1、1-1机械动力学机械动力学第二章第二章 振动分析基础振动分析基础第二章第二章 振动分析基础振动分析基础21 概述概述 振动分析的研究思路：振动分析的研究思路：一一 动力学模型动力学模型 任何实际的振动系统是无限复杂的任何实际的振动系统是无限复杂的,为了便于分析为了便于分析,要作简化要作简化,在简化的基础上在简化的基础上 建立建立 动力学模型动力学模型 模型由三种理想化元件组成：质量模型由三种理想化元件组成：质量m 阻尼阻尼c 弹性弹性k 系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件 实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量
2、、刚度、阻尼线性化处理实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理 对其分布规律作离散化处理对其分布规律作离散化处理 动力学模型采用的正确与否要由实践检验动力学模型采用的正确与否要由实践检验 动力学模型分三类：动力学模型分三类：a 集中参数模型集中参数模型(常微分方程常微分方程)b 有限元模型有限元模型(常微分方程常微分方程)c 连续弹性体模型连续弹性体模型(偏微分方程偏微分方程)1-18EIPl3333lEIk 33lEIk 1弹性元件：弹性元件：只有弹性只有弹性,无惯性、阻尼无惯性、阻尼(理想化元件理想化元件)弹簧所受外力弹簧所受外力Fx是位移是位移x的函数：的函数：Fx
3、=f(x)在线性范围内在线性范围内Fx=kx (对弹簧的线性化处理对弹簧的线性化处理)通常假定弹簧没有质量通常假定弹簧没有质量 若：若：弹簧质量相对小弹簧质量相对小,可忽略可忽略 弹簧质量相对较大弹簧质量相对较大,一定要处理一定要处理实际工程结构中许多构件实际工程结构中许多构件 在一定范围内所受作用力在一定范围内所受作用力 与变形是线性关系与变形是线性关系,可作线性弹性元件处理可作线性弹性元件处理.例例 图示悬臂梁图示悬臂梁 根据材力根据材力P与变形与变形的关系的关系 杆长杆长 E 材料弹性模量材料弹性模量 I 抗弯截面惯性矩抗弯截面惯性矩 设设 则则 P=k 因此悬臂梁相当一个刚度为因此悬臂
4、梁相当一个刚度为 的线性弹簧的线性弹簧 1-19GJML 角振动系统：弹簧为扭转弹簧角振动系统：弹簧为扭转弹簧 M=k M 外力矩外力矩 转角转角 k刚度刚度 扭振系统扭振系统 G轴材料剪切模量轴材料剪切模量 J 轴截面极惯性矩轴截面极惯性矩 M扭矩扭矩 因此因此 扭转刚度扭转刚度：从能量角度：不消耗能量从能量角度：不消耗能量,以势能方式贮存能量以势能方式贮存能量.等效刚度：复杂弹性元件组合形式等效刚度：复杂弹性元件组合形式,可用等效弹簧取代可用等效弹簧取代 等效弹簧的刚度等效弹簧的刚度 用等效刚度用等效刚度 表示表示(等于组合弹簧的刚度等于组合弹簧的刚度)并联弹簧：并联弹簧：比各组成弹簧比各
5、组成弹簧”硬硬”共位移共位移 串联弹簧：串联弹簧：比各组成弹簧比各组成弹簧”软软”共力共力 确定弹性元件组合方式是确定弹性元件组合方式是”并联并联”还是还是”串联串联”关键看是关键看是”共位移共位移”还是还是”共共力力”1-20见下例：见下例：例例1 a.两弹簧共位移两弹簧共位移(x)并联并联 b.两弹簧共力两弹簧共力(Fs)串联串联 例例2 确定阶梯轴的等效扭转刚度确定阶梯轴的等效扭转刚度 解解 共力矩共力矩M，为串联为串联 由扭振由扭振LGJM2221111JGLJGLkeq2阻尼元件阻尼元件:只有阻尼只有阻尼 无惯性无惯性,弹性弹性(理想元件理想元件)振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最
6、困难问题之一振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一,也是最活跃的研究方向之一也是最活跃的研究方向之一 阻尼力阻尼力 是振动速度是振动速度 的函数的函数 对线性阻尼器对线性阻尼器 C:阻尼系数阻尼系数 阻尼元件消耗能量阻尼元件消耗能量 以热能声能等方式耗散系统的机械能以热能声能等方式耗散系统的机械能 角振动系统角振动系统:有以上类似关系有以上类似关系 为阻尼力矩为阻尼力矩)(xfFdx xcFdcMddM1-21例例 1 (a)(b)例例 2非粘性阻尼非粘性阻尼:与速度成正比的阻尼为粘性与速度成正比的阻尼为粘性(Viscous)阻尼阻尼,又称线性阻尼又称线性阻尼 其它性质的阻尼统称非粘
7、性阻尼其它性质的阻尼统称非粘性阻尼 工程中将非粘性阻尼折算成等效工程中将非粘性阻尼折算成等效 粘性阻尼系数粘性阻尼系数Ceq 折算原则折算原则:一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周 期所消耗的能量期所消耗的能量 非粘性阻尼种类：非粘性阻尼种类：a.库仑库仑(Coulemb)阻尼阻尼 即干磨擦阻尼即干磨擦阻尼 b.流体阻尼流体阻尼:物体以较大速度在粘性很小的流体物体以较大速度在粘性很小的流体(空气空气 液体液体)中运动中运动.阻尼阻尼 力与速度平方成正比力与速度平方成正比:c.结构阻尼：结构阻尼：材料内磨擦产生的阻尼材料
8、内磨擦产生的阻尼(又称材料阻尼又称材料阻尼)由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼:滑移阻滑移阻 尼尼 结构阻尼结构阻尼=材料阻尼材料阻尼+滑移阻尼滑移阻尼 (两项统称两项统称)3.质量元件质量元件 只有惯性只有惯性 无弹性和阻尼的理想元件无弹性和阻尼的理想元件.(略略)1-22.二二.动力学模型的建立动力学模型的建立 举例说明举例说明:南京工学院南京工学院(东南大学东南大学)为无锡机床厂外园磨床作振动分析为无锡机床厂外园磨床作振动分析:1-2322 单自由度系统单自由度系统一一.自由振动自由振动自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数自由振动的
9、基本振动特性只决定系统本身的参数,因此是在理论上十分重要的一因此是在理论上十分重要的一种振动形式种振动形式.系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些”固有特固有特性性”或或”固有参数固有参数”.反映了系统内部结构的所有信息反映了系统内部结构的所有信息,是研究强迫振动的基础是研究强迫振动的基础.1.单自由度自由振动概述单自由度自由振动概述 当外界对系统没有持续的激励当外界对系统没有持续的激励 即即F(t)=0 但系统仍可以在初速度或但系统仍可以在初速度或初位移的作用下发生振动初位移的作用下发生振动,称为自由振动称为自由振动 其运动微
10、分方程为其运动微分方程为:二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程,方程还可方程还可 其中其中 （衰减系数）（衰减系数）（固有频率）（固有频率）方程特征方程方程特征方程 通解通解 其中其中:022xwxxn 0kxxcxm mc2mkwn20222nwss)()(222221nnsststseBeBx212121,SS21,BB 为特征方程的二个特征根为特征方程的二个特征根 为积分常数为积分常数,由初始条件定由初始条件定 1-24系统的运动情况随系统的运动情况随(衰减系数衰减系数)不同值不同值,分五种情况：分五种情况：(1)=0(无阻尼情况无阻尼情况)0(正阻尼情况正阻尼情况)(2)(弱阻
11、尼情况弱阻尼情况)(3)(强阻尼情况强阻尼情况)(4)=(临界阻尼情况临界阻尼情况)(5)0 (负阻尼情况负阻尼情况)首先从无阻尼情况首先从无阻尼情况(最简单最简单)介绍介绍nnn2.无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 运动方程为运动方程为 （C=0,F(t)=0）或或 式中式中 其通解其通解:x(t)=Asin(t+)是系统自由振动的角频率是系统自由振动的角频率,也称为系统无阻尼固有频率也称为系统无阻尼固有频率 单位单位:Hz 或或1/s A 振动幅值振动幅值 初相角初相角 (由初始条件确定由初始条件确定)0)(tkxxm 0)()(2txtxn nmkfnn212mkn1-25n若记
12、初始位移若记初始位移 初始速度初始速度 则则 因因 当当t=0时时 得得 分析：分析：单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数,可用谐波函数表示可用谐波函数表示,故称简谐振动故称简谐振动0)0(xx0)0(vx)()()()(tAContxtASintxnnn00;)0(xASinxASinxnnvAConvAConx00;)0()(2020nvxA001xvtgnmkn自由振动的角频率即为自由振动的角频率即为 仅由系统本身参数确定仅由系统本身参数确定,与外界激励与外界激励,初始条件均无关初始条件均无关.反映了系统内在的特征反映了系统内在的特征.
13、自由振动的振幅自由振动的振幅A和初相角和初相角 由初始条件确定由初始条件确定 无阻尼自由振动是等幅振动无阻尼自由振动是等幅振动 研究无阻尼自由振动时研究无阻尼自由振动时,常用到常用到“能量法能量法”1-263.能量法：能量法：(1)用能量的观点研究振动有时很方便用能量的观点研究振动有时很方便.例只需计算系统固有频率时例只需计算系统固有频率时,可避免写微分方可避免写微分方 程程,直接得结果直接得结果.(也可用能量法写系统微分方程也可用能量法写系统微分方程)在无阻尼又无外作用力时在无阻尼又无外作用力时,系统的动量系统的动量T和势能和势能U是守恒的是守恒的.即即 T+U=恒量恒量 (2-1)对上式时
14、间取一次导数：对上式时间取一次导数：（2-2）式中式中:T 为系统中运动质量所具有的动能为系统中运动质量所具有的动能 U 为系统的弹性势能或重力势能为系统的弹性势能或重力势能 由由(2-1)式式,有：有：任意选两个瞬时位置任意选两个瞬时位置1和和2机械能总和应相等机械能总和应相等 对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置,此时速度最大此时速度最大,动能动能 此时此时 再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置,此时速度为此时速度为0,而势能而势能 （2-3）利用利用(2-3)式可直接得系统固有频率式可直接
15、得系统固有频率0)(UTdtd2211UTUTmax1TT 01Umax2UU max21:UTUTMAX或有02T1-270I)()(tAContASinnnnnAAmaxmax2202max0max2121nAIITmax例例 如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件无无定向摆的示意图定向摆的示意图,摆轮摆轮2上铰接一摇杆上铰接一摇杆1,摇杆另摇杆另一端有敏感质量一端有敏感质量M，在摇杆离转轴在摇杆离转轴0距离为距离为a处处左右各联一刚度为左右各联一刚度为k的平衡弹簧的平衡弹簧,以保持摆的垂直以保持摆的垂直方向的稳定位置方向的稳定位置.已知系统对已知系统
16、对0的转动惯量为的转动惯量为解：以摇杆偏离平衡位置的解：以摇杆偏离平衡位置的 角位移角位移为为 参数并设参数并设:则则 摇杆通过静平衡位置时系统动能最大摇杆通过静平衡位置时系统动能最大 在摇杆摆到最大角位移在摇杆摆到最大角位移 处时系统最大势处时系统最大势 能包能包 括两部分括两部分:222max2max1212AkakaU2121)1(22maxmaxmax2mglAmglconmglUmaxmaxUT2121222220mglAAkaAIn)2(02Imglkan 弹性变形后储存的弹性势能弹性变形后储存的弹性势能:质量块质量块m的重心下降后重力势能的重心下降后重力势能:由于由于 得得:1-
17、28（2）能量法求系统振动微分方程）能量法求系统振动微分方程 例例 图示一半径为图示一半径为r,重量为重量为w的园柱体在一个半径为的园柱体在一个半径为R的园柱面内作无滑动的园柱面内作无滑动 的滚动的滚动,在园柱面最低位置在园柱面最低位置0点左右微摆动点左右微摆动.推导园柱体摆动的微分方程推导园柱体摆动的微分方程.解解:园柱体有两种运动园柱体有两种运动:园柱体质心的线位移园柱体质心的线位移(Rr),线速度为线速度为 园柱体绕质心转动园柱体绕质心转动,因无滑动因无滑动,角速度为角速度为(以以A点为瞬心点为瞬心)在任一瞬时位置在任一瞬时位置,园柱体的动能为园柱体的动能为:为园柱体的质量，为园柱体的质
18、量，为园柱体绕质点轴的转动惯量为园柱体绕质点轴的转动惯量 园柱体的势能为相对最低点园柱体的势能为相对最低点O的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了)(rRv)1(rRrv2222222)(431221212121rRgrRrgrRgImvTgm22rgIconrR1conrRWU11023143222 SinrRwrRgwconrRwrRgwdtdUTdtd 故按（故按（2-2）式）式对于微幅摆动对于微幅摆动:上式可简化为上式可简化为:Sin032rRg 1-29（3）用能量法计算弹簧的）用能量法计算弹簧的等效质量等效质量用能量法原理，可把弹簧的分布质量对
19、系统振动频率的影响加以估计用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计.得频率准确值。得频率准确值。下面介绍用等效质量下面介绍用等效质量进行折算的一种近似方法。进行折算的一种近似方法。先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量块的一端位移为块的一端位移为X，弹簧轴向长为弹簧轴向长为L,则距固定端则距固定端处，位移为处，位移为 ，因此，当质量，因此，当质量块块m在某一瞬时的速度为在某一瞬时的速度为 时时,弹簧在弹簧在处的微段处的微段d,相对速度为相对速度为 。设。设 为弹为弹簧单位长
20、度的质量，则弹簧簧单位长度的质量，则弹簧d段的动能为段的动能为 整个弹簧的动能为整个弹簧的动能为:（整个弹簧质量）（整个弹簧质量）系统总动能为质量块系统总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时,系统最大动能为系统最大动能为:xlxldlx221222032132121xmxldxlTl弹ml2max2max2maxmax32132121xmmxmxmT2maxmax21kxUmaxmaxUT2max321xmm2max21kxx 系统的势能仍与忽略弹簧质量时一样系统的势能仍与忽略弹簧质量时一样:由由对简谐振动对简谐
21、振动:得得:=nnAxAxtAxmaxmax,:sin代代入入:32223mnnmkkAAmm称为系统等效质量称为系统等效质量.3mm1-30 0tkxtxctxm 022xwxxn 0222nwsststseBeBx2121)()(222221nnss10n且22ndnnii2222titiddeBeBx21tidetidetitconeddtsin4有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 图示图示 系统的运动方程系统的运动方程:前面已述前面已述:特征方程特征方程:通解通解:其中其中:（1）弱阻尼状态弱阻尼状态 为虚数为虚数,令令方程通解方程通解:若若 为方程的复解为方程的复解,数学上可证
22、明数学上可证明,它的实部和虚部也是方程的解它的实部和虚部也是方程的解,由欧拉公式；由欧拉公式；=实部实部:虚部虚部:均为方程解均为方程解,且是线性无关解且是线性无关解.由此由此,方程的通解为方程的通解为:tconedttedtsin1-31tSINAAAtCONAAAAAetAtconAexddtddt2221222211222121sintAedtsin同时同时:当初始条件当初始条件t=0时时,代入得代入得:解得解得:ttAtconeAxdtdtdsin00,xxxx sin,sin00conAxAxd00020200;xxxtgxxxAdd分析分析:由于有阻尼由于有阻尼,振幅随时间衰减振幅
23、随时间衰减 有阻尼有阻尼,系统振动周期略有增大系统振动周期略有增大 可通过振幅衰减曲线求阻尼大小值可通过振幅衰减曲线求阻尼大小值(对数减对数减 缩缩 )TTd2222nddTdT1111ln1,lnninnnNnAAnAAAAA或1-321,0n且ttnneBeBx2222211,0n且重根时21ssn tBBetxt21n（2）强阻尼状态强阻尼状态 ，是非周期性蠕动，是非周期性蠕动 (3)临界阻尼状态临界阻尼状态 非周期性运动非周期性运动 是一种从振动过渡到不振动的临界情况是一种从振动过渡到不振动的临界情况,此时系统阻尼称为此时系统阻尼称为 临界阻尼临界阻尼,临界阻临界阻 尼系数为尼系数为c
24、CnmkCmkmccn2,2kCmkCCCnnc220,0tAe临界情况临界情况:令阻尼比令阻尼比（4）负值负值 瞬时振幅瞬时振幅 逐渐增大逐渐增大:微小扰动微小扰动 不会恢复到平衡不会恢复到平衡 不稳定不稳定 负阻尼系统负阻尼系统,一定是不稳定系统一定是不稳定系统 阻尼正负阻尼正负 稳定性判据稳定性判据1-33cmkTnndd22:,1.0:1212222简化时当阻尼参数小结阻尼参数小结:粘性阻尼系数粘性阻尼系数C 衰减系数衰减系数 阻尼比阻尼比 对数减缩对数减缩 之间关系之间关系:1-343.2 扭转振动力学模型的简化方法当量模型的固有频率必须当量模型的固有频率必须与原轴系统的固有频率基与
25、原轴系统的固有频率基本相等；本相等；当量模型的主振型应该与当量模型的主振型应该与实际测量的主振型相似实际测量的主振型相似。力学简化模型的要求：力学简化模型的方法3.3 扭转振动力学模型简化原则 以具有较大转动惯量零件（飞轮、齿轮以及联轴器等）的中心线作为质量的集中点 对于齿轮传动，两啮合齿轮可以看成刚性连接，将其以主动齿轮的中心线基准合为一个集中质量 相邻两集中质量之间连接轴的转动惯量，可以平均地分配到两边的集中质量上；相邻两集中质量之间的扭转刚度应该是连接轴的扭转刚度。简化原则：简化原则：Jc22cbbcaaJJJJJJ3.4 扭转振动力学模型简化方法应用（1）222112121bcabKKUbcbcKnKUU221 势能相等原则假设主动轴转角为1，从动轴扭转角为2，n1/n2=1/n 212122121bcabKKU3.4 扭转振动力学模型简化方法应用（2）221bbbJnJJ212212221121121212121nJnJJJScbba21SS 动能相等原则2121212212121cbaJJJSccJnJ2
