1、第九节第九节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布X-1012pk0.20.30.10.41.0)1()0(XPYP7.04.03.0)2()0()1(XPXPYP一、一维随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布求Y=(X-1)2的概率分布例1 设随机变量X的概率分布如下，解：Y的所有可能取值为0,1,42.0)1()4(XPYP2022-11-261例例2.设随机变量设随机变量X有概率密度有概率密度其他,040,8)(xxxfX)(),(yFxFYX)()(yYPyFY解：分别记解：分别记X，Y的分布函数为的分布函数为求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。)82(yXP
2、)28(yXP)28(yFX的概率密度为求导数，得关于将Y)(yyFY)28)(28()()(yyfyFyfXYY其他，,0428021)28(81yy其他，,0168328yy2022-11-262例例3.设随机变量设随机变量X在区间在区间-1,2上服从均匀分布，上服从均匀分布，时，有当10)1(y)()(yYPyFY)(2yXP解解:当当X在区间在区间-1,2上取值时上取值时,Y在在0,1或或1,4取值取值求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。)(yXyPdxyy31由于由于y=x2不是单调的，不是单调的，y32时，有当41)2(y)()(yYPyFY)(2yXPdxdxyy
3、13110)1(31y)(yXyP)1(XyP)1(yXP2022-11-263例例3.设随机变量设随机变量X在区间在区间-1,2上服从均匀分布，上服从均匀分布，4,141),1(3110,320,0)(yyyyyyyFY求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。解解:所以所以Y的分布函数为的分布函数为上式对上式对y求导数，得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为其他,041,6110,31)(yyyyyfY2022-11-2641）3）在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的数的分布问题。例如：在下列
4、系统中，每个元件的寿命分别为随机变量寿命分别为随机变量 X,Y，它们相互独立同分布。，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命我们想知道系统寿命 Z 的分布。的分布。),min(YXZ ),max(YXZ YXZ 这就是求随机变量函数的分布问题。这就是求随机变量函数的分布问题。2）二、多维随机变量函数的分布二、多维随机变量函数的分布2022-11-265解题步骤：解题步骤：，的分布函数先求随机变量函数zFYXgZZ,zFzfYXgZZZ的密度函数再求随机变量函数,1.一般情形问题一般情形问题 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为）的联合密度为 f(x,y),g(x,y)是二元
5、连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g(X,Y)的概率密度。的概率密度。2022-11-2662.和的分布和的分布例例 3的联合概率分布为设二维离散型随机变量YX,的联合概率分布试求随机变量YXZ1）离散型随机变量和的分布）离散型随机变量和的分布2022-11-267解解：的的取取值值为为YXZ ,的取值知的取值知与与由于由于YX 1 ZP 01 YXP，；41 2 ZP 0211 YXPYXP，810 3 ZP 12 YXP，.3,2,1；81；85 的的分分布布律律为为由由此此得得YXZ Z 1 2 3 P 41 81 85 2022-11-268例例4 4联合概率分布
6、分布，试求随机变量的与参数为相互独立，且分别服从与设随机变量YXZYXPoisson21解解：，的的取取值值都都是是与与由由随随机机变变量量210YX，的的取取值值也也是是可可知知随随机机变变量量210YXZ nZP nYXP nkknYkXP0，nkknYkXP0，nkknYPkXP02022-11-269 nkknkeknek02121!nkknkknke021!121 nkknkknknne021!21 nkknkknCne021!21 nne21!21 分分布布的的服服从从参参数数为为Poisson21 YXZ分分布布，则则的的与与参参数数为为相相互互独独立立，且且分分别别服服从从与与
7、若若随随机机变变量量Poisson21 YX2022-11-26102 2）连续型随机变量和的分布）连续型随机变量和的分布，为其联合密度函数是二维连续型随机变量设yxfYX,的密度函数下面计算zfYXZZ 的的分分布布函函数数首首先先计计算算随随机机变变量量zFYXZZ zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf，xyOx+y=z xzdyyxfdx，2022-11-2611,xuy 作作变变换换：则有则有 zZduxuxfdxzF，dxxuxfduz，xzzdyyxfdxzF，)(的的密密度度函函数数为为导导，可可得得求求之之间间的的关关系系，上上式式对对由由分分布布函函数数与与密密度度函
8、函数数YXZz zFzfZZ dxxzxf，2022-11-2612由于由于 X,Y 的对称性可得的对称性可得 dyyyzfzfZ，相相互互独独立立，则则有有与与特特别别地地，如如果果随随机机变变量量YX .yfxfyxfYX，此此时时，我我们们有有 dxxzfxfzfYXZ或者或者 dyyfyzfzfYXZ2022-11-2613 的的卷卷积积，记记作作与与我我们们称称上上式式为为函函数数yfxfYX yfxfYX*：因因此此，我我们们有有以以下下结结论论卷卷积积：密密度度函函数数的的与与的的密密度度函函数数等等于于相相互互独独立立，则则它它们们的的和和与与如如果果随随机机变变量量YXYXZ
9、YX yfxfzfYXZ*dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfzfYXZ dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfYX2022-11-2614例例5.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，概率密度分别是相互独立，概率密度分别是;0,00,)(;0,00,)(yyeyfxxexfyYxX解解:Z的分布函数为的分布函数为求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf，zyxYXdxdyyfxf)()(0)(0zFzZ时，有当2022-11-2615 zZPzFZ zyxYXdxdyyfxf)()(zxzyxdxdyee00)(zyxyxZdxdyeezFz)
10、(0时，有当zzxzxzxdxeedxee00)()()1(zzzee1Z的分布函数0,00,1)(zzzeezFzzZ0,00,)(zzzezfZzZ的概率密度xyOx+y=z2022-11-2616 为是相互独立，分布函数设随机变量yFxFYXYX,的分布函数与试求),min(),max(YXYX3.极值分布极值分布 zYXPzF),max(max,zYzXP zYPzXP zFzFYX解：2022-11-2617 为是相互独立，分布函数设随机变量yFxFYXYX,的分布函数与试求),min(),max(YXYX zYXPzF),min(minzYXP),min(1 zYPzXP1)(1)(11zYPzXP解：)(1)(11zFzFYX2022-11-2618 令：的分布函数为是独立的随机变量，设推广：xFXXXXiin21 11111zFzFXini的分布函数同分布是相互独立，且服从相，若特别地nXXX,21 ，nnnXXXXXXXX21211maxmin zFzFXininn1的分布函数则则的分布函数为设),(zFXi ，nnzFzF nzFzF1112022-11-2619习题二(P65)：27,30作业作业2022-11-2620
