1、8.2.4随机变量及其分布随机变量及其分布(1)高二数学高二数学 选修选修2-3一、复习引入：一、复习引入：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或随着试验结果变化而变化的变量），随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量那么这样的变量叫做随机变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母随机变量常用希腊字母X X、Y Y、等表示。等表示。1.1.随机变量随机变量 2、离散型随机变量、离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为所有取值可以一一列出的随机变量，称为离离散型随机变量。散型随机变量。如果随机变量可能取的值是某个区间的一切如果随机变
2、量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做值，这样的随机变量叫做连续型随机变量连续型随机变量.注注3 3：若若 是随机变量，则是随机变量，则 （其中（其中a、b是常数）也是随机变量是常数）也是随机变量 ba 注注1 1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。随机变量。注注2 2：某些随机试验的结果不具备数量性质，某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。但仍可以用数量来表示它。试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。每个基本事件出现的可能性相等。3、古典概型、古
3、典概型:()mP An引例引例 抛掷一枚骰子，所得的点数有哪些值？取每个抛掷一枚骰子，所得的点数有哪些值？取每个值的概率是多少？值的概率是多少？解：解：6161616161)4(P)2(P)3(P)5(P)6(P61)1(P则P126543616161616161求出了的每一个取值的概率求出了的每一个取值的概率列出了随机变量的所有取值列出了随机变量的所有取值的取值有的取值有1、2、3、4、5、6二、离散型随机变量的分布列二、离散型随机变量的分布列1、设随机变量的所有可能的取值为、设随机变量的所有可能的取值为则称表格则称表格123,inxxxxx 的每一个取值的每一个取值 的概率为的概率为 ，i
4、x(1,2,)iniipxP)(P1xix2x1p2pip为随机变量为随机变量的的概率分布概率分布，简称简称的的分布列分布列注：注：1、分布列的构成分布列的构成列出了随机变量列出了随机变量的所有取值的所有取值求出了求出了的的每一个取值的概率每一个取值的概率2、分布列的性质分布列的性质 ,2,1,0 ipi121 pp有时为了表达简单，也用等式有时为了表达简单，也用等式 表示表示 的分布列的分布列(),1,2,3,.,iiPxp in2.概率分布还经常用图象来表示概率分布还经常用图象来表示.O 1 2 3 4 5 6 7 8 p0.10.21、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机、离散型随
5、机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象。变量所刻画的随机现象。2、函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随、函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随机变量可以用分布列、等式或图象来表示。机变量可以用分布列、等式或图象来表示。可以看出可以看出 的取值的取值范围是范围是1,2,3,4,5,6，它取每一个值的概它取每一个值的概率都是率都是 。16例如：抛掷两枚骰子，点数之和为例如：抛掷两枚骰子，点数之和为，则，则可可能取的值有：能取的值有：2，3，4，12.的概率分布为：的概率分布为：23456789101112361361362362363363364364365365366例
6、1：某一射手射击所得环数某一射手射击所得环数 的分布列如下的分布列如下:45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手求此射手”射击一次命中环数射击一次命中环数7 7”的概率的概率.分析分析:”射击一次命中环数射击一次命中环数7 7”是指互斥事是指互斥事件件”=7=7”,”=8=8”,”=9=9”,”=10=10”的和的和.例2.随机变量随机变量的分布列为的分布列为-10123p0.16a/10a2a/50.3（1）求常数）求常数a;（2）求）求P(14)一袋中装有一袋中装有6个同样大小的小球，编号为个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机
7、取出，现从中随机取出3个小球，以表示取出球的最大号码，个小球，以表示取出球的最大号码，求的分布列求的分布列例3：解：解：”3“表示其中一个球号码等于表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比，另两个都比“3”小小)3(P121236C CC 201”4“)4(P121336C CC 203”5“)5(P121436C CC 103”6“)6(P121536C CC 21随机变量随机变量的分布列为：的分布列为：P654320120310321的所有取值为：的所有取值为：3、4、5、6表示其中一个球号码等于表示其中一个球号码等于“4”，另两个都比另两个都比“4”小小表示其中一个球号码等于表示其中一个
8、球号码等于“5”，另两个都比另两个都比“5”小小表示其中一个球号码等于表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比另两个都比“3”小小说明：在写出说明：在写出的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1 课堂练习：2、设随机变量的分布列为设随机变量的分布列为则的值为则的值为,31)(iaiP3,2,1ia13271、下列、下列A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量四个表，其中能成为随机变量 的的分布列的是（分布列的是（）A01P0.60.3B012P0.90250.0950.0025C012 nP121418112nD012nP131 23 321233
9、1233nB课堂练习：3、设随机变量的分布列如下：、设随机变量的分布列如下：123nPK2K4K K12n求常数求常数K。4、袋中有、袋中有7个球，其中个球，其中3个黑球，个黑球，4个红球，从袋中个红球，从袋中任取个任取个3球，求取出的红球数球，求取出的红球数 的分布列。的分布列。例4：已知随机变量的分布列如下：已知随机变量的分布列如下：P213210121611213141121分别求出随机变量分别求出随机变量21122；的分布列的分布列解：解：且相应取值的概率没有变化且相应取值的概率没有变化的分布列为：的分布列为：1P11012161121314112121212311由由211可得可得的
10、取值为的取值为 、21、0、21、1、231 例4：已知随机变量的分布列如下：已知随机变量的分布列如下：P213210121611213141121分别求出随机变量分别求出随机变量21122；的分布列的分布列解：解：的分布列为：的分布列为：2由由可得可得2的取值为的取值为0、1、4、9222(1)(1)(1)PPP 2(0)(0)PP 3111412312(4)(2)(2)PPP 111 26 412(9)(3)PP121P09412131411312例例 5、在掷一枚图钉的随机试验中在掷一枚图钉的随机试验中,令令1,0,X针针尖尖向向上上针针尖尖向向下下如果会尖向上的概率为如果会尖向上的概率
11、为p,试写出随机变量试写出随机变量X的分布列的分布列解解:根据分布列的性质根据分布列的性质,针尖向下的概率是针尖向下的概率是(1p)，于是，于是，随机变量随机变量X的分布列是：的分布列是：X01P1pp3、两点分布列、两点分布列象上面这样的分布列称为象上面这样的分布列称为两点分布列两点分布列。如果随机变量。如果随机变量X的分的分布列为两点分布列，就称布列为两点分布列，就称X服从服从两点分布两点分布，而称，而称p=P(X=1)为为成功概率成功概率。例例 6、从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中，一个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相件一件的抽取产品，
12、设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数时所需抽取次数 的分布列。的分布列。（1）每次取出的产品都不放回该产品中；）每次取出的产品都不放回该产品中；（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后 再取另一产品。再取另一产品。变式引申：变式引申：1、某射手射击目标的概率为、某射手射击目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标，求从开始射击到击中目标所需的射击次数所需的射击次数 的概率分布。的概率分布。2、数字、数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字任意排成一列，如果
13、数字k 恰好在第恰好在第k个个位置上，则称有一个巧合，求巧合数位置上，则称有一个巧合，求巧合数 的分布列。的分布列。思考思考1.1.一个口袋里有一个口袋里有5 5只球只球,编号为编号为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,在袋中在袋中同时取出同时取出3 3只只,以以表示取出的表示取出的3 3个球中的最小号码个球中的最小号码,试试写出写出的分布列的分布列.思考思考2.2.将一枚骰子掷将一枚骰子掷2 2次次,求下列随机变量的概率分布求下列随机变量的概率分布.(1)(1)两次掷出的最大点数两次掷出的最大点数;(2)(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之
14、差.研究性问题研究性问题 设一部机器在一天发生故障的概率为设一部机器在一天发生故障的概率为0.2,0.2,机机器发生故障时全天停止工作器发生故障时全天停止工作,若一周若一周5 5个工作日个工作日里无故障可获利润里无故障可获利润1010万元万元,发生一次故障可获利发生一次故障可获利5 5万元万元,若发生两次故障所获利润若发生两次故障所获利润0 0万元万元,发生三发生三次或三次以上就亏损次或三次以上就亏损2 2万元万元.试写出一周所获利试写出一周所获利润可能的取值及每个值的概率润可能的取值及每个值的概率.练练 习习 二二一个口袋中有一个口袋中有5只同样大小的球，编号为只同样大小的球，编号为1，2，
15、3，4，5，从中同时取出，从中同时取出3只球，以只球，以表示取出球的表示取出球的最大号码，求最大号码，求的分布列。的分布列。8.2.4随机变量及其分随机变量及其分布布(2)(2)回顾复习回顾复习 如果随机试验的如果随机试验的结果结果可以用可以用一个变量一个变量来表示，那么这样的变来表示，那么这样的变量叫做量叫做随机变量随机变量1.1.随机变量随机变量 对于随机变量可能取的对于随机变量可能取的值值，我们可以按一定次序，我们可以按一定次序一一列出一一列出，这样的随机变量叫做这样的随机变量叫做离散型随机变量离散型随机变量2.2.离散型随机变量离散型随机变量3 3、离散型随机变量的分布列的性质：、离散
16、型随机变量的分布列的性质：12(1)()(1,2,.,);1(1,2,.,);(3).1;(4)iiinPxp inpinppp(2)0离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于其在这个范围内取每一个值的概率之和。例1：已知随机变量的分布列如下：已知随机变量的分布列如下：P213210121611213141121分别求出随机变量分别求出随机变量21122；的分布列的分布列解：解：且相应取值的概率没有变化且相应取值的概率没有变化的分布列为：的分布列为：1P11012161121314112121212311由由211可得可得的取值为的取值为 、21、0、21、1、231 例1：已知随机变量的分布
17、列如下：已知随机变量的分布列如下：P213210121611213141121分别求出随机变量分别求出随机变量21122；的分布列的分布列解：解：的分布列为：的分布列为：2由由可得可得2的取值为的取值为0、1、4、9222(1)(1)(1)PPP 2(0)(0)PP 3111412312(4)(2)(2)PPP 111 26 412(9)(3)PP121P09412131411312例例 2、在掷一枚图钉的随机试验中在掷一枚图钉的随机试验中,令令1,0,X针针尖尖向向上上针针尖尖向向下下如果会尖向上的概率为如果会尖向上的概率为p,试写出随机变量试写出随机变量X的分布列的分布列解解:根据分布列的
18、性质根据分布列的性质,针尖向下的概率是针尖向下的概率是(1p)，于是，于是，随机变量随机变量X的分布列是：的分布列是：X01P1pp1、两点分布列、两点分布列象上面这样的分布列称为象上面这样的分布列称为两点分布列两点分布列。如果随机变量。如果随机变量X的分的分布列为两点分布列，就称布列为两点分布列，就称X服从服从两点分布两点分布，而称，而称p=P(X=1)为为成功概率成功概率。练习：练习：1、在射击的随机试验中，令、在射击的随机试验中，令X=如如果射中的概率为果射中的概率为0.8，求随机变量，求随机变量X的分布列。的分布列。0，射中，射中，1，未射中，未射中2、设某项试验的成功率是失败率的、设
19、某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量倍，用随机变量 去去描述描述1次试验的成功次数，则失败率次试验的成功次数，则失败率p等于（等于（）A.0 B.C.D.121323C例例3 3：在含有在含有5件次品的件次品的100件产品中，任取件产品中，任取3件，试求：件，试求：（1）取到的次品数）取到的次品数X的分布列；的分布列；（2）至少取到）至少取到1件次品的概率件次品的概率.解：（解：（1）从）从100件产品中任取件产品中任取3件结果数为件结果数为3100,C从从100件产品中任取件产品中任取3件，其中恰有件，其中恰有K件次品的结果为件次品的结果为3595kkCC 那么从那么从100件产品中任
20、取件产品中任取3件，件，其中恰其中恰好有好有K件次品的概率为件次品的概率为35953100(),0,1,2,3kkCCp XkkCX0123P035953100C CC125953100C CC215953100C CC305953100C CC 一般地，在含有一般地，在含有M件次品的件次品的N件产品中，任取件产品中，任取n件，其件，其中恰有中恰有X件产品数，则事件件产品数，则事件X=k发生的概率为发生的概率为*(),0,1,2,min,kn kMNMnNCCP XkkmCmM nnN MN n M NN其其中中且且2、超几何分布、超几何分布X则则称称随随机机变变量量服服从从超超几几何何分分布
21、布记记为为：xH(n,M,N),xH(n,M,N),X01mP00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCmn mMN MnNC CC称分布列为超称分布列为超几何分布几何分布例例4 4：在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有袋中装有10个红球和个个红球和个20白球，这些球除颜色外完全相同。白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出一次从中摸出5个球，至少摸到个球，至少摸到3个红球就中奖。求中奖的概个红球就中奖。求中奖的概率。率。例例5 5：袋中有个袋中有个5红球，红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到个黑球，从袋中随机取球，
22、设取到一个红球得一个红球得1分，取到一个黑球得分，取到一个黑球得0分，现从袋中随机摸分，现从袋中随机摸4个球，个球，求所得分数求所得分数X的概率分布列。的概率分布列。练：练：盒中装有一打（盒中装有一打（12个）乒乓球，其中个）乒乓球，其中9个新的，个新的，3个旧的，从个旧的，从盒中任取盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是是一个随机变量。求一个随机变量。求X的分布列。的分布列。例例6 6：在一次英语口语考试中，有备选的在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知道试题，已知某考生能答对其中的某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备
23、选题中道试题，规定每次考试都从备选题中任选任选3道题进行测试，至少答对道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生道题才算合格，求该考生答对试题数答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率。的分布列，并求该考生及格的概率。例例7 7：袋中装有黑球和白球共袋中装有黑球和白球共7个，从中任取个，从中任取2个球都是白个球都是白球的概率为球的概率为 。现有甲、乙两人从袋中轮流摸取。现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲球，甲先取，乙后取，然后甲再取先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取到的机会有一人取到白球时即终止，每个球在每一次
24、被取到的机会是等可能的，用是等可能的，用 表示取球终止时所需要的取球次数。表示取球终止时所需要的取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量）求随机变量 的概率分布；的概率分布；（3）求甲取到白球的概率。）求甲取到白球的概率。17练习练习 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，令个数字，令X：取出的取出的5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X的分布列的分布列 kXP 具体写出，即可得具体写出，即可得 X 的分布列：的分布列：X 5 6 7 8 9 10 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 解：解
25、：X 的可能取值为的可能取值为.1065，k5，6，7，8，9，10 并且并且510C41 kC=求分布列一定要说明求分布列一定要说明 k 的取值范围！的取值范围！例例 8、从一批有从一批有10个合格品与个合格品与3个次品的产品中，一件一件个次品的产品中，一件一件的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种的抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数情况下，分别求出取到合格品为止时所需抽取次数 的分布的分布列。列。（1）每次取出的产品都不放回该产品中；）每次取出的产品都不放回该产品中；（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中，然后）每
26、次取出的产品都立即放回该批产品中，然后 再取另一产品。再取另一产品。变式引申：变式引申：1、某射手射击目标的概率为、某射手射击目标的概率为0.9，求从开始射击到击中目标，求从开始射击到击中目标所需的射击次数所需的射击次数 的概率分布。的概率分布。2、数字、数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字任意排成一列，如果数字k 恰好在第恰好在第k个个位置上，则称有一个巧合，求巧合数位置上，则称有一个巧合，求巧合数 的分布列。的分布列。一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球的个一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出红球得机取出一球，若取出红球得1分，取出绿分，取出绿 球得球得0分，取出黄球得分，取出黄球得-1分，分，试写出从该盒内随机取出一球所得分数试写出从该盒内随机取出一球所得分数的分布列的分布列.解：设黄球的个数为n，由题意知 绿球个数为 2n，红球个数为 4n，盒中的总数为 7n 7474)1(nnP，717)0(nnP，7272)1(nnP 所以从该盒中随机取出一球所得分数的分布列为 10-1P471727
