1、第五节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量当随机变量X1,X2,Xn的联合分布的联合分布已知时，如何求出它们的函数已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1,X2,Xn),i=1,2,m的联合分布的联合分布?一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形例例1 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1
2、,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解:)()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2,解：解：依题意依题意 riirYiXPrZP0),()(例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPr
3、ZP0),()(由卷积公式由卷积公式ri 0i-r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i-r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21r=0,1，例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP105.05.0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ 于是于是XY1010221221221221),max(iYXP,iYiXP ,iYiXP 0),max(YXP0,0P,212 1),max(YXP1,11,00,1PPP 22
4、2212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的的密度密度.解解:Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.二、连续型分布的情形二、连续型分布的情形 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()(yzZdydxyxfzF),()(固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量
5、代换对方括号内的积分作变量代换,令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()(zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y的概率密度为的概率密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()(zZdudyyyufzF),()(特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密
6、度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式.dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.其它,010,1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解:由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找出使
7、被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 其它,021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如图示如图示:1010 xzx也即也即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(由公式由公式,d)()()(xxzfxfzfYXZ 解解,e21)(22 xxfxX由于由于,e21)(22 yyfyY例例6 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.)2,0(分布分布服从服从即即NZ2zxt ttzdee21242 .e2142z xzfxzxZdee21)(2)(222 xzxzde
8、e212242 得得用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢?此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之个独立随机变量之和的情形和的情形,请自行写出结论请自行写出结论.若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布服从正态分布.更一般地更一般地,可以证明可以证明:niiiniiiiniiiiiaaNXaNX122112),(),(
9、则即若 从前面例从前面例4可以看出，可以看出，在求随机向量在求随机向量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)的分布时，的分布时，关键是设法将其关键是设法将其转化为转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布.休息片刻再继续休息片刻再继续三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，它是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们来我们来求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函
10、数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为:即有即有 FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都都不大于不大于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz)类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)设设X1,Xn是是n个
11、相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.)(xFiX(i=0,1，,n)用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX
12、若若X1,Xn是连续型随机变量，在求得是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布函数后，不难求得函数后，不难求得M和和N的密度函数的密度函数.留作课下练习留作课下练习.当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且相互独立且具有相同分布函数具有相同分布函数F(x)时时,常常称称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地
13、震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值.),(iii),(ii),(i),2121如图所示如图所示开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例7度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL ,0,0,0,e)(xxxfxX由由解解串联情况串联情况(i),21就停止工作就停止工作系统系统中有一个损坏
14、时中有一个损坏时由于当由于当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ .0,0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL ,0,0,0,e1)(xxxFxX ,0,0,0,e)(xxxfxX ,0,0,0,e)(yyyfyY ;0,0,0,e)(yyyfyY由由 .0,0,0,e1)(yyyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX .0,0,0,e1)(zzz .0,0,0,e)()()(minzzzfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的分布函数为的分布函数为),max(YXZ
15、)()()(maxzFzFzFYX .0,0,0),e1)(e1(zzzz .0,0,0,e)(ee)()(maxzzzfzzz并联情况并联情况(ii),21才停止工作才停止工作系统系统都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LLL,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统LL即即两者之和两者之和是是的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统,21LLZLYXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()(zyyzy0)(dee zyzy0)(dee备用的情况备用的情况(iii),0)(,0 zfz时时当当的概率密度为的概率密度为于
16、是于是YXZ .0,0,0,ee)(zzzfzz.ee zz 下面我们再举一例，说明当下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散为离散型型r.v时，如何求时，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq记记1-p=q例例8 设随机变量设随机变量X1,X2相互独立相互独立,并且有相同的几并且有相同的几何分布何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,(i=1,2)求求Y=m
17、ax(X1,X2)的分布的分布.n=0,1,2,解二解二:P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2)n)-P(max(X1,X2)n-1)=P(X1 n,X2n)-P(X1 n-1,X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1(nq21211qqpn21)1(nq)2(11nnnqqpqn=0,1,2,那么要问，若我们需要求那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？的分布，应如何分析？留作课下思考留作课下思考 这一讲，我们介绍了求随机向量函数这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：的分布的原理
18、和方法，需重点掌握的是：请通过练习熟练掌握请通过练习熟练掌握.1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布函数的概率分布哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题。这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧
19、拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。于是“七桥问题”就等价于上图中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。上图的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。练习：随机变量X与Y的联合概率密度为 其它00,012),(43yxeyxfyx其它00,012),(43yxeyxfyxYXZ),max(YXM),min(YXN 分别求 的概率密度.YXZ),max(YXM),min(YXN
