1、12.2 2.2 离离 散散 型型 随随 机机 变变 量量 2.1 2.1 随随 机机 变变 量量 的的 概概 念念 2.3 2.3 超几何分布超几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布 2,1)()(ixpxXPii1.“0-1”分布分布(两点分布两点分布)3.二项分布二项分布),(pnBX)(xPn xnxxnqpC 4.Poisson分布分布)(PX)(xP exx!2.超几何分布超几何分布),(NMnHXnNxnMNxMCCCxXP )(),(pnB)(Pnp n，),(NMnH).,(pnBN，,NMp 0)()1(ixp.1)()2(1iixp(x=0,1,2,n)(x=0,1,2
2、,),min(2,1,0nMx 第二章第二章 随随 机机 变变 量量 及及 其其 分分 布布 2一一.定义定义 )()(xXPxF 二二.分布函数分布函数 的性质：的性质：)(,1)(0)1(xxF.),()()2(2121xxxFxF当 1)(lim,0)(lim)3(FxFFxFxx一一.概念概念 xxFxxFxfx 0lim xF xXPxF xdxxf二、概率密度二、概率密度 的性质：的性质：;0 xf 1 dxxf 2121xxdxxfxXxP对对离离散散随随机机变变量量，)4(右连续的阶梯曲线右连续的阶梯曲线.(5)对连续随机变量，是单调上升的连续曲线对连续随机变量，是单调上升的连
3、续曲线 .0)(xXP3一、均匀分布一、均匀分布 .,0;,1bxaxbxaabxf或或当当当当二、指数分布二、指数分布 .0,0 ;0,xxexfx当当当当一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布 ;)()(1yXgPyYPyFY ).(2yFyfYY 特别地，若特别地，若 xgy 为单调函数，则为单调函数，则 ygygfyfXY1141.1.二维离散随机变量的联合概率分布二维离散随机变量的联合概率分布,3,2,1,),(jipyYxXPijji2.2.二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数),(),(yY
4、xXPyxF 3.3.二维连续随机变量的联合概率密度二维连续随机变量的联合概率密度 yxFyxfxy,yxyxf,0),(1),(dxdyyxf RdxdyyxfRYXP,yxdxdyyxfyYxXPyxF,ijijijp,p1 05一一.二维离散随机变量的边缘分布二维离散随机变量的边缘分布 iXxpjjiyxp,)(ixXP jjiyYxXP),(jYypijiyxp,)(jyYP ijiyYxYP),(二二.二维连续随机变量的边缘分布二维连续随机变量的边缘分布 xXdyyxfdxxFxF,xFdxdxfXX yYdxyxfdyyFyF,yFdydyfYY dyyxf,dxyxf,一一.离散
5、型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性 jYiXjiypxpyxp,二二.连续随机变量的独立性连续随机变量的独立性 yxF,yFxFYX yxf,yfxfYX 61.1.和的分布和的分布dyyxfdxxz,2.2.平方和的分布平方和的分布 3.3.（独立的随机变量）独立的随机变量）最大值与最小值的分布最大值与最小值的分布 ),()(22zyxZdxdyyxfzF ),()(1maxzFzFnii )(1 1)(1minzFzFnii zfZ离散型离散型 zYXPzZPzFZ ijjiijjikkZyxpyYxXPzZPzp,对于一切的对于一切的 kjizyx连续型连续型 或或 jjikiik
6、ikZyxzpxzxpzp,若若X、Y 独立独立 jyjikXikYiiXkZypxzpxzpxpzp若若X、Y 独立独立 zfZ dyyfyzfdxxzfxfYXYXdyyyzfdxxzxf,7（二）课后习题略解（二）课后习题略解2 一批零件中有一批零件中有9个合格品与个合格品与3个废品。安装机器时从中任取个废品。安装机器时从中任取1个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布。前已取出的废品数的概率分布。解解 设在取得合格品以前已取出的废品数为设在取得合格品以前已取出的废品数为X，则则X的所有可的所有可,32
7、10、430 XP 449119411 XP 2209109112412 XP 22011101112413 XPX)(ixP10434492201322209能取的值为：能取的值为：83.对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p，求射击次数的概率分布及其分布函数。求射击次数的概率分布及其分布函数。X)(mXP 1npqn21ppq32pq解解 设随机变量设随机变量X表示射击次数，表示射击次数，则则X 服从几何分布。服从几何分布。2,1)1()(1 mppmXPmX的概率分布表如下：的概率分布表如下：显然，当显然，当1 x时，时，;0
8、)()(xXPxF当当1 x时，时，)()(xXPxF 11xmmpq qqpx 111xq)1(1xp)1(qp其中，其中，x为为 x 的整数部分。的整数部分。94 自动生产线在调整以后出现废品的概率为自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p(0p 0,y 0,2x+3y 6 内的概率内的概率.()1f x,y dxdy 解解:-(2+3)1 xyAedxdy2-3001 -xyedxedy1)1 11,=62 3 Axy462)xy0 0 xy或或 0 0 xy且且 ()xyf x,y dxdy-(2+3)006xyxyedxdy-2-3=(1-)(1-).xyee()=0,F x,y()
9、F x,y()=F x,y-2-3(1-)(1-),xyee00,0 xy 0 0 xy或或 3)x 当当时时,()=0,Xfx()=()Xfxf x,y dy 0 x 当当时时,-(2+3)20=62xy-xedye 47xy2+3=6xy323)()=Xfx,22-xe0 x x 0.()=Yfy,33-ye0 y y 0.-(2+3)()6xyRP X,YRedxdy13(6-2)23-630061-70.983.x-x-yedxedye484242 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 独立，独立，X 在在 0,2 服从均匀分布服从均匀分布,Y 服从指数分布服从指数分布 e(2),求求:
10、1)二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度;2)P(XY).解解:则其概率密度则其概率密度:;1,0()20,Xxfx 其其它它.因因 X U(0,2),Y e(2),;22,0()0,0.-yYeyfyy 又又X 与与 Y 独立，独立，所以所以(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度;,;,20200-yexyfx,y 其其它它。yx22)P(XY)=220+-yxdxedy-41(1-).4ey=x494343 设随机变量设随机变量 X 与与 Y 独立，并且都服从二项分布：独立，并且都服从二项分布：;1110,1,2,n-iiiXnpi=Cp q,i=n试证明它们的和
11、试证明它们的和 Z=X+Y 也服从二项也服从二项分布。分布。.2220,1,2,n-jjjYnpj=Cp q,j=n解解因随机变量因随机变量 X 与与 Y 独立，独立，X0()()kZYi=pk=pi pk-i随机变量随机变量Z 的所有可能取值的所有可能取值:k=0,1,2,3,.12+nn0ki=11n-iiinCp q22()n-k-ik-ik-inCpq1(inC0ki=12n+n-kkp q2)k-inC0ki=1(inC2)k-inC12kn+n=C0ki=12kn+nC12n+n-kkp q Zpk0ki=12kn+nC12n+n-kkp q5044设随机变量设随机变量 X,Y 相
12、互独立相互独立,其概率密度分别为其概率密度分别为:;1,01()0,其其它它.Xxfx和和 ;,0()0,0.-yYeyfyy 求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .zfZ ,()ZXYfzfxfz-x dx 解解;0zfZ当当 0 z时，时，()011-;z-z x-zZfzedxe当当 0z 时，时，当当 1z 时，时，1()0(-1).-z x-zZfzedxee1-;-ze(-1).-zee Zfz00 z0 zz 1xzO1z=x5145:设随机变量设随机变量 X 与与Y 独立，并且独立，并且 X 在区间在区间 上服从上服从 求求:随机变量随机变量 Z=X+Y 的
13、概率密度。的概率密度。0,1均匀分布均匀分布:;1,01()0,其其它它.Xxfx01()2120.Yyyfy-yy其其它它Y 在区间在区间 上服从辛普森分布上服从辛普森分布:0,2解解 ,()ZXYfzfxfz-x dx zxoz=x1z=x+2z=x+3211当当 时时,03或或zz;0Zfz52当当 时时,0 zzxoz=x1z=x+2z=x+3211 0()zZfzz-x dx,22z=当当 时时,1 z 102-()z-Zfzz-x dx 11()z-z-x dx;233-2=-zz当当 时时,23z 122-()Zz-fzz-x dx;219-322=zz+,22z;233-2-z
14、z;219-3+22zz0 z23 z1 z03或或 zz0.Zfz5346:在电子仪器中在电子仪器中,为某个电子元件配置一个备用电子元件为某个电子元件配置一个备用电子元件,设这两个电子元件的使用寿命设这两个电子元件的使用寿命X及及Y分别服从指数分布分别服从指数分布:当原有的元件损坏时当原有的元件损坏时,备用的即可接替使用备用的即可接替使用.求它们的使用寿命总和求它们的使用寿命总和X+Y的概率密度的概率密度.(考虑考虑 两种情形两种情形)()(),ee及及解解设设:Z=X+Y,由已知由已知:,;.;0()00 xXexfxx ,;.;0()00yYeyfyy ,()ZXYfzfxfz-x dx
15、 xz=xz54xz=xz ,()ZXYfzfxfz-x dx ,0z-x-(z-x)Zfzeedx()0z-z-xeedx0z 当当 时时,0z 当当 时时,2-z ze.20z-z edx 0;Zfz Zfz0.,2-z ze0z 0z ,0z-x-(z-x)Zfzeedx()-z-ze-e.-(),-z-ze-e-Zfz0z 0z 0.5547:(=1)=(0,1)+(1,0)+(1,1)=0.04,P Uppp,(=0)=(0,0)=0P Up0,1,2,3,4,5.U的的所所有有可可能能取取值值:1):(),U=max X,Y(=5)=(0,5)+(1,5)+(2,5)+(3,5)=
16、0.28;P UppppU01234500.040.160.280.240.28Up(u)2):(),V=min X,Y0,1,2,3.V的的所所有有可可能能取取值值:,(=0)=(0,0)+(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5)+(1,0)+(2,0)+(3,0)=0.28P Vppppppppp56(=1)=(1,1)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5)+(2,1)+(3,1)=0.30,P Vppppppp(=3)=(3,3)+(3,4)+(3,5)=0.17,P VpppV01230.280.300.250.17Vp(v)3):W=X+Y0,1,2,3,
17、4,5,6,7,8.W的的所所有有可可能能取取值值:,(W=0)=(0,0)=0Pp,(W=1)=(0,1)+(1,0)=0.02Ppp(W=8)=(3,5)=0.05.Pp57W01234500.020.060.130.19 0.24()Wpw60.1970.1280.0548.电子仪器由六个相互独立的部件电子仪器由六个相互独立的部件)3,2,1;2,1(ji如图，设各个部件的使用寿命如图，设各个部件的使用寿命服从相同的指数分布服从相同的指数分布求仪器使用寿命的概率密度。求仪器使用寿命的概率密度。组成，组成，ijLijXL11L13L21L12L22L23解解各部件的使用寿命各部件的使用寿命 3,2,1,2,1 ,jiXij的分布函数的分布函数 0 ,0 0 ,1)(xxexFxij先求三个并联组的寿命先求三个并联组的寿命 3,2,1 ,iYi的分布函数的分布函数 ),(max21iiiXXY 58再求仪器使用寿命再求仪器使用寿命Z 的分布函数的分布函数,),min(321YYYZ Z的分布函数的分布函数 0 ,0 0 ,)1(1 1)(32zzezFzZ 则则:0 ,0 0 ,)2)(1(6)(23zzeeezfzzzZiY的分布函数的分布函数 0 ,0 0 )1()(2 yyeyFyi
