1、第一课时第一课时1 1、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的分布列 XP1xix2x1p2pip2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1引入引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均次数学测验中的总体水平，很
2、重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有量的某个方面的特征，最常用的有均值与方差均值与方差.按按3：2：1的比例混合的比例混合 18 kg元混合糖果中每一粒糖果的质量都相等混合糖果中每一粒糖果的质量都相等24 kg元36 kg元定价为混合糖果的平均价格才合理定价为混合糖果的平均价格才合理元吗？平均价格为263362418按按3：2：1混合混合 24 kg元36 kg元18
3、kg元教学过程教学过程mm千克混合糖果的总价格为千克混合糖果的总价格为1818 +24 +24 +36 +3636m26m16m平均价格为平均价格为321182436666321182436666mmmm元3kg182436PX612636=18P（=18）+24P（=24）+36P（=36）XEXXX 问题1：某校高二（1）班有45人，本学期期中考试数学平均分为80分，高二（2）班有55人，平均分为90分，求两班的数学平均分。5.851008550100559010045805.85100855010090558045n提问2：能否用各班的分数乘以人数的占比求均值？n提问1：能否利用两个平均
4、数相加除以二求平均数？如果不能，应该怎么做？则称则称 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望,数学期望又简称为数学期望又简称为期望期望。X P 1122iinnE Xx px px px p一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx1 1、离散型随机变量均值的定义、离散型随机变量均值的定义 说明：1.均值EX刻画的是X取值的“中心位置中心位置”，这是随机变量的重要特征 2.它反映了离散型随机变量取值的平均水平变量取值的平均水平，它是一个常数。例例1 1、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子、随机抛掷一个均匀的骰子，
5、求所得骰子的点数的点数X X的均值的均值 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X X的取值为的取值为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量X X的均值为的均值为E E（X X）=1=1 1/6+2 1/6+2 1/6 1/6+3+31/6+41/6+4 1/6+5 1/6+5 1/6+6 1/6+6 1/6=3.5 1/6=3.5你能理解你能理解3.5的含义吗？的含义吗？变式变式：将所得点数的：将所得点数的2 2倍加倍加1 1作为得分数，即作为得分数，即Y=2X+1Y=2X+1
6、，试求试求Y Y的均值？的均值？X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量Y Y的取值为的取值为3 3，5 5，7 7，9 9，1111，1313其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量Y Y的均值为的均值为E E（Y Y）=3=31/6+51/6+51/61/6+7+71/6+91/6+91/6+111/6+111/6+131/6+131/6=81/6=8=2E（X）+1Y35791113变式变式：将所得点数的：将所得点数的2 2倍加倍加1 1作为得分数，即作为得分数，即Y=2X+1Y=2X+1，试求试求Y Y的均值？的均值？1
7、2XY1212EXXEEY设设X X为离散型随机变量，若为离散型随机变量，若Y=aX+b,Y=aX+b,，其中，其中a,ba,b为常数，为常数，则则EY=E(aX+b)=EY=E(aX+b)=a aaEX+b2 2、随机变量的期望值（均值）的线性性质、随机变量的期望值（均值）的线性性质 X P ()(),1,2,3iiP YaxbP Xxin而 Y P 证：设离散型随机变量证：设离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以所以Y Y的分布列为的分布列为ip2axb 2pnpiaxb 1axb 1pnaxb 1122()()()nnEYax b paxb pa
8、xb p1122()nna x px px p12()nb pppaEXb若若Y=aX+b,Y=aX+b,则则EY=aEX+bEY=aEX+b特别地：特别地：E(c)=c(E(c)=c(其中其中c c为常数为常数)1 1、随机变量、随机变量 的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E=.2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=.0.40.1练习：练习：解解:的分布列为的分布列为 所以所以 EE0 0P(P(0)0)1 1P(P(1)1)0 00.150.151 10.850.850
9、.850.85例例2 2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概率为分已知姚明目前罚球命中的概率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均值？的均值？0 1 P 0.15 0.853 3、几个特殊分布的期望、几个特殊分布的期望1-PPP1-PP结论结论1 1：两点分布的期望：若：两点分布的期望：若X XB B（1 1，p p），则），则EX=pEX=p两点分布两点分布例例3 3：某个篮球运动员罚球命中的概率为：某个篮球运动员罚球命中的概率为0.60.6，求他罚，求他罚球球5 5次时进
10、球个数次时进球个数X X的均值？的均值？X012345P54.041154.06.0C32254.06.0C23354.06.0C4.06.0445C56.0二项分布二项分布?EX3EX6.056.0,5 BX 求证：求证：若若B(n，p)，则则E=npE =0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpk
11、qn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概率为分已知姚明目前罚球命中的概率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1010次时进球个数次时进球个数的均值和得分的均值和得分Y Y的均值？的均值？结论结论2 2：二项分布的期望：若：二项分布的期望：若B(nB(n，p)p)，则则E=npE=np5.8EY,85.0,10 B分析：由题意5.885.010EX一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、数学期望的性质二、数学期望的性质baEXbaXE )(三、如果随机变量三、如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pEX 四、如果随机变量四、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB（n,p），则），则npEX
