1、阶段方法技巧训练阶段方法技巧训练专训专训2 2巧用勾股定理求巧用勾股定理求 最短路径的长最短路径的长习题课习题课 求最短距离的问题求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换件通过几何变换(平移或轴对称平移或轴对称)进行集中，然后借助勾进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直
2、角三角形利用勾股定理求出最短路程然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距距离离)1技巧技巧用计算法求平面中的最短问题用计算法求平面中的最短问题1如图，如图，A，B两块试验田相距两块试验田相距200 m，C为水源地，为水源地，AC160 m，BC120 m，为了方便灌溉，现有两，为了方便灌溉，现有两 种方案修筑水渠种方案修筑水渠 甲方案：从水源地甲方案：从水源地C直接修筑直接修筑 两条水渠分别到试验两条水渠分别到试验 田田A，B；乙方案：过点乙方案：过点C作作AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为H，先从水源，先从水源 地地C修筑一条水渠到线段修筑一条水渠到线段AB上的上的H处，再从处，再从H分
3、别分别 向试验田向试验田A，B修筑水渠修筑水渠(1)试判断试判断ABC的形状，并说明理由的形状，并说明理由 ABC是直角三角形理由如下：是直角三角形理由如下：因为因为AC2BC21602120240 000，AB2200240 000，所以所以AC2BC2AB2.所以所以ABC是直角三角形，是直角三角形，且且ACB90.解：解：(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明请通过计算说明(2)甲方案所修的水渠较短甲方案所修的水渠较短 因为因为ABC是直角三角形，是直角三角形，所以所以ABC的面积的面积 ABCH ACBC.所以所以CH 96(m
4、)因为因为ACBC160120280(m)，CHAHBHCHAB96200296(m)，所以所以ACBCCHAHBH.所以甲方案所修的水渠较短所以甲方案所修的水渠较短解：解：1212160 120200AC BCAB2技巧技巧用平移法求平面中的最短问题用平移法求平面中的最短问题2如图，小明在广场上先向东走如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走，又向南走40 m，再向西走再向西走20 m，又向南走，又向南走40 m，再向东走，再向东走70 m则则 小明到达的终点与原出发点的距离是小明到达的终点与原出发点的距离是_ 100 m 如图，作如图，作ACBC于于C.因为因为AC404080(m)，
5、BC701060(m)，所以，所以AB26028021002，则，则AB100 m.3如图，已知如图，已知BCDE90，且，且 ABCD3，BC4，DEEF2，则，则AF的的 长是长是_103技巧技巧用对称法求平面中的最短问题用对称法求平面中的最短问题4某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维 权力度如图，权力度如图，OAOB，OA45 n mile，OB 15 n mile，该岛位于，该岛位于O点，我国海监船在点点，我国海监船在点B处发处发 现有一不明国籍的渔船，自现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着点出发沿着AO方向方向 匀速驶向此岛所在地点
6、匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从，我国海监船立即从B处处 出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果 在点在点C处截住了渔船处截住了渔船 (1)请用直尺和圆规作出请用直尺和圆规作出C处的位置；处的位置；(2)求我国海监船行驶的航程求我国海监船行驶的航程BC的长的长(1)如图，连接如图，连接AB，作，作AB的垂直平分线与的垂直平分线与OA交于点交于点 C，C点即为所求点即为所求解：解：(2)如图，连接如图，连接BC，设，设BCx n mile，则，则CAx n mile，在在RtOBC中，中，OB2OC2BC2，所以所以152(45x)2x2
7、.解得解得x25.即我国海监船行驶的航程即我国海监船行驶的航程 BC的长为的长为25 n mile.解：解：5高速公路的同一侧有高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们两城镇，如图所示，它们 到高速公路所在直线到高速公路所在直线MN的距离分别为的距离分别为AA2 km，BB4 km，且，且AB8 km.要在高速公路上要在高速公路上A，B 之间建一个出口之间建一个出口P，使，使A，B两城镇到两城镇到P的距离之和的距离之和 最短求这个最短距离最短求这个最短距离 同类变式同类变式4技巧技巧用展开法求立体图形中的最短问题用展开法求立体图形中的最短问题6有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点有一只蚂蚁
8、要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与爬到与A 相对的点相对的点B处，如图所示，已知杯子高处，如图所示，已知杯子高8 cm，点，点B 距杯口距杯口3 cm，杯子底面半径为，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从蚂蚁从A点爬到点爬到 B点的最短距离为多少？点的最短距离为多少？(取取3)类型类型1 圆柱中的最短问题圆柱中的最短问题 从点从点A处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图如图处竖直向上剪开，此圆柱的侧面展开图如图 所示，其中所示，其中AC为圆柱的底面周长，为圆柱的底面周长，则则AC2r 23424(cm)，则则EB ED AC 12(cm)又因为又因为EA8 cm，EE3 cm，所以所以AEEAEE835(
9、cm)在在RtABE中，中，AB2AE2EB252122132，所以所以AB13 cm.即蚂蚁从即蚂蚁从A点爬到点爬到B点的最短距离为点的最短距离为13 cm.解：解：12127如图，观察图形解答下面的问题：如图，观察图形解答下面的问题：(1)此图形的名称为此图形的名称为_ (2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它的侧请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它的侧 面沿面沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一 个个_ 类型类型2 圆锥中的最短问题圆锥中的最短问题圆锥圆锥扇形扇形(3)如果点如果点C是是SA的中点，在的中点，在A处有一只蜗牛，在处有一只
10、蜗牛，在C处处 恰好有蜗牛想吃的食物，但它又不能直接沿恰好有蜗牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬爬 到到C处，只能沿此立体图形的侧面爬行你能在侧处，只能沿此立体图形的侧面爬行你能在侧 面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？把此立体图形的侧面展开，如图所示，连接把此立体图形的侧面展开，如图所示，连接AC，则，则AC为蜗牛爬行的最短路线为蜗牛爬行的最短路线解：解：(4)SA的长为的长为10，侧面展开图的圆心角为，侧面展开图的圆心角为90，请你，请你 求出蜗牛爬行的最短路程的平方求出蜗牛爬行的最短路程的平方在在RtASC中，由勾股定理，中，由勾股定理，得得AC21
11、0252125.故蜗牛爬行的最短路程的平方为故蜗牛爬行的最短路程的平方为125.解：解：8如图，桌子上放着一个长方体盒子，长、宽、高分如图，桌子上放着一个长方体盒子，长、宽、高分 别是别是12 cm，8 cm，30 cm，在，在AB的中点的中点C处有一滴处有一滴 蜜糖，一只小虫从蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到处沿盒子表面爬到C处去吃求处去吃求 小虫爬行的最短路程小虫爬行的最短路程 类型类型3 长方体中的最短问题长方体中的最短问题 分为三种情况分为三种情况 情况一如图，连接情况一如图，连接EC.在在RtEBC中，中，EB12820(cm)，BC 30 15(cm)由勾股定理，得由勾股定理，得
12、EC2202152625，所以所以EC25 cm.解：解：12 情况二如图，连接情况二如图，连接EC.根据勾股定理可求得根据勾股定理可求得 EC282(301215)23 313.情况三如图，连接情况三如图，连接EC.根据勾股定理可求得根据勾股定理可求得 EC2122(30815)22 953.所以小虫爬行的最短路程是所以小虫爬行的最短路程是25 cm.解：解：9有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 AD80 cm，高，高AB60 cm，水深，水深AE40 cm，在，在 水面上紧贴内壁水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，处有一鱼饵，G在水面线在水面线EF上，上，且且EG60 cm.一小虫想从鱼缸外的一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼点沿壁爬进鱼 缸内缸内G处吃鱼饵处吃鱼饵 同类变式同类变式(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬的路线最短呢？小虫应该走怎样的路线才能使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注(2)求小虫爬行的最短路线长求小虫爬行的最短路线长
