1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第第12 12章章常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节第一节 第12章 教学目的与要求：理解常数项级数收敛、发散以及收理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；敛级数的和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；条件；掌握掌握几何级数
2、几何级数(等比级数)的收敛性的收敛性重点：重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念无穷级数收敛、发散以及和的概念 几何级数几何级数(等比级数)的收敛性的收敛性 一、一、问题的提出问题的提出 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2,1,0(23nn边形,这个和逼近于圆的面积 A.0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正边形面积为n23引例2.小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程2g21ts 知g2st 则小球运动的时间为1tT
3、 22t32tg21 2122)2(1 212g12 63.2(s)设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,二、二、常数项级数的概念常数项级数的概念 定义：给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数，其中第 n 项nu叫做级数的一般项,次相加,简记为部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的级数的部分和部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:如果如果ns没有极限没有极限,则称无穷级数则称无穷级数 1nnu发散发散.即即 常常数数项项级级数数收收敛敛(发发散散)
4、nns lim存存在在(不不存存在在)当级数收敛时,称差值nnssr 为级数的余项余项.余项余项nnssr 21nnuu 1iinu)0lim(nnr无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了了面积有限面积有限而而周长无限周长无限的图形的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第
5、一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放,2,1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn ,3,2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛
6、）解解时时如果如果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判别无穷级数判别无穷级数 11232nnn的收敛性的收敛性.解解nnnu 1232,3441 n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比,1|q.原级数发散原级数发散例例
7、 3 3 判别无穷级数判别无穷级数 )12()12(1531311nn 的收敛性的收敛性.解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21.21,和为和为级数收敛级数收敛 例4.判别级数2211lnnn的敛散性.解解:211lnn221lnnn nnnln2)1ln()1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2)1ln()1ln(nnn5ln4ln2
8、3ln 2lnnnln)1ln(2ln)1ln(1n,2lnlimnnS故原级数收敛,其和为.2ln解解 173.2 7531017101710173.2 03100110173.2nn等比级数等比级数1001 q公比公比10011110173.23 .4951147 三、无穷三、无穷级数的基本性质级数的基本性质 性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1nnku亦亦收收敛敛.性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus,1nnv,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛,其其和和为为 s.结论结论:级数的每一项同乘一个级数的每一项同乘一个不为零不为零的常数的常数,
9、敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu 必发散.但若二级数都发散,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如,)1(2nnu取,)1(12 nnv0nnvu而(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)例例 5 5 求求级级数数 121)1(5nnnn的的和和.解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n,5)111(lim5lim ngnnn,211是等比级数是等比级数 n
10、n，首项是首项是公比公比21,121 qnnnnh lim211.61521)1(51 nnnn故故,121121 性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1knnu也也收收敛敛)1(k.且且其其逆逆亦亦真真.证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数类似地可以证明在级数前面前面加上（或去掉）加上（或去掉）有限项有限项不影响级数的敛散性不影响级数的敛散性.性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和.证明证明 )()(54
11、321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意收敛级数收敛级数去括弧去括弧后所成的级数不一定收敛后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如例如 1111推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散,则则原原来来级级数数也也发发散散.收敛收敛 发散发散例6.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解:考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散,从而原级数发散.nn121四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级级数数收收敛敛.0lim nnu
12、证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss .0 即即趋于零趋于零它的一般项它的一般项无限增大时无限增大时当当,nun级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;1)1(4332211nnn例如例如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例如调和级数例如调和级数讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和为其和为假设调和级数收敛假设调和级数收敛)lim(2nnnss 于是于是s
13、s ,0.级数发散级数发散)(210 n便有便有.这是不可能的这是不可能的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论,调和级数发散调和级数发散.例5.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性,若收敛求其和若收敛求其和:;!)1(1nnnnne解解:(1)令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 则nnuu1nne)1(1),2,1(1n故euuunn11从而,0limnnu这说明级数(1
14、)发散.111)1()1(nnnne11)1(!)1(nnnnennnne!123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1)1(121nnnn),2,1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2)1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,21221
15、32nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛,其和为 3.,3limnnS故(3)的充要条件是:*五、柯西审敛原理 定理定理.收敛级数1nnu,0,ZNpnnnuuu21时，当Nn,Zp对任意有证证:设所给级数部分和数列为),2,1(nSn因为npnpnnnSSuuu21所以,利用数列),2,1(nSn的柯西审敛原理(第一章第六节)即得本定理的结论.例7.112的敛散性nnpnnnuuu21解解:,Zp对任意有利用柯西审敛原理判别级数 222)(1)2(1)1(1pnnn)(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn)111()2111()111(pnpnnnnnpnn11n1,
16、0，取1N当 nN 时,Zp对任意都有nuuupnnn121由柯西审敛原理可知,级数.112收敛nn六、小结六、小结1 1.由由定定义义,若若ssn,则则级级数数收收敛敛;2 2.当当0lim nnu,则则级级数数发发散散;3 3.按按基基本本性性质质.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ),2,1(n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知一、一、填空题填空题:1 1、若若nnan242)12(31 ,则则 51nna=_；2 2、若若n
17、nnna!,则则 51nna=_；3 3、若级数为若级数为 642422xxxx则则 na_；4 4、若级数为若级数为 97535432aaaa则则 na_；5 5、若级数为若级数为 615413211 则当则当 n_时时 na_；当；当 n_时时 na_；6 6、等比级数等比级数 0nnaq,当当_时收敛；当时收敛；当_时发散时发散.练习题练习题三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12(1751531311nn的收敛性的收敛性.四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性:1 1、n31916131；2 2、)3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3
18、、nn101212014110121.五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 61514131211的敛散性的敛散性.练习题答案练习题答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ；2 2、543215!54!43!32!21!1 ；3 3、)2(6422nxn ；4 4、12)1(11 nann；5 5、kkkk21,2,12.12 ；6 6、1,1 qq.三、收敛三、收敛.四、四、1 1、发散；、发散；2 2、收敛；、收敛；3 3、发散、发散、nkknks12)10121(.五、发散五、发散.取取np2 观察雪花分形过程观察雪花分形过
19、程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面积为面积为周长为周长为依次类推依次类推;43,311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形
