1、人教版 数学 九年级（下）第27章 相似27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1 1.理解相似三角形的概念理解相似三角形的概念。2 2.理解理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明。3.3.掌握平行线分线段成比例掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的的基本事实及其推论的应用应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算。计算。学习目标学习目标相似多边形概念相似比性质对应角相等对应边成比例回顾旧知回顾旧知
2、判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？导入新知导入新知理解相似三角形的概念。如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.如图，直线 abc，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段.如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n 于A1，A2，A3，B1，B2，B3.把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ABCDEF 表示顶点 A 与
3、 D，B 与 E，C 与 F分别对应；ADE 与ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.(2)ACB90，AC是O的直径，CB是O的切线，把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A=D，B=E，C=F，把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算。定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.12如图，在ABC中，点D，E分
4、别为AB，AC的中点，连接DE，DEBC，若AD2，AB3，DE4，则BC等于()11(2019凉山州)如图，在ABC中，D在AC边上，ADDC12，新知一 相似三角形即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说ABC 与DEF 相似，记作ABCDEF，ABC 和DEF 的相似比为 k，DEF 与ABC 的相似比为.k1A=D，B=E，C=F，DFACDEABkEFBC在ABC 和DEF 中，如果AB DEFC合作探究合作探究用符号用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上顶点的大写字母写在对应的位置上.ABCDEF 表示顶点表示顶
5、点 A 与与 D，B 与与 E，C 与与 F分别对应；如果仅分别对应；如果仅说说“ABC与与DEF 相似相似”，没有用，没有用“”连接，则连接，则需要分类讨论它们之间的对应关系需要分类讨论它们之间的对应关系.(1)相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质方法，也是相似三角形最重要的性质.(3)全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形形不一定是全等三角形.(4)相似三角形具有传递性相似三角形具
6、有传递性,即若即若ABC DEF，DEF OPQ，则，则ABC OPQ.C巩固新知 新知二 平行线分线段成比例如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n 于A1，A2，A3，B1，B2，B3.A1A2A3B1B2B3mnabc图合作探究合作探究A1A2A3B1B2B3mnabc (1)计算 ，你有什么发现？12122323A AB BA AB B，(2)将直线 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2.你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc图A1A2A3B1B2B3mnabc(3)
7、根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？人教版 数学 九年级（下）分别度量ADE 与ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？四边形DFCE为平行四边形，7(2019贺州)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.DE是O的切线，DEEC，EBED，ECEB，理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明。在ABC 和DEF 中，如果第1课
8、时 平行线分线段成比例以AC为直径的O交AB于点D，过点D作O的切线交BC于点E，连接OE.11(2019凉山州)如图，在ABC中，D在AC边上，ADDC12，(1)求证：DBE是等腰三角形；A=D，B=E，C=F，把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？分别度量ADE 与ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.几何语言：若ab c，则 ，12122323A AB BA AB B23231212A AB BA AB B
9、12121313A AB BA AB B，23231313A AB BA AB BA1A2A3B1B2B3bca1.对应线段是指被两条平行线所截得的线段，如上图中的 A1A2 与B1B2 是对应线段，A2A3与 B2B3是对应线段，A1A3 与 B1B3 是对应线段.3.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关.2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上.如图，直线 abc，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段.A1A2A3B1B2B3bcmna把直
10、线把直线 n 向左或向向左或向右任意平移，这些右任意平移，这些线段依然成比例线段依然成比例.A1A2A3bcmB1B2B3na直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3()A1A2A3bcmB1B2B3na直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3()A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角
11、形一边的直线截其他两边(或两边或两边的延长线的延长线)，所得的对应线段成比例，所得的对应线段成比例.AB/CDAB/CD/EFAB/CD/EFC巩固新知巩固新知 新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.BCADEADE 与ABC 的三个角分别相等吗？的三个角分别相等吗？合作探究合作探究如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.BCADE分别度量分别度量ADE 与与ABC 的边长，它们的边长的边长，它们的边长是否对应成比例？是否对应成
12、比例？BCADEADE 与与ABC 之间有什么关系？平行移动之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？的位置，结论还成立吗？通过度量，我发现通过度量，我发现ADEABC，且，且只要只要DEBC，这个结论恒成立，这个结论恒成立.理解相似三角形的概念。分别度量ADE 与ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？ADE 与ABC 之间有什么关系？平行移动DE 的位置，结论还成立吗？分别度量ADE 与ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？以AC为直径的O交AB于点D，过点D作O的切线交BC于点E，连接OE.解析：AEG ADC CFG CBA.A=D，B=E，C=F，线段BE，CD相交于
13、点O，若OD2，则OC_.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.则是相似三角形共有()AB4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_.11(2019凉山州)如图，在ABC中，D在AC边上，ADDC12，(2)将直线 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2.DE是O的切线，DEEC，EBED，ECEB，如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n 于A1，A2，A3，B1，B2，B3.ABCDEF 表示顶点 A 与 D，B 与 E，C 与 F分别对应；新知一 相似三
14、角形BCADE要用相似的定义去证明要用相似的定义去证明ADEABC，我们需要证明什么？我们需要证明什么？ADAEDEABACBC而除 DE 外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面得到的结论来证明三角形相似，需要怎样做呢？BCADE 由前面的结论可得ADAEABAC，需要证明的是 ，ADAEDEABACBC由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？可以将可以将 DE 平移平移到到BC 边上去边上去证明：在 ADE 与 ABC 中，A=A.DEBC，ADE=B，AED=C.如图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于点 F.CABDEF用相似
15、的定义证明：ADEABC.DEBC，DFAC，.ADAEADCFABACABCB，四边形DFCE为平行四边形，DE=FC，ADEABC.=ADAEDEABACBC，定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.几何语言：如下图所示，DE/BC，ADEABC.定理中定理中“和其他两边相交和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交是指和其他两边所在的直线相交.三角形相似的两种常见类型：“X”型 DEABC“A”型 ABCDE如图，AB/EF/DC，AD/BC，EF 与 AC 交于点 G，则图中的相似三角形共有()CDABEFG解析：AEG ADC CFG CBA.C巩
16、固新知巩固新知平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例平行线分线段成比例基本事实推论判定三角形相似两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例归纳新知归纳新知(2)将直线 b 向下平移到如图的位置，直线 m，n 与直线 b 的交点分别为 A2，B2.可以将 DE 平移到BC 边上去AB4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_.如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.而除 DE 外，其他的线段都在ABC 的边上，要想利用前面得到的结论来
17、证明三角形相似，需要怎样做呢？分别度量ADE 与ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？如图，直线 abc，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段.可以将 DE 平移到BC 边上去DE是O的切线，DEEC，EBED，ECEB，要用相似的定义去证明ADEABC，我们需要证明什么？12如图，在ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.第1课时 平行线分线段成比例AB4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_.新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理理解相似三角形的概念。8(2019玉林)如图，ABEFDC，
18、ADBC，EF与AC交于点G，新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理A 课后练习课后练习2若ABC与ABC相似，一组对应边的长为AB2 cm，AB4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_.21B C 8 6(洛阳东方二中月考)如图，EGBC，GFCD，AE3，EB2，AF6，求AD的值7(2019贺州)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DEBC，若AD2，AB3，DE4，则BC等于()A5 B6 C7 D88(2019玉林)如图，ABEFDC，ADBC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有()A3对 B5对 C6对 D8对BCC 11(2019凉山州)如图，在ABC中，D
19、在AC边上，ADDC12，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BEEC()A12 B13 C14 D2312如图，在ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD2，则OC_.B413在ABC中，AB6，AC9，点D在边AB所在的直线上，且AD2，过点D作DEBC交边AC所在的直线于点E，则CE的长为_.6或12人教版 数学 九年级（下）如图，在ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关.两条直线被一组平行线所截，所得的对
20、应线段成比例.14小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE10米，BC18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?11(2019凉山州)如图，在ABC中，D在AC边上，ADDC12，如图，小方格的边长都是1，直线 abc，分别交直线 m，n 于A1，A2，A3，B1，B2，B3.则是相似三角形共有()12如图，在ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明。DEBC，若AD2，AB3，DE4，则BC等于()你
21、在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？新知一 相似三角形新知三 利用平行线判定两个三角形相似的定理(3)全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形.AB4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_.DE是O的切线，DEEC，EBED，ECEB，(1)求证：DBE是等腰三角形；14小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE10米，BC18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?15(2019黄冈)如图，在RtABC中，ACB90，以AC为直径的O交AB于点D，过点D作O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证：DBE是等腰三角形；(2)求证：COECAB.证明：(1)连接OD，如图所示：DE是O的切线，ODE90，ADOBDE90，ACB90，CABCBA90，OAOD，CABADO，BDECBA，EBED，DBE是等腰三角形(2)ACB90，AC是O的直径，CB是O的切线，DE是O的切线，DEEC，EBED，ECEB，OAOC，OEAB，COECAB
