1、xyzO),(yxfz 对 D 进行分割：i),2,1(niiD小曲顶柱体,DiiD第1页/共73页iDi(底面积)(高).),(iifz.iiiD),(iiiifV),(iiVV 近似代替近似代替 第2页/共73页xyzO0),(yxfzDiniiifV10),(limiiiifV),(第3页/共73页,D),(yxiD),2,1(ni,iiiiim),(iiiD),(max1ini.非均匀分布时平面薄板质量问题非均匀分布时平面薄板质量问题引例引例2 2第4页/共73页,D),(yxiD),2,1(ni,iiiiim),(iiiD),(max1ini.),(lim 10iniiim非均匀分布
2、时平面薄板质量问题第5页/共73页 比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量 小曲顶柱体 平面薄板小块iDiDii),(iif),(iiiiiifV),(iiiim),(底)(高)(密度)(面积)(面积)(小块)lim(,)niiiim 01iniiifV10),(lim第6页/共73页一一.二重积分的定义二重积分的定义 ),(2的有界函数。是定义在有界闭区域设RDyxf ),2 ,1(，个无公共内点的小区域任意分割为将niDnDi 1。的面积为，并记则iiniiDDD ),(，极限若iiiDniiiif10 ),(lim ),(其上的二重积分，在区域函数存在，则称该极限值为Dyxf )d(),
3、d(max1的直径。为中，iiiniDDD )(),(),(。上可积，记为在区域此时称函数DRyxfDyxf第7页/共73页 二重积分记为：,),(limd),(10niiiiDfyxf 式中：),(被积函数；yxf 二重积分号；积分区域；D ;)(d或平面面积元素积分元素 积分变量；，yx )(),(1。黎曼和积分和niiiif第8页/共73页二重积分定义的几点说明二重积分定义的几点说明第9页/共73页niiiiDf10 ),(lim )1(的分割方式存在与否，与对区域极限 ),(i在与否取决于函数在的选择无关。此极限存以及点i 上是否可积。D 2线划分区域用平行于坐标轴的网格在直角坐标系中
4、，通常）（)(平面面积元素元素，故直角坐标系下积分D dddyx ，二重积分写为相应地，直角坐标系下 dd),(。Dyxyxf第10页/共73页 )3(数可积。有界闭区域上的连续函内有限条上有界，且仅在在区域若函数 ),()4(DDyxf ),(上可积。在连续，则曲线（面积为零）上不Dyxf )5(区域，取决于被积函数和积分二重积分是一个数，它 字母）无关：而与积分变量的记号（dd),(dd),(DDvuvufyxyxf ),(。vyux第11页/共73页二二.二重积分的性质二重积分的性质性质性质 1 二重积分均存在假设以下出现的性质性质 2Dyxyxgyxf dd),(),(dd),(dd)
5、,(。DDyxyxgyxyxf，则除边界点外无公共部分与若)(2121DDDDD dd),(dd),(dd),(21。DDDyxyxfyxyxfyxyxf第12页/共73页性质性质 3性质性质 4),(),(),(则 若，Dyxyxgyxf dd),(dd),(。DDyxyxgyxyxf dd|),(|dd),(|。DDyxyxfyxyxf第13页/共73页性质性质 6 )(中值定理 )(),(2，则至少存在为有界闭区域，设DCyxfRD ),(，使得一点D(,)d d(,).DDf x yxyfS )(估值定理 ),(min),(max，则，设yxfmyxfMDD(,)d d DDDmSf
6、x yxyMS。性质性质 5第14页/共73页性质性质 7。轴对称，关于与设 2121DDDxDD ),(),(),(，则为偶函数：关于变量若函数yxfyxfyyxf dd),(2dd),(1。DDyxyxfyxyxf ),(),(),(，则为奇函数：关于变量若函数yxfyxfyyxf 0dd),(。Dyxyxf第15页/共73页 4|),(dd)94(2222。，估计yxyxDyxyxD解解 94),(22，令记yxyxf ,08,02yyfxxf 9)0,0(,0 0。且），（得驻点f 313)94(),(24x2222；又yyxyxfyD ,40222yxy ),(25),(13 。故D
7、yxyxf例例1 1第16页/共73页 ,25 25 ,13 ,9 max),(max yxfD从而 9 25 ,13 ,9 min),(min。yxfD22 dd4 (4)DDSxyxy由于的面，所以 100425dd)94(493622。Dyxyx第17页/共73页 0 ,4|),(dd)(2223。，计算yyxyxDyxyxxD解解xyO22 轴对称，关于因为yD ),(23yxxyxf ,为奇函数关于变量 x 所以，0dd)(23。Dyxyxx例例2 2第18页/共73页三三.二重积分的几何意义二重积分的几何意义,0),()1(yxfz.),(limd),(10VfyxfiniiiD,
8、0),()2(yxfz.),(limd),(10VfyxfiniiiD第19页/共73页 能不能用定积分来求曲顶柱体的体积？第20页/共73页利用平行截面面积为已知的 几何体体积计算方法.第21页/共73页xyzO0),(yxfzD)(1xy)(2xy.xxx)(2xab),(yfz x)(1x第22页/共73页xyzO0),(yxfzD)(1xy)(2xy.x)(2xab),(yfz x)(1x第23页/共73页综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法,得到 baxxxyyxf)()(d)d),(21D d),(yxfV就是说,二重积分可以通过两次定积分来计算.第24页/共73页 如果你的定积分
9、已经忘记了,请赶快复习一下,不然会给你带来麻烦哦.第25页/共73页四四.二重积分的计算二重积分的计算请点击请点击1.直角坐标系下的二重积分计算2.二重积分的换元法3.极坐标系下二重积分的计算第26页/共73页1.1.直角坐标系下的二重积分计算直角坐标系下的二重积分计算请点击请点击(1).x型区域上的二重积分计算(2).y型区域上的二重积分计算(3).二重积分的换序问题第27页/共73页 型区域：为具有以下特征的区域称x ,)()(,|),(21xyxbxayxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，xbaCxx 个。的边界的交点不多于两DxyOxyOxyOabD)(2xy)(1
10、xyabD)(2xy)(1xyabD)(2xy)(1xy（1 1）x-型区域上的二重积分计型区域上的二重积分计算算第28页/共73页 ),(),(,0),(成立。可积函数的算公式，其结论对任意型区域上二重积分的计推导的假设下为方便起见，我们在yxfxDyxyxf第29页/共73页 :x平面xxyOabD)(2xy)(1xyxyOabD)(2xy)(1xyxyOabD)(2xy)(1xy 义，根据二重积分的几何意 形蓝色线条为底的曲边梯 d),()()()(21xxyyxfxSxxx 以我们只需计算出上图中 的面积：),(yxfz )(1x )(2x第30页/共73页 ),(上可积时：在区域当函
11、数Dyxf ,)()(,|),(21xyxbxayxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，xbaCxx 个，则的边界的交点不多于两D dd),(dd),()()(21xyyxfyxyxfxxbaD)()(21d),(dxxbayyxfx 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可xyx就是说，第31页/共73页 1 2 dd D22围成的区域。及，是由，计算xyxyxDyxyx解解xyOxy 121xy2xD作图，联立方程求交点：,2,2 yx,1,2 xyx,1,xyyx)2 ,2()21,2()1 ,1 (另一点舍去另一点舍去)于是，1 21|),(。，xyxxyxD
12、例例3 3第32页/共73页 从而，d ddd 1 222 1 22xxDyyxxyxyxxyxxyxyd 12 1 122 1 2 d)1(xxxx 4 12。第33页/共73页 41 22的体积。坐标面所围成的几何体与求曲面xyyxzxyzO解解 该几何体为椭圆抛物体它平面上方的部分。位于 xy坐标面对称。和关于 yzxz 此外，由曲线2241yxz0 z 第一卦限轴对称，故只需计算出轴和围成的积分区域关于yx即可。倍中的体积，然后乘以)(4 被积函数是谁？例例4 4第34页/共73页xyO 41 2xy 2 1D 41 0 2 10|),(2xyxyxD，故所求体积为 d)41 (d42
13、41 0 22 2 1 0 xyyxxV二重积分的几何意义 2 1 0 41 032d)314(42xyyxyxyy d)41(3 24 2 1 0 2 32xx dcos 2 1 3 242 0 4tt 4 2 !4!)14(3 4。sin2 tx 令第35页/共73页 型区域：为具有以下特征的区域称y ,)()(,|),(21yhxyhdycyxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，ydcCyhyh 个。的边界的交点不多于两DxyOxyOxyO)(2yhx )(1yhx D)(2yhx )(1yhx D)(2yhx )(1yhx(2).y-型区域上的二重积分计算型区域上的二
14、重积分计算cdDcdcd第36页/共73页xyOxyOxyO)(2yhx )(1yhx D)(2yhx )(1yhx D)(2yhx )(1yhx cdDcdcd :y平面y 义，根据二重积分的几何意 形蓝色线条为底的曲边梯 d),()()()(21yhyhxyxfyS 以我们只需计算出上图中 的面积：),(yxfz )(1yh )(2yhyyy第37页/共73页 ),(上可积时：在区域当函数Dyxf ,)()(,|),(21yhxyhdycyxD ),()()(21轴的直线与区域，且垂直于，其中，ydcCyhyh 个，则的边界的交点不多于两D dd),(dd),()()(21yxyxfyxy
15、xfyhyhdcD)()(21d),(dyhyhdcxyxfy 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可yxy 就是说，第38页/共73页 ,0 ,dd)cos(。围成及由其中，计算xyyxDyxyxD解解xyOxy y),(D 积分区域如图所示，0 0|),(。，yxyyxD d)cos(ddd)cos(0 0 yDxyxyyxyx 0 0d)(sinyyxyxx d)sin2(sin 0 yyy 2。例例5 5第39页/共73页xyOD 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可xyx 的两次定积分。，后对化为先对型区域上的二重积分可yxy 型的。型的，又是该区域既是yx第4
16、0页/共73页 有麻烦了！？有麻烦了！？选择的机会多了！选择的机会多了！实际上，产生了一个交换积分顺序的问题。实际上，产生了一个交换积分顺序的问题。第41页/共73页(3).二重积分的换序问题二重积分的换序问题 型区域，型区域，又是既是如果积分区域yxD 先的积分，也可将它化为，后对则可将它化为先对yx 积分顺序的问题。的积分。这是一个选择，后对对xy 即种积分顺序做不出来，有些二重积分，按某一 ,成另一种积分这时必须设法将积分换所谓“积不出”,分出。这也是一个选择积才有可能将二重积分算顺序 顺序的问题。第42页/共73页 ：可表示为下列两种形式设积分区域 D ,)()(|),(21xyxbx
17、ayxD，,)()(|),(21yhxyhdycyxD，及 则 d),(ddd),()()(21xxbaDyyxfxyxyxf d),(d)()(21。yhyhdcxyxfy 换序第43页/共73页 2 2所围成的区域，与直线为抛物线设xyxyD dd。计算二重积分DyxxyxyOxy 22 xy)1,1()2 ,4(解解 ，由图可知，应采取先对 x 的积分顺序。后对 y21 221|),(2。，yxyyyxD dddd 2 2 1 2yyDxxyyyxxy故 d 21 2 1 222yxyyxyx 8 55d)2(212 1 42。yyyyD例例6 6第44页/共73页 下列二重积分：用另一
18、种积分顺序表示 0)(,d),(d d),(d d),(d2 2 2 2 0 2 0 222222。axyxfyxyxfyxyxfyIaayaaayaaayaaaya 0时，ay 2222；yaaxay 222。axyaa 2时，aya 222。axay)(222ayax 22axy 2ax 左半圆 右半圆 分析例例7 7第45页/共73页Oxyxa 2222)(ayax 22axy 2aa)2 ,2(aa 2aaD 22 ,20|),(2axyxaxaxyxD第46页/共73页 d),(d d),(d d),(d2 2 2 2 0 2 0 222222aayaaayaaayaaayaxyxf
19、yxyxfyxyxfyI d),(d2 2 2 0 2。axxaxayyxfx解解第47页/共73页xxyyyx 1 0 dsind。计算解解 sin 数表示，所以此题的原函数不能用初等函由于yy 序，后计算的方法。需要采用先交换积分顺xyOxy xy 1xxyyxyyyyyyx 1 0 1 0 ddsin dsind 2 d)(sin 1 0 2yyyyy d)sin(sin1 0 yyyy 1sin1。例例8 8第48页/共73页 ),(式：，证明下列狄里克雷公设Cyxf d),(dd),(d 。bybaxabaxyxfyyyxfx证证 分顺序的问题。这实质上是一个交换积xyOxy bba
20、aD 由题意可知：|),(xyabxayxD，由图形可知：|),(bxybyayxD，dd),(d),(dd),(d 。故Dbybaxabayxyxfxyxfyyyxfx例例9 9第49页/共73页xyOD遇到这样的积分区域，你认为应该怎么办？1D2D3D适当地划分为小区域。第50页/共73页例例1010 20 11|),(dd|2。，计算yxyxDyxxyD解解 被积函数中有绝对值，2 ,11 ,;0 ,11 ,|22222。yxxxyxyxyxxyxyO2D1D。应解除绝对值后再计算 ,dd|dd|dd|21222DDDyxxyyxxyyxxy ;0 11|),(21xyxyxD，2 11
21、|),(22。，yxxyxD2112xy 2yx 2xy 第51页/共73页 d)(dd)(ddd|2 21 1 0 21 1 222xxDyxyxyyxxyxxy d)(21d)(211 1 2221 1 02222xxyxyxyxyxyy d)2(21d211 1 221 1 4xxxx d)2(d1 0 221 0 4xxxx 51 13。对称区间偶函数第52页/共73页2.二重积分的换元法二重积分的换元法 )(),(。平面上的有界闭区域，是设DCyxfxyD *),(),(变为平面上的区域将，：变换DuvvuyyvuxxT ，且平面上的区域 Dxy *)(),(),(1)1；，DCvu
22、yvux ,*),(0),(),()2(Dvuvuyx 则有 dd ),(),(),(),(dd),(*。DDvuvuyxvuyvuxfyxyxf第53页/共73页例例1111 )(0 22及双曲线，求由抛物线qpqxypxy )0(积。所围成的平面图形的面，babxyaxy解解xyOqxy 2pxy 2bxy axy S 的公式直接运用直角坐标系下 计算较繁。pxy 2xyp2qxy 2xyq2 2pxy由 。q :axybxyaxy由显示，此外，。b想想应该怎么办第54页/共73页 :T作变量代换,2xyvxyu，D则 :*D|),(*。，bvaqupvuD ),(),(1),(),(yx
23、vuvuyx又 1yvyuxvxuxyxxyyxy22231 2 1 31。u矩形区域第55页/共73页 故所求面积为 )1),(ddyxfyxSD被积函数 dd ),(),(*Dvuvuyx dd31*Dvuuqpbauuv d31d ln)(3 1。pqab仔细观察该例题可以加深对换元法的理解。第56页/共73页证证例例1212 )(证明：。设一元函数Cwf d)(dd)(1 1 1|。xxfyxyxfyxxyO1 yx1 yx1 yx1 yxD 积分区域如图所示：1|),(。yxyxD 0 时，区域的边界为y ;)0(1xyx )0(1，xyx 0 时，区域的边界为y ;)0(1xyx
24、)0(1，xyx第57页/共73页 ：作变量代换T ，yxvyxu D则 :*D 1111|),(*。，vuvuD 2 1111 ),(),(，又yvyuxvxuyxvu ,2 1 ),(),(1),(),(yxvuvuyx故 dd 2 1)(dd)(*1|Dyxvuvfyxyxf从而 d)(d)(d)(d 2 11 1 1 1 1 1 1 1。xxfvvfvvfu第58页/共73页3.极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算 22计算。考虑运用极坐标系进行可时，或者被积函数含有形，当积分区域是圆盘、扇yx 第59页/共73页 关系：由极坐标与直角坐标的 sincos。，ryrx ),
25、(),(yxryrxryx此时 cossinsincos rr,r dd ),(),()sin,cos(dd),(*DDrryxrrfyxyxf从而 dd)sin,cos(*。Drrrrf第60页/共73页 dd)sin,cos(*Drrrrf极坐标系下的二重积分 表示根据极坐标系中曲线的算。也是化为累次积分来计 位于限时，主要观察极点是在确定定积分的上、下 *的外部，或者位于区域的内部，还是位于区域区域 D 。的边界上 的积分。，后对对方式，通常将它化为先r第61页/共73页(1)(1)极点位于积分区域外极点位于积分区域外xO*D)(2rr)(1rr 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr
26、如图所示，|),(*，rD )()(21，rrr ),()()(21，则，其中，Crr d)sin,cos(ddd)sin,cos()()(*21。rrDrrrrfrrrrf第62页/共73页(2)(2)极点位于积分区域边界上极点位于积分区域边界上xO*D 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示，|),(*，rD )(0，rr ),()(，则其中，Cr d)sin,cos(ddd)sin,cos()(0 *。rDrrrrfrrrrf)(rr 第63页/共73页(3)(3)极点位于积分区域内部极点位于积分区域内部xO*D 方程为在极坐标系中，曲线的 )(。rr 如图所示，20|),(*
27、，rD )(0，rr ),()(，则其中，Cr d)sin,cos(ddd)sin,cos()(0 2 0 *。rDrrrrfrrrrf)(rr 第64页/共73页例例1212|),(dd 22222。，其中计算ayxyxDyxeDyx解解。的方程为在极坐标系中，圆 222arayxOxar*D 运用极坐标进行计算：,sin ,cosryrx ,dddd ,222且则rryxryx ,0 ,20|),(*arrD*dddd 222DrDyxrreyxe故arrre 0 2 0 dd2 )1(2。aeD该题能在直角坐标系下计算吗？第65页/共73页例例1313 2d 12 0 2。和你学过的知识
28、证明：利用例xex证证 dlimd 0 0 22。axaxxexe 号无关，有由定积分与积分变量符axaxaxxexexe 0 0 2 0 dd)d(222ayaxyexe 0 0 dd22 ,dd22Dyxyxe 0 0|),(。，其中ayaxyxD 你认为应该怎么办？第66页/共73页 如图所示，作区域 ,00|),(2221yxayxyxD，,002|),(2222yxayxyxD，xyOaa21D2DD 0 2221，故，又则yxeDDD dddddd22222122。DyxDyxDyxyxeyxeyxe 12 得由例 ;)(4)1(4dd2122aeyxeaDyx,)(4)1(4dd
29、22222aeyxeaDyx第67页/共73页 ,ddlimddlimddlim22222122DyxaDyxaDyxayxeyxeyxe ：对上述的不等式取极限a 4ddlim 22。则有Dyxayxe ,4)d(lim 2 0 2axaxe即有 ,4)d(2 0 2xex即 2d 0 2。故xex第68页/共73页？例例1414 )0()(2)(222222ayxayx求伯努利双纽线 积。所围成的平面图形的面xyO解解 22项，故采方程中含有yx 用极坐标系。sincos ，令ryrx则原方程化为 2cos222。ar 4 4 11即可。，然后乘以的面积象限中由对称性只要计算第一SD1D
30、第一象限中，,2cos2 ar 曲线的方程为 ,2cos2 0 40|),(*1arrD，第69页/共73页 dd 4 4 *11DrrSS故 dd 42cos2 0 4 0 arr 2d2cos424 0 2。aa)(dddd *111换元法后的面积计算注意：DDrryxS dd积元素。也称为极坐标系下的面rr第70页/共73页 为圆域、扇形域，或者一般说来，当积分区域 D )(22计算比采的形式时，采用极坐标被积函数为yxf 。直角坐标系计算简单些第71页/共73页例例1515解解 :坐标形式将下列二重积分化为极 d)(d 3 222 0 。xxyyxfxxyO2xy xy 3D 3 20|),(。，xyxxyxD ,sin ,cos ryrx引入极坐标 ,cos 3sincos rrr故 ,3tan1 由此，得,34 即有 ;0 0cos rrx得又由 ,2seccos2 2cos rrx得由第72页/共73页感谢您的欣赏！第73页/共73页
