得到。这样，在给定n的情况下，方差就是离差平方和，简称SST。观察量的总平方和（SST）分解为组间离差平方和（SSA）和组内误差平方和（SSE），即：SST=SSA+SSE由误差来源的分析得知，判断分类型自变量对数值型因变量受否有影响，就是检验数值型变量存在差异的原因。如果这种差异主要是系统误差，则分类型变量对该数值存在显著影响，否则差异不显著。根据统计学原理，组间均方和组内均方的比值构成F分布。给定显著性水平，通过和F分布统计量的概率P的比较，推出总体均值是否存在显著差异。方差分析一般应满足3个基本假设，即要求：l各个总体应服从正态分布l各个总体的方差相同l观测值是独立的。u单因素方差
5、分析的基本思想u单因素方差分析的数学模型u单因素方差分析的基本步骤u单因素方差分析的基本操作u单因素方差分析的应用举例u单因素方差分析的进一步分析及应用u单因素方差分析研究的是一个分类型自变量一个分类型自变量对一个一个数值型因变量数值型因变量的影响。u例如：学历是对工资收入的影响。概念概念u明确观测变量和控制变量u eg.前面例子中观测变量是收入；控制变量是学历u剖析观测变量的方差u比较观测变量总离差平方和各部分的比例u如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，否则，则不是。SSTSSASSE基本思想基本思想211()inkijijSSTxx21()kiiiS
6、SAn xx211()inkijiijSSExxijxijiijx(1,2,.,)iiaik11kiik(1,2,.,;1,2,.)ijiijxaik jr(1,2,.,;1,2,.)ik jr在水平在水平A Ai i下的第下的第j j次试验的样本值次试验的样本值 可以定义为：可以定义为：单因素方差分析的数学模型为单因素方差分析的数学模型为（1）建立原假设和备择假设（2）构造统计量其中，n为总体数目012:KH112:,KH 不全相等/(1)(1,)/()MSASSA kFF knkMSESSEnk（3）计算统计量的观测值和概率P值（4）给定显著性水平，得出结论。当 时，拒绝原假设，即认为控制
7、变量不同水平下观测变量各总体的均值存在显著差异；当 时，则不能拒绝原假设，即认为控制变量不同水平下观测变量各总体的均值没有显著差异pp分析分析比较均值比较均值单因素单因素AVOVAAVOVA广告形式对销售额的单因素方差分析广告形式对销售额的单因素方差分析方法方法一一 因为F值对应的概率P值小于0.05，所以拒绝原假设，即认为不同广告形式对销售额有显著差异。方法二方法二比较均值比较均值分析分析均值均值单因素方单因素方差分析一差分析一定要选上定要选上一、方差齐性检验 对控制变量不同水平下各观测变量总体方差是否相等进行分析(方差分析前提条件)二、多重比较检验 如果控制变量确实对观测变量产生了显著影响
8、，进一步应确定控制变量的不同水平对观测变量的影响程度如何，其中哪个水平的作用显著区别其它水平。其构造检验统计量的方法有LSD方法、bonferroni方法、tukey方法、scheffe方法、s-n-k方法等。三、其它检验先验对比检验、趋势检验进一步进一步分析分析 最小显著性差异法。最小显著性差异法。用T检验完成组间成对均值的比较。检验的敏感度较高，即使是各个水平间的均值存在细微差别也有可能被检验出来，但此方法对第一类弃真错误不进行控制和调整。LSDLSD方法方法 修正最小显著性差异法修正最小显著性差异法。用T检验完成组间成对均值的比较，但通过设置每个检验的误差率来控制整个误差率。因此采用此方
9、法看到的显著值是多重比较完成后的调整值。用q检验完成各水平下观测值个数相等观测值个数相等时组间成对均值的比较。一定程度可以保证犯一类错误的概率总体上不增大。Bonferroni方法方法Tukey方法方法 当各水平下观测值个数不相等，或者想进行复杂的比较时，当各水平下观测值个数不相等，或者想进行复杂的比较时，或对所有可能的组合进行同步比较时，可选用此方法或对所有可能的组合进行同步比较时，可选用此方法。这种检验被用来检验组间均值的所有可能的线性组合，而不只是成对组合，并控制整体显著性水平为0.05。这种方法相对比较保守，有时候方差分析F值有显著性，用该方法进行两两比较却找不出差异。Scheffe方
10、法方法 目的是寻找同质子集寻找同质子集，简单地说，各组均值首先按从小到大的顺序排列，然后根据多重比较结果将所有的组分为若干个子集，子集之间的各组间有差别（P值小于0.05），子集之内的各组间无差别。S-N-K方法方法趋势检验趋势检验问题：分析不同地区的销售额总体上是否会随着地区人口密度的减少（地区编号大人口密度低）而呈现某种变化趋势先验对比检验所有系数之和为0在多重比较分析后得知宣传品广告效果最差，其余略有差异（先验的结论）。这里可以对报纸、广播和体验的整体效果进行进一步的对比分析。不同广告形式下销售额不同广告形式下销售额总体方差齐性检验总体方差齐性检验因为P值大于0.05，所以不能拒绝原假设
11、，即认为方差齐性多重比较检验多重比较检验（分析哪种广告形式作用明显）（分析哪种广告形式作用明显）广告形式多重比较检验的相似性子集广告形式多重比较检验的相似性子集此方法在相似性子集划分中用得最多趋势检验趋势检验（分析销售额是否会随着地区（分析销售额是否会随着地区人口密度减少而呈现出某种趋势）人口密度减少而呈现出某种趋势）因为F值对应的概率P值小于0.05，所以拒绝原假设，即认为地区和销售额之间不是零线性相关先验对比检验先验对比检验因为T值对应的概率P值大于0.05，所以不能拒绝原假设，即认为报纸广告的效果与广播、体验的总体效果没有显著差异 对四个服务行业的服务质量进行评价，较高得分表示较高的服务
12、质量。对航空公司、零售业、旅馆业和汽车制造业进行的评定数据见四种不同行业评价得分.sav。在显著性水平=0.05下，检验四种行业质量等级的总体均值是否差异显著？你的结论如何？在上一节课，我们已经研究了不同广告形式对产品销售有显著影响，不同地区的产品销售额也存在显著差异，然而，不同广告形式和不同地区的搭配是否会对销售额产生影响呢？而哪种搭配方式又可以获得最理想的销售业绩呢？问题引出问题引出u多因素方差分析的基本思想u多因素方差分析的数学模型u多因素方差分析的基本步骤u多因素方差分析的基本操作u多因素方差分析的应用举例u多因素方差分析的进一步分析及应用 多因素方差分析用来研究两个及两个以上控制变量
13、是否对观测变量产生显著影响。它不仅能分析多个因素对观测变量的独立影响，更能够分析多个控制因素的交互作用能否对观测变量的分布产生显著影响，进而找到有利于观测变量的最优组合。概念概念u确定观测变量和若干个控制变量u剖析观测变量的方差u比较观测变量总离差平方和和各部分所占的比例基本思想基本思想第一，控制变量独立作用的影响第二，控制变量交互作用的影响第三，随机因素的影响211()krAijiijSSTSSASSBSSABSSESSAnxx211()rkBijiijSSBnxx2111()ijnrkABijkijijkSSExxSST SSA SSB SSC SSAB SSBC SSAC SSABC S
14、SE设控制变量A有k个水平，B有r个水平，每个交叉水平下均有l个样本，则在控制变量A的水平Ai和控制变量B的水平Bj下的第k个样本值 定义为：ijkx()ijkijijijkxabab(1,2,.;1,2.,;1,2.,)ik jr kl多因素方差分析的饱和模型提出零假设提出零假设选择检验统计量选择检验统计量012121112:00()()()0kkkrHaaabbbababab112121112:,00()()()0kkkrHa aabbbababab不全为，不全为，不全为/(1)/(1)/(1)/(1)/(1)(1)/(1)ABABSSA kMSAFSSE kr lMSESSBrMSBFS
15、SE kr lMSESSABkrMSABFSSE kr lMSE/(1)/(1)(1)/(1)/(1)(1)ABSSA kMSAFSSABkrMSABSSBrMSAFSSABkrMSAB固定固定效效应应模模型型随机效应模型随机效应模型计算检验统计量观测值和概率P值给出显著性水平 ，并作出统计决策（1）若FA的概率p ，则拒绝原假设，即认为控制变量A的不同水平对观测变量产生了显著影响。（2）FB的概率p ，则拒绝原假设，即认为控制变量B的不同水平对观测变量产生了显著影响。（3）FAB的概率p ,则拒绝原假设，即认为控制变量A、B的交互作用对观测变量产生了显著影响，然后再依此对A、B的效应进行检验
16、分析分析一般线性模型一般线性模型单变量单变量 因为概率P小于0.05，所以拒绝原假设，即认为线性模型对观测变量有一定的解释作用 后面的几个概率中，除了交互作用中概率大于0.05外，其余的全小于0.05，说明除了交互作用差异不显著外，其它的都显著l两因素的非饱和模型：SST=SSA+SSB+SSEl三因素的非饱和模型：SST=SSA+SSB+SSC+SSABC+SSE多因素方差分析的非饱和模型多因素方差分析的其他功能l 均值检验l 模型分析建立非饱和模型均值比较的操作均值比较的操作 某教学实验中，采用不同的教学方法和不同的教材进行教学实验，获得一系列数据，现在分析不同教学方法和不同教材对教改成绩
17、的影响，数据附在文件夹教改成绩.sav。要求：进行均值的多重比较，方法选用LSD法，得出教改成绩多因素方差分析的饱和模型表和非饱和模型表，并得出教学方法和教材的交互作用图。问题引出：在分析不同的饲料对生猪增重是否产生显著差异时，如果仅仅是分析饲料的作用，即用单因素方差分析来进行，而不考虑生猪自身各自不同的身体条件（比如猪最初时的体重）时，得出的结论很可能是片面的，不准确的。这时，如何才能准确地反映不同饲料对生猪体重的影响呢？u协方差分析的基本思路u协方差分析的数学模型u协方差分析的基本操作u协方差分析的应用举例 本节主要内容本节主要内容基本概念 协方差分析是指将那些很难人为控制的控制因素作为协变量，并在排除协变量对观测变量影响的条件下，分析控制变量对观测变量的作用，从而更加准确地对控制变量进行评价。基本同方差分析的基本思想，除此之外，考虑了协变量的影响，认为观察变量的变化受四个方面的影响：即控制变量的独立作用，控制变量的交互作用，协变量的作用和随机因素的作用，并在扣除协变量的影响后，再分析控制变量对观测变量的影响。协方差分析的基本思想方差分析中的零假设是：协变量对观测变量的线性影响不显著；在协变量影响扣除的条件下，控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异，控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。用F统计量进行检验。单因素协方差分析的数学模型是：ijiijijxaz
