1、第六节离散型随机变量的均值与方差第六节离散型随机变量的均值与方差备考方向明确备考方向明确知识链条完善知识链条完善高频考点突破高频考点突破课堂类题精练课堂类题精练解题规范夯实解题规范夯实备考方向明确备考方向明确复习目标复习目标学法指导学法指导1.1.了解取有限个值的离散型随机了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念变量的均值、方差的概念.2.2.能计算简单离散型随机变量的能计算简单离散型随机变量的均值、方差均值、方差,并能解决一些简单实并能解决一些简单实际问题际问题.求均值、方差的关键是求分布列求均值、方差的关键是求分布列.若已若已知分布列知分布列,则可直接按定义则可直接按定义(公式公式
2、)求解求解;若已知随机变量若已知随机变量X X的均值、方差的均值、方差,求求X X的的线性函数线性函数y=aX+by=aX+b的均值、方差可直接利的均值、方差可直接利用性质求解用性质求解;若能分析出随机变量服从若能分析出随机变量服从常用的分布常用的分布,可直接利用它们的均值、可直接利用它们的均值、方差公式求解方差公式求解,但在没有准确判断出分但在没有准确判断出分布列模型之前布列模型之前,不能乱套公式不能乱套公式.知识链条完善知识链条完善网络构建网络构建一、离散型随机变量的均值与方差一、离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为P(X=xi)=pi,i=
3、1,2,3,n.P(X=xi)=pi,i=1,2,3,n.(1)(1)均值均值:称称E(X)=E(X)=为随机变量为随机变量X X的均值的均值或数学期望或数学期望.x x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xi ip pi i+x+xn np pn n 二、均值与方差的性质二、均值与方差的性质1.E(aX+b)=aE(X)+b.1.E(aX+b)=aE(X)+b.2.D(aX+b)=a2.D(aX+b)=a2 2D(X)(a,bD(X)(a,b为常数为常数).).三、常用随机变量的均值三、常用随机变量的均值2.2.二项分布二项分布:若若X XB(n,p),B(n,p),则则E(X
4、)=np.E(X)=np.拓展空间拓展空间1.1.概念概念(公式公式)理解理解(1)(1)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.(2)(2)均值的单位与随机变量的单位相同均值的单位与随机变量的单位相同.(3)(3)方差刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度方差刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度.方差越小方差越小,则随机变量的则随机变量的取值就越集中在其均值周围取值就越集中在其均值周围;反之反之,方差越大方差越大,则随机变量的取值就越分散则随机变量的取值就越分散.(4)(4)方差的单位是随机变量单位的平方方差的单位是随机变量单位的平方.(5)(
5、5)方差是随机变量与其均值差的平方的均值方差是随机变量与其均值差的平方的均值,即即D(X)D(X)是是(X-E(X)(X-E(X)2 2的期望的期望.2.2.常用随机变量的方差常用随机变量的方差(2)(2)二项分布二项分布:若若X XB(n,p),B(n,p),则则D(X)=np(1-p).D(X)=np(1-p).温故知新温故知新D D1.1.已知离散型随机变量已知离散型随机变量X X的分布列如下表的分布列如下表.若若E(X)=0,D(X)=1,E(X)=0,D(X)=1,则则a,ba,b的值分别的值分别是是()A A3 3.(2019.(2019金色联盟联考金色联盟联考)已知随机变量已知随
6、机变量X X的分布列如下的分布列如下,若若E(X)=0.5,E(X)=0.5,则则mn=mn=,D(X)=,D(X)=.X X-1-10 01 1P Pm m0.30.3n n答案答案:0.060.060.450.45高频考点突破高频考点突破考点一离散型随机变量的均值与方差考点一离散型随机变量的均值与方差 例例11 设袋子中装有设袋子中装有a a个红球个红球,b,b个黄球个黄球,c,c个蓝球个蓝球,且规定且规定:取出一个红球得取出一个红球得1 1分分,取出一个黄球得取出一个黄球得2 2分分,取出一个蓝球得取出一个蓝球得3 3分分.(1)(1)当当a=3,b=2,c=1a=3,b=2,c=1时时
7、,从该袋子中任取从该袋子中任取(有放回有放回,且每球取到的机会均等且每球取到的机会均等)2)2个个球球,记随机变量记随机变量为取出此为取出此2 2球所得分数之和球所得分数之和,求求的分布列的分布列;反思归纳反思归纳 (1)(1)求离散型随机变量的均值与方差求离散型随机变量的均值与方差,可依题设条件求出随机变量可依题设条件求出随机变量的分布列的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解然后利用均值、方差公式直接求解;(2)(2)由已知均值或方差求参数值由已知均值或方差求参数值,可依据条件利用均值、方差公式列含有参数可依据条件利用均值、方差公式列含有参数的方程的方程(组组)求解求解;(3)(3)注意随
8、机变量的均值与方差的性质的应用注意随机变量的均值与方差的性质的应用.考点二与两点分布、二项分布有关的均值、方差考点二与两点分布、二项分布有关的均值、方差 例例22 一家面包房根据以往某种面包的销售记录一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分绘制了日销售量的频率分布直方图布直方图,如图所示如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立并假设每天的销售量相互独立.(1)(1)求在未来连续求在未来连续3 3天里天里,有连续有连续2 2天的日销售量都不低于天的日销售量都不低于100100个且另个且另1 1天的销售量天的销售量低
9、于低于5050个的概率个的概率;解解:(1)(1)设设A A1 1表示事件表示事件“日销售量不低于日销售量不低于100100个个”,A,A2 2表示事件表示事件“日销售量低日销售量低于于5050个个”,B,B表示事件表示事件“在未来连续在未来连续3 3天里天里,有连续有连续2 2天的日销售量都不低于天的日销售量都不低于100100个且另个且另1 1天的销售量低于天的销售量低于5050个个”,因此因此P(AP(A1 1)=(0.006+0.004+0.002)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,50=0.6,P(AP(A2 2)=0.003)=0.00350=0.15,50=0
10、.15,P(B)=0.6P(B)=0.60.60.60.150.152=0.108.2=0.108.(2)(2)用用X X表示在未来表示在未来3 3天里日销售量不低于天里日销售量不低于100100个的天数个的天数,求随机变量求随机变量X X的分布列、的分布列、期望期望E(X)E(X)及方差及方差D(X).D(X).反思归纳反思归纳 若随机变量若随机变量X X服从二项分布服从二项分布,则求则求X X的均值或方差可利用定义求的均值或方差可利用定义求解解,也可直接利用公式也可直接利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解求解.迁移训练迁移训练(1)(
11、1)若小明选择方案甲抽奖若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为记他们的累计得分为X,X,求求X3X3的概率的概率;(2)(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问问:他们选择何他们选择何种方案抽奖种方案抽奖,累计得分的数学期望较大累计得分的数学期望较大?考点三均值与方差在决策中的应用考点三均值与方差在决策中的应用 例例33 现有两种投资方案现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下一年后投资盈亏的情况如下:(1)(1)投资股市投资股市:(2)(2)购买基金购买基金:反思归纳反思归纳 随机
12、变量的均值反映了随机变量取值的平均水平随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了方差反映了随机变量稳定于均值的程度随机变量稳定于均值的程度,它从整体和全局上刻画了随机变量它从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值一般先比较均值,若均值相同若均值相同,再用方再用方差来决定差来决定.迁移训练迁移训练(1)(1)若走若走L L1 1路线路线,求最多遇到求最多遇到1 1次红灯的概率次红灯的概率;(2)(2)若走若走L L2 2路线路线,求遇到红灯次数求遇到红灯次数X X的数学期望的数学期望;(3)(3)按照按
13、照“平均遇到红灯次数最少平均遇到红灯次数最少”的要求的要求,请你帮助张先生从上述两条路线请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由并说明理由.解题规范夯实解题规范夯实分布列与数学期望分布列与数学期望 例题例题 某商场举行有奖促销活动某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次每次抽奖都是从装有抽奖都是从装有4 4个红球、个红球、6 6个白球的甲箱和装有个白球的甲箱和装有5 5个红球、个红球、5 5个白球的乙箱中个白球的乙箱中,各随机摸出各随机摸出1 1个球个球.在摸出的在摸出的2 2个球中个球中,若
14、都是红球若都是红球,则获一等奖则获一等奖;若只有若只有1 1个红球个红球,则获二等奖则获二等奖;若没有红球若没有红球,则不获奖则不获奖.(1)(1)求顾客抽奖求顾客抽奖1 1次能获奖的概率次能获奖的概率;(2)(2)若某顾客有若某顾客有3 3次抽奖机会次抽奖机会,记该顾客在记该顾客在3 3次抽奖中获一等奖的次数为次抽奖中获一等奖的次数为X,X,求求X X的分布列和数学期望的分布列和数学期望.解题规范解题规范规范要求规范要求:步骤应齐全步骤应齐全,能利用互斥事件的概率加法公式和相能利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求复杂事件的概率互独立事件的概率乘法公式求复杂事件的概率,能分
15、析出离散型随机变量服从能分析出离散型随机变量服从二项分布二项分布,进而利用公式求得相应概率进而利用公式求得相应概率,写出分布列写出分布列,求出数学期望求出数学期望.温馨提示温馨提示:步骤求步骤求P(BP(B1 1),P(B),P(B2 2)时时,需将需将B B1 1,B,B2 2转化为可求概率事件的和或积转化为可求概率事件的和或积;步骤步骤,若随机变量服从二项分布若随机变量服从二项分布,则利用独立重复试验概率公式求取各值则利用独立重复试验概率公式求取各值的概率的概率,否则否则,利用古典概型及独立事件概率乘法公式求出取各值的概率利用古典概型及独立事件概率乘法公式求出取各值的概率;步骤步骤求服从二
16、项分布的随机变量的期望、方差求服从二项分布的随机变量的期望、方差,可直接利用定义求解可直接利用定义求解,也可直接也可直接代入代入E(X)=np,D(X)=np(1-p)E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解求解.(2)(2)设设M M为事件为事件“上学期间的三天中上学期间的三天中,甲同学在甲同学在7:307:30之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数比乙同学在7:307:30之前到校的天数恰好多之前到校的天数恰好多2”,2”,求事件求事件M M发生的概率发生的概率.课堂类题精练课堂类题精练类型一求方差类型一求方差B B 2 2.(2018.(2018全国全国卷卷)某群体中的每位成员使用移
17、动支付的概率都为某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,p,各成员的各成员的支付方式相互独立支付方式相互独立,设设X X为该群体的为该群体的1010位成员中使用移动支付的人数位成员中使用移动支付的人数,DX=,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),2.4,P(X=4)P(X=6),则则p p等于等于()(A)0.7(A)0.7(B)0.6(B)0.6(C)0.4(C)0.4(D)0.3(D)0.3B BB B类型二求期望类型二求期望C C5 5.(2019.(2019暨阳暨阳4 4月联考月联考)已知随机变量已知随机变量,满足满足=-+8,=-+8,若若E()=6,D()=E()=6,D(
18、)=2.4,2.4,则则E(),D()E(),D()分别为分别为()(A A)E E()=6,()=6,D D()=2.4()=2.4(B B)E E()=6,()=6,D D()=5.6()=5.6(C C)E E()=2,()=2,D D()=2.4()=2.4(D D)E E()=2,()=2,D D()=5.6()=5.6B B7.7.马老师从课本上抄录一个随机变量马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表的分布列如下表:x x1 12 23 3p(=x)p(=x)?!?请小牛同学计算请小牛同学计算的均值的均值.尽管尽管“!”!”处完全无法看清处完全无法看清,且两个且两个“?”?”处字迹处字迹模糊模糊,但能断定这两个但能断定这两个“?”?”处的数值相同处的数值相同.据此据此,小牛给出了正确答案小牛给出了正确答案E()=E()=.解析解析:设设“?”处的数值为处的数值为x,x,则则“!”处的数值为处的数值为1-2x,1-2x,则则E()=1E()=1x+2x+2(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.答案答案:2 2
